19.2《二次根式的乘法与除法》课后巩固练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2026 年春季人教版八年级(下) 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 一、选择题 1.（25-26·广东期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了最简二次根式,根据最简二次根式的定义(被开方数不含分母,且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式),逐一判断选项即可. 【解答】解：A、 ，故 不属于最简二次根式，不符合题意； B、 属于最简二次根式，符合题意； C、 , 故 不属于最简二次根式, 不符合题意; D、 ，故 不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：B. 2.（25-26·河南期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查最简二次根式的化简,关键是掌握最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 【解答】解: , 而选项中的 中 还能继续化简, 不是最简二次根式, 故A错误; ,选项中的 分母含有根号, 不符合最简二次根式的要求, 故B错误; , 该结果满足最简二次根式的两个条件, 故C正确; , 选项中的 化简错误, 故D错误; 故选：C. 3.（25-26期末）下列二次根式运算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加法，乘法与除法运算。本题需根据二次根式的性质、加法以及乘除法运算法则，逐一判断选项运算的正确性，即可求解。 【解答】解： ，故A选项错误. 与 不是同类二次根式,不能直接合并,故B选项错误. 二次根式乘法法则为 （ ） , 故C选项正确. 二次根式除法法则为 （ ） , 故D选项错误. 故选：C. 4.（25-26·浙江期末）估计的值应在（       ） A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 【答案】C 【解析】先根据二次根式的运算法则进行计算，然后再估算无理数的大小即可. 【解答】解： 故选：C.  5.（25-26·甘肃期中）若与最简二次根式能合并成一项，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【解答】解：， 与最简二次根式能合并成一项， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：． 6.（24-25·河北期中）计算：的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【解答】解： ． 故选：．  7.（25-26·全国月考）设，，则可以表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【解答】解： ， 又， ． 故选：．  8.（25-26·河北月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：． 二、填空题 9.（25-26·上海月考）二次根式、、、中是最简二次根式的有_________1_________个． 【答案】 【解析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有个， 故答案为：1  10.（25-26·全国同步）二次根式与最简二次根式可以合并，则_________2______． 【答案】 【解析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【解答】解：二次根式与最简二次根式可以合并， 二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ， ， 故答案为：2 11.（25-26期末）计算：________． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算. 【解答】解；原式 故答案为: .  12.（25-26·上海月考）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则________________． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【解答】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 13.（24-25·上海期中）已知，，则的值是____________． 【答案】 【解析】先对、分母有理化，然后将因式分解，最后将、的值代入计算即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 14.（24-25·山西月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为_________________． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【解答】解：长方形彩纸的长为，宽为， 长方形彩纸的面积为， 长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， 正方形彩纸的面积为． 故答案为： ．  三、解答题 15.（25-26·江苏月考）计算： （1） （2）． 【答案】 【解析】（1）根据负指数幂、零次幂及实数的运算可进行求解； （2）根据二次根式的乘除法可进行求解． 【解答】（1）解：原式 ； （2） 解：原式 ． 16.（25-26·北京期中）计算 （1）； 【答案】 【解析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行求解； 【解答】解：原式 ；  （2）； 【答案】 【解析】根据二次根式的乘除法可进行求解； 【解答】解：原式 ； （3）． 【答案】 【解析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【解答】 ． 17.（23-24·广东开学）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【答案】 【解析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可． 【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式， ， 解得：，， ． 18.（25-26·上海月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 【答案】 【解析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【解答】（1）解：二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ． 是的立方根， ， ， 的平方根； （2）解：，， ， ． 19.（24-25·湖北期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的； ， ， ，， ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】 【解析】（1）直接利用分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用可得得到，两边平方得到，最后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：， ， ， ． ． ． 20.（24-25·辽宁期中）如图甲，这是由个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． （1）这个魔方的棱长为_______（用代数式表示）； （2）当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为_______； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为_______； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，则点在数轴上表示的数为_______； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点的位置（保留作图痕迹）． 【答案】 ①；②；③；④见解答． 【解析】（1）根据体积的计算方法，可表示其棱长， （2）①由魔方体积，可求出魔方的棱长； ②求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案； ③求出点所表示数的绝对值，再得出点所表示的数； ④利用勾股定理求出长度为的线段，再在数轴上确定的位置． 【解答】（1）解：因为拼成的魔方体积为． 所以正方形的边长为， 故答案为：； （2）当魔方体积时， ①， ， 所以这个魔方的棱长为； 故答案为：； ②因为魔方的棱长为； 所以每个小立方体的棱长为， 所以阴影部分正方形的边长为， 答：阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； ③点到原点的距离为：， 又因为点在原点的左侧， 所以点所表示的数为， 故答案为：； ④如图，作一个长为，宽为的矩形，使以原点为一个顶点，长为的边在数轴的负半轴，再以矩形的对角线的长为半径，原点为圆心画弧，与数轴的负半轴相交于点，点所表示的数为． 2 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季人教版八年级(下) 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 一、选择题 1.（25-26·广东期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（       ） A. B. C. D. 2.（25-26·河南期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（     ） A. B. C. D. 3.（25-26期末）下列二次根式运算正确的是（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·浙江期末）估计的值应在（       ） A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 5.（25-26·甘肃期中）若与最简二次根式能合并成一项，则的值为（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·河北期中）计算：的结果是（    ） A. B. C. D. 7.（25-26·全国月考）设，，则可以表示为（    ） A. B. C. D. 8.（25-26·河北月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A. B. C. D. 二、填空题 9.（25-26·上海月考）二次根式、、、中是最简二次根式的有________________个． 10.（25-26·全国同步）二次根式与最简二次根式可以合并，则___________． 11.（25-26期末）计算：________． 12.（25-26·上海月考）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则________________． 13.（24-25·上海期中）已知，，则的值是__________． 14.（24-25·山西月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为_______________．  三、解答题 15.（25-26·江苏月考）计算： （1） （2）． 16.（25-26·北京期中）计算 （1）； （2）； （3）． 17.（23-24·广东开学）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 18.（25-26·上海月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 19.（24-25·湖北期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的； ， ， ，， ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______； （2）化简：； （3）若，求的值． 20.（24-25·辽宁期中）如图甲，这是由个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． （1）这个魔方的棱长为_______（用代数式表示）； （2）当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为____； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为______； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，则点在数轴上表示的数为______； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点的位置（保留作图痕迹）． 2 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $