精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 已知向量，夹角为150°，且，，则（ ） A 1 B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A. 大于2 B. 小于2 C. 等于2 D. 与2的大小无法确定 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A B. 在区间上单调递减 C. 是上的偶函数 D. 函数有6个零点 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A. ， B. 为定值 C. 最小值50 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 19. 已知函数，当时，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数； （3）已知，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案. 【详解】集合或，故， 由Venn图可知影部分表示的集合为. 故选：A 2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，根据对应的点在实轴上得到方程，求出的值. 【详解】，， ， 又所对应的点在实轴上， ，． 故选：C 3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案. 【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42， 因为，所以第75百分位数为. 故选：B. 4. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A. 大于2 B. 小于2 C. 等于2 D. 与2的大小无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，再应用离散随机变量期望的求法、错位相减法及等比数列前n项和公式求. 【详解】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为， 所以， 则， 故 ， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题意得到100次中各次结束抛掷对应的概率为关键. 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过题中的一般项与前项和的关系式，利用公式来推导和 的关系，再通过构造法构造新数列并结合来得到的通项公式，算出结果. 【详解】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以，则． 故选：B． 7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等边三角形的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出，可得，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，，判断AB；利用等差数列的基本性质和作差法判断C；由，结合等差数列性质及数列的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，由， 得，解得，由，得数列单调递增，则， 因此使的最小正整数n的值为22，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 是上的偶函数 D. 函数有6个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件分析可得函数是周期函数，是上的奇函数，在上递增，关于直线对称等函数性质，对于A，利用周期求解判断；对于B，由单调性结合周期可判断；对于C，利用特值法及偶函数定义判断；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可求解判断. 【详解】对都有，则， 所以函数是周期函数，周期为4， 函数的图像向左平移1个单位得函数的图象， 又函数的图像关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数， 当时，，即函数上递增，在上单调递增， 而，因此在上递增， 由得，则的图象关于直线对称， 则函数在上递减， 对于A，，故A正确； 对于B，因函数在上递增，函数的周期为4， 则在上递增，故B错误； 对于C，因，即有， 则函数不是R上的偶函数，故C错误； 对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图， 因函数的最大值为1，而当时，， 因此函数与图象的交点在内， 观察图象知，函数与图象在内只有6个交点， 所以函数有6个零点，故D正确. 故选：AD. 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A. ， B. 为定值 C. 的最小值50 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设结合的位置可确定参数范围，判断A；取特殊位置计算的值，可判断B；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，由题意知当F和C重合时，，此时取最小值，取到最大值1； 当E和C重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确； 对于B，当F和C重合时，，； 当分别位于的中点时，满足， 此时，，由此可知不为定值，B错误； 对于C， ， 由，得，即, 即，即， 设，， 则 ，（为辅助角，）， 当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确， 对于D，当时，， 则 ，故D错误， 故选：AC 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据成等差数列求出公比，再根据等比数列通项公式求出. 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或（公比不为，舍去）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据排列组合相关知识直接计算求解. 【详解】将甲、乙等8人安排4天值班，若每天安排两人，共有种方案， 乙两人安排在同一天，共有， 所以甲、乙两人安排在同一天的概率为. 故答案为： 14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知用表示出然后作差比较大小． 【详解】由，得， ，时，，时，， ，所以． 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查比较两个实数的大小，解题方法是作差法． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可； （2）根据正弦定理得，从而化边为角，结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围. 【小问1详解】 由已知得，， 则根据正弦定理得， ， 为锐角三角形，． 【小问2详解】 由正弦定理得，即， 则， ， 因为，解得，得， 所以，得． 16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出即得数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式； （2）求出，再利用分组求和求数列的前项和． 【小问1详解】 解：令， 令，又，所以，即．所以， ，① ．② 两式相减得，， 即是公比为2的等比数列，且， 所以． 【小问2详解】 解：由可得 ，． 累加可得， ， 而 ， ∴. 17. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】（1）分布列见解析，， （2）（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【小问1详解】 因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， 【小问2详解】 （i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 19. 已知函数，当时，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数； （3）已知，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意在上恒成立，令，，然后利用导数法研究其单调性，利用最值列不等式即可求解； （2）由（1）知，利用导数法求得的最小值，进而利用单调性求得，即可得解； （3）先证当时，原不等式成立，再证时的情况，由（1）知，令得，然后结合对数运算性质利用累加法即可证明. 【小问1详解】 由题设在时恒成立， 等价于在上恒成立， 令，，则， 令，且， 当，即时，，即， 此时在上单调递增，则，满足题意； 当，即时，，对称轴， 所以存在，使，在时，，即， 所以在上单调递减，此时，不满足题意； 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则， 令，易知在上单调递增， 由，知，存在使，即， 所以时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增， 则在处取得极小值，， 又，即， 故， 由函数在上单调递增， 故在上单调递减， 所以， 又恒成立，即，故， 所以整数t的最大值为. 【小问3详解】 当时，右边，左边，左边右边，原不等式成立， 下面考虑时的情况， 由（1）知当时，，即在上恒成立， 即， 令，且， 则， 所以， 则，故， 所以， 综上，当时，成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $