21.3.1矩形（第1课时 矩形的性质）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十一章 四边形 21.3.1矩形 第一课时 矩形的性质 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.探索并证明矩形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力.（重点） 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单运用.（难点） 上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形. 本节就来研究这些特殊的平行四边形. 先来看角满足特殊条件的平行四边形. 如图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形. 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle)，矩形也就是长方形. 一个角是直角 平行四边形 矩形 矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象. 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定. 你还能举出一些例子吗? A B C D O 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边、角、对角线等方面来考虑。 思考 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数 和对角线的长度，并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质， 特殊性质有： 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的对角线相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB. A B C D O 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 2条 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 教材P69 例题 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形 ABCD 的对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC 与 BD 相等且互相平分. ∴OA = OB. 又∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4， ∴AC = BD = 2OA = 8. A B C D O [期中·杭州上城区]已知：如图21.3－4，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中 点，AC＝6.求EF的长. 解：如图21.3－4，连接AF. ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥ BD. ∴△AFC是直角三角形. 又E是AC的中点，∴ EF＝AC. ∵AC＝6, ∴EF＝3. 变式训练 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质. 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半. A B D C O A B C O 思考：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO= AC. 如何证明BO=AC ？ 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证：BO= AC. A B C O D 证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵OA = OC，OD = OB， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD，∴BO= BD= AC. 符号语言： 在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO， ∴OB = AC. 依据：矩形的对角线相等且互相平分. 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A B C O 教材P70 练习 课内练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°.求这个矩形相邻两边的长. 解：如图所示，AC与BD交于点O. 在矩形ABCD中，AC=8，∠1=120°. ∵∠1+∠2=180°，∴∠2=60°. ∵在矩形ABCD中，OA =OB， ∴△AOB为等边三角形，∴AB = OA = AC = ×8 = 4. 在Rt△ABC中，BC===4. B C D A O 1 2 2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. B C D A E 解：△DBE是等腰三角形. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，AC=BD. ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE，∴BD=DE， ∴△DBE是等腰三角形. 基础巩固题 知识点1 矩形的性质 1.【2025河北唐山期中】如图，四边形和四边形 都是 矩形，且， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 四边形和四边形都是矩形， , ，， ， , ， ，故选D. 2.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形 为矩 形，，，为的中点，点在边 上运动，当 时，点 的坐标为_____________. 或 【解析】如图，过点作于为的中点， ， ， 四边形是矩形, , .当点在点左边时，在 中，由勾股 定理得;当点在点 右边时，同理得 ，，，或.故答案为或 . 19 知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.【2025山东菏泽期中】如图，在中， ， 边,的中线交于点，连接，若， ，则 的长为( ) A A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】 边，的中线交于点， 点是 的中点， 点是的中点，是的中位线，.在 中， ，点是的中点， ， ，点是的中点，， 由勾股定理得， ， 故选A. 20 4.【2025安徽马鞍山期中】在一张直角三角形纸片的两直角边上各 取一点，分别沿斜边的中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下 的部分是如图所示的直角梯形，其中边，， 的长分别是5， 8，6，则原直角三角形纸片的斜边长是__________． 或20 【解析】分两种情况讨论：①当点 是直角三角形纸片斜边的中点 时，如图（1）,连接 ，, ， . 点是斜边的中点， . ②当点是直角三角形纸片斜边的中点时，如图（2），连接 ， ，,是斜边的中点， . 综上可得，原直角三角形纸片的斜边长是或20.故答案为 或20． 图（1） 图（2） 21 能力提升题 5.[2025扬州中考]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是________． 6 10 6.[2025徐州中考]如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为________． 解：如图，△BED即为所求作的三角形． 7.[2025烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 8.【问题呈现】如图①，点P是矩形ABCD边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为8和15．过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．求PE＋PF． (2)【规律应用】如图②，当点P是矩形ABCD边AB上任意一点时，PE＋PF＝________； (3)【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，PE和PF之间的数量关系是________________． (1)【问题解决】小明发现：连接OP，利用矩形对角线的性质和S△AOP＋S△DOP＝S△AOD，即可求出PE＋PF的值，请你运用小明发现的方法，求PE＋PF； 四个角都是直角 性质 对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 是轴对称图形，有两条对称轴 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形 课堂小结 教科书第70页练习 第1，2题 布置作业 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1， AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠EBD＝∠CBD， ∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD，设AF＝x， 则BF＝DF＝2－x，在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2， ∴12＋x2＝(2－x)2，解得x＝，∴AF＝. PE－PF＝ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝15，∠ABC＝90°，BD＝AC，∴BD＝AC＝＝＝17，∴易得AO＝CO＝BO＝DO＝.∵S△APO＋S△PDO＝S△AOD＝S△ADC， ∴AO·PE＋DO·PF＝×AD·CD，∴×＝××15×8，解得PE＋PF＝. $