19.3 二次根式的加法与减法 课后巩固练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2026 年春季人教版八年级(下) 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 一、选择题 1.（25-26·江苏期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简,再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答. 【解答】 、 ，不能与 合并，故本选项错误； ，能与 合并，故本选项正确； 、 ,不能与 合并,故本选项错误； 、 ，不能与 合并，故本选项错误. 故选B. 2.（25-26·河北月考）已知：，，则与的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、各个式子的值，即可得出选项． 【解答】解：分母有理化，可得，， ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，， ，故选项错误，不符合题意； 故选：．  3.（25-26期末）下列计算中，正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查二次根式的加减乘除运算,根据运算法则逐一计算判断即可. 【解答】解：A、 与 不是同类二次根式,不能合并,原式计算错误,不符合题意； B、 , 原式计算错误, 不符合题意; C、 ，原式计算错误，不符合题意； D、 ，原式计算正确，符合题意； 故选：D. 4.（25-26·全国期中）已知，那么的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 5.（25-26·全国同步）如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了网格与勾股定理，结合网格利用勾股定理分别求出各线段的长度，比较即可得出答案． 【解答】解：，， ，， 线段长度最长的是， 故选： 6.（25-26·全国同步）已知，则的值为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：． 7.（24-25·浙江开学）已知为有理数，且满足等式，则的值为     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案. 【解答】 ， ，即． ，为有理数， ，，即．  8.（24-25·广东月考）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【解答】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：． 二、填空题 9.（25-26·上海月考）的倒数是___________ 【答案】 【解析】本题考查了倒数的定义和分母有理化． 根据倒数的定义，利用分母有理化的运算法则即可得到答案． 【解答】解：， 的倒数是， 故答案为：．  10.（25-26·江苏月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为____6_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【解答】解：与最简二次根式可以合并， ， ， 故答案为：6 11.（25-26·北京期中）若，且是一个单项式，则可以是_____（答案不唯一）_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查了二次根式的加减．首先化简为，然后根据是单项式的条件，分析需与合并为单项式，因此应为的有理倍数． 【解答】解：， ． 由于是单项式，因此必须能合并为一个单项式，即必须是的有理倍数． 取，则，是单项式，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 12.（25-26期末）已知 ，，则________． 【答案】 【解析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，因式分解得 ，代值计算，即可求解；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 【解答】解： 故答案为：-12√15. 13.（25-26·福建期末）海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为_____30___． 【答案】30 【解析】根据海伦-秦九韶公式，需先计算三角形的半周长 ，再代入公式求解面积. 本题考查了二次根式的运算,解题关键是明确题意,代入数值后准确计算. 【解答】解：由题意，设 ， ， 则 故答案为 30. 14.（25-26·北京期中）已知：，，，， ，其中为正整数，则____________；的值是___________． 【答案】, 【解析】根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； 根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【解答】解：， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．  三、解答题 15.（25-26期末）计算： （1）； （2）． 【答案】 (1) 【解析】（1）先根据二次根式性质进行化简, 然后根据二次根式加减运算法则, 进行计算即可; （2）根据二次根式混合运算法则, 结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可. 【解答】（1）解： （2）解:   16.（25-26期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】 9 【解析】（1）利用二次根式的运算法则进行计算即可; （2）将代数式化为 ,把(1)中结果,利用整体代入法代入计算即可. 【解答】（1）解： （2） 由 (1) 可知: . 17.（25-26·福建期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】 不能围成这两个正方形 【解析】（1）先求出 的代数式, 再相加即可; （3） 求出这两个正方形的总周长, 进而判断即可. （4） 【解答】（1）解：边长分别是 的两个正方形的面积分别为 （2） 解：两个正方形的周长分别为 和 总周长为 不能围成这两个正方形. 18.（25-26·江苏月考）通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____2___． （2）如图，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别为3和8，求四边形面积的最小值． 【答案】2, 【解析】本题考查了二次根式和乘法公式的应用,同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质； (1) 当 时, 按照公式 (当且仅当 时取等号) 来计算即可; (2) 设 , 已知 , , 则由等高三角形可得 , 所以 , 四边形 的面积用含 的代数式表示出来, 再按照题中所给公式求得最小值即可. 【解答】解：当 时， 故答案为：2； (2) 设 和 均以 为底, 和 均以 为底, 由等高三角形可得, , 四边形ABCD的面积 四边形 面积的最小值为 , 故答案为： 19.（25-26·黑龙江期中）【阅读·理解】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即．利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：通过本学期第章，我们已学了三个幂的运算公式： 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 后续的学习我们会知道，我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当，时， ；； 延伸应用： ①当，时， ②当，时， 【积累·运用】 （1）根据材料一，计算________； （2）根据材料二，计算________； （3）根据材料二，已知，，请化简：． 【答案】 【解析】（1）直接合并同类二次根式即可； （2）根据材料二，将化为，化为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （3）运用的思路可解答． 【解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：，， ． 20.（24-25·黑龙江期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】 【解析】（1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 2 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季人教版八年级(下) 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 一、选择题 1.（25-26·江苏期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是 A. B. C. D. 2.（25-26·河北月考）已知：，，则与的关系是（    ） A. B. C. D.  3.（25-26期末）下列计算中，正确的是（     ） A. B. C. D. 4.（25-26·全国期中）已知，那么的大小关系是（    ） A. B. C. D. 5.（25-26·全国同步）如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A. B. C. D. 6.（25-26·全国同步）已知，则的值为（  ） A. B. C. D. 7.（24-25·浙江开学）已知为有理数，且满足等式，则的值为     A. B. C. D.  8.（24-25·广东月考）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A. B. C. D. 二、填空题 9.（25-26·上海月考）的倒数是___________  10.（25-26·江苏月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 11.（25-26·北京期中）若，且是一个单项式，则可以是____________．（写出一个即可） 12.（25-26期末）已知 ，，则________． 13.（25-26·福建期末）海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为________． 14.（25-26·北京期中）已知：，，，， ，其中为正整数，则____________；的值是___________．  三、解答题 15.（25-26期末）计算： （1）； （2）． 16.（25-26期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 17.（25-26·福建期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 18.（25-26·江苏月考）通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_______． （2）如图，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别为3和8，求四边形面积的最小值． 19.（25-26·黑龙江期中）【阅读·理解】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即．利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：通过本学期第章，我们已学了三个幂的运算公式： 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 后续的学习我们会知道，我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当，时， ；； 延伸应用： ①当，时， ②当，时， 【积累·运用】 （1）根据材料一，计算________； （2）根据材料二，计算________； （3）根据材料二，已知，，请化简：． 20.（24-25·黑龙江期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 2 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $