精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高一下学期开学摸底检测数学试卷

高一开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交运算求，根据其元素个数确定真子集的个数. 【详解】由，共有3个元素， 所以的真子集的个数为. 故选：C 2. 已知全集，集合，则中的元素个数是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得到集合，再求补集即可求出其元素个数. 【详解】因， 又全集，所以，其中共有5个元素. 故选：D. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式、倍角正余弦公式及同角三角函数的关系化成齐次式形式，进而可得，结合已知求值即可. 【详解】， 故选：A. 6. 已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件. 故选：A. 7. 函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 8. 已知函数，至少有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由导数研究单调性后作出图象，转化为交点问题求解 【详解】令，当时，， 当时，，求导得， 时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，，， 作出大致图象如图所示，由题意得和图象至少有两个交点， 故的取值范围是 故选：A 【点睛】函数零点的判断：将问题转化为两函数的交点，作出两个函数的图象，看其交点的个数， 利用导数研究函数的单调性，常化为极(最)值问题，注意分类讨论与数形结合思想． 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB可用作差比较法比较大小即可判断，对于C，根据对数函数性质，易知当时，从而排除C项；对于D，可用不等式的性质直接推得． 【详解】对于A，由，则，由， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故，即，故B正确； 对于C，因，当时，，故C错误； 对于D，由，可得，利用不等式的性质可得， 即，故，故D正确． 故选：BD． 10. 若幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，解之即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，，解得， 故，所以，. 故选：CD. 11. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算可判断A；利用计算判断B；计算的坐标，再利用向量的模的公式计算并求最小值判断C；利用且与不共线求解不等式判断D. 【详解】A，若，则，得，故A正确； B，若，则，得，故B正确； C，，则， 则当时，取最小值，故C错误； D，若向量与向量的夹角为钝角，则且向量与向量不共线， 结合A项可得，且，故的取值范围为，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】原式. 故答案为： 13. 已知函数，则满足的的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据分段函数的组成，结合，求出的值，并检验，再由，结合分段函数式代入求出的值即可. 【详解】因， 设，当时，，解得，即， 若，则，解得，不合题意，舍去； 若，则，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去. 综上，可得. 故答案为：. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设m∈R，关于x的不等式的解集为. （1）求m的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，不等式可化为，解集为； 当时，，此时不等式的解集为或； 当时，，此时不等式的解集为. 【解析】 【分析】 （1）由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解； （2）转化条件为，按照、、讨论，运算即可得解. 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为， 所以关于x的不等式恒成立， 所以，解得， 所以m的取值范围为； （2）不等式等价于， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，，此时不等式的解集为或； 当时，，此时不等式的解集为. 16. 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题 （1）小球开始振动时的位置在哪里？ （2）小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ （3）经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ （4）小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 【答案】（1）位置在处，即平衡位置上方处； （2）最高、最低位置时的分别为2，； （3） （4）每秒钟小球能往复振动次. 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里. （2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案； （3）求出函数的周期，即得答案； （4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案. 【小问1详解】 作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图， 当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； 【小问2详解】 的最大值为2，最小值为， 则小球的最高、最低位置时的分别为2，； 【小问3详解】 由于，故经过小球振动一次； 【小问4详解】 每秒钟小球能往复振动次. 17. 若，且． （1）求的最小值及对应的的值； （2）当取何值时，，且． 【答案】（1）当时，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入利用对数的运算性质即可得出．进而利用二次函数与对数函数的单调性即可得出． （2）由题意知：，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出. 【小问1详解】 ． 由已知得． 又． 故． 当，即时，有最小值． 【小问2详解】 由题意得， 所以. 18. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670 MW，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）. （1）求2006年全球太阳能电池的年生产量（结果精确到0.1 MW）； （2）目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420MW.假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意列出式子，通过计算得到答案；（2）设平均增长率为，列出不等式，解得答案. 【详解】（1）2006年全球太阳能电池的年产量为: . （2）设四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率为，则： . 解得 ∴这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到. 【点睛】本题考查根据增长率建立合适的模型解决实际问题，属于简单题. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知全集，集合，则中的元素个数是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，至少有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（　　） A. B. C. D. 10. 若幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 13. 已知函数，则满足的的值为____________. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设m∈R，关于x的不等式的解集为. （1）求m的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 16. 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题 （1）小球开始振动时的位置在哪里？ （2）小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ （3）经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ （4）小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 17. 若，且． （1）求的最小值及对应的的值； （2）当取何值时，，且． 18. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670 MW，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）. （1）求2006年全球太阳能电池的年生产量（结果精确到0.1 MW）； （2）目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420MW.假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $