中考一轮复习26图形的对称、平移、旋转与位似知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版数学九年级下册（14考点）

中考一轮复习26图形的对称、平移、旋转与位似知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（14考点） 知识归纳： 一、轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆． 2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤 1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点． 4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤 1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点； 2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 二、图形的平移 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等． 4．作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 三、图形的旋转 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3．性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 四、中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD， AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C ∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区 别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联 系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等． 注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”. 五、位似图形 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 考点专练： 考点1：轴对称图形与中心对称图形的识别 1.下列标识中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3.下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4.剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 考点2：轴对称的性质 1.如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2.一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 3.在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 4.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    5.如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为 . 考点3：关于y轴、x轴对称的点的坐标 1. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 2．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围为（　　） A．a＞﹣1 B．a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．a＜﹣1 3.若点与关于x轴对称，则代数式的值为 ． 考点4：轴对称作图 1.边长为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均落在格点上 (1)直接写出顶点A、B、C的坐标； (2)画出关于y轴对称的图形 2.如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)若点A、B、C关于x轴的对称点分别为、、，则（____，____），（____，____，）（____，____），并在图中画出． (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图求出P点的坐标． 3.在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称； (2)写出点，，的坐标（直接写答案）：______；______；______； (3)求的面积． 考点5：旋转后的坐标 1.已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 考点6：旋转的性质 1.如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 2.如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．3 D． 3.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 4.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 5.已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    考点7：旋转作图 1.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 2.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为__________，旋转角度为__________°． 3.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 考点8：利用平移的性质求解 1.如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 2.如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 3.如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 4.图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 考点9：坐标轴中的平移 1.如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______． 2.如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_______． 3.如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 4.点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 考点10： 旋转综合题-线段问题 1.如图，在中，，，D为内一点，分别连接PA、PB、PC，当时，，则BC的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 考点11：旋转综合题-面积问题 1.如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（　　） A． B． C． D． 2.如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是 ． 3.（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　； （2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由； （3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长． 考点12：旋转综合题-角度问题 1.如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 2.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ． 考点13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1.如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为 ． 2.如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．    3.如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝ 时，四边形ABCD为正方形 4.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ． 考点14：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1.图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为 ． 2.小明将图案  绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ．    3.如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形． (1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且为对角线． (2)请在图2中画一个以为边，面积为的三角形． 4.如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 5.在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种） 要求： （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连） （2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 【答案】 中考一轮复习26图形的对称、平移、旋转与位似知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（14考点） 知识归纳： 一、轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆． 2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤 1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点． 4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤 1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点； 2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 二、图形的平移 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等． 4．作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 三、图形的旋转 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3．性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 四、中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD， AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C ∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区 别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联 系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等． 注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”. 五、位似图形 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 考点专练： 考点1：轴对称图形与中心对称图形的识别 1.下列标识中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 考点2：轴对称的性质 1.如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 2.一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 3.在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 【答案】/54度 4.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 5.如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为 . 【答案】45 考点3：关于y轴、x轴对称的点的坐标 1. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 2．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围为（　　） A．a＞﹣1 B．a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．a＜﹣1 【答案】C 3.若点与关于x轴对称，则代数式的值为 ． 【答案】 考点4：轴对称作图 1.边长为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均落在格点上 (1)直接写出顶点A、B、C的坐标； (2)画出关于y轴对称的图形 【答案】(1)，，； (2) 【详解】（1）由图可得：，，； （2） ，，，关于y轴对称， ，，，依次描出三点，连接即可，见下图： 2.如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)若点A、B、C关于x轴的对称点分别为、、，则（____，____），（____，____，）（____，____），并在图中画出． (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图求出P点的坐标． 【答案】(1)，，，画图见解析；(2) (3)画图见解析， 【详解】（1）解：∵，，． ∴点A、B、C关于x轴的对称点、、的坐标为： ，，， 如图，即为所画的三角形， （2）． （3）如图，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时的周长最小． 由作图可得：． 3.在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称； (2)写出点，，的坐标（直接写答案）：______；______；______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)的面积为． 【详解】（1）解：如图所示； （2）由图可知，，，． 故答案为：，，； （3）的面积：． 即：的面积为． 考点5：旋转后的坐标 1.已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 3.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 【答案】 考点6：旋转的性质 1.如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 3.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 【答案】60 4.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【答案】 5.已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    【答案】 考点7：旋转作图 1.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示，为所求． 2.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为__________，旋转角度为__________°． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所作∶ （2）如图，即为所作∶ （3）如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心P的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 3.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 【答案（1）解：如图即为所求， 此时，； （2）解：如图，即为所求， 此时，， 可看作以点为旋转中心，旋转得到的， 故答案为：，，180； （3）解：如图所示， 因为A的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为， 所以直线必过点，且直线垂直平分线段， ∵可以看作的正方形的对角线， ∴直线经过点，假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 所以直线的解析式为． 考点8：利用平移的性质求解 1.如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】A 2.如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 3.如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 【答案】 4.图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 考点9：坐标轴中的平移 1.如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______． 【答案】（0，2）或（0，）: 2.如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_______． 【答案】 3.如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】A 4.点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 考点10： 旋转综合题-线段问题 1.如图，在中，，，D为内一点，分别连接PA、PB、PC，当时，，则BC的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 【答案】 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 【答案】 考点11：旋转综合题-面积问题 1.如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是 ． 【答案】 3.（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　； （2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由； （3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：OM＝ON． 如图1中， 理由：连接OC． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）数量关系不变． 理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC． ， ， ， ∴OC平分∠ACB， ， ， ， ， ． （3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ∵四边形PGBH是正方形， ， ， ， ， ， ，设， ， ， ∴整理得：， 解得或（舍去）， ． 当点M在CB的延长线上时，同法可得． 综上所述，满足条件的BN的值为或． 考点12：旋转综合题-角度问题 1.如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 2.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ． 【答案】或 考点13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1.如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为 ． 【答案】10 2.如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．    【答案】 3.如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝ 时，四边形ABCD为正方形 【答案】 4.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】6 考点14：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1.图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为 ． 【答案】16 2.小明将图案  绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ．    【答案】/60度 3.如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形． (1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且为对角线． (2)请在图2中画一个以为边，面积为的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）以为对角线，画出菱形，即可获得答案； （2）过点向左作线段，使得；取中点，连接，由网格特点可知，，故，由等边三角形性质可知，，所以，故即为所求三角形． 【详解】（1）解：以为对角线，画出菱形，如下图； （2）解：如下图，过点向左作线段，使得， 即为以为边，面积为的三角形． 4.如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【答案】见解析 【详解】解析：运用基本图 ，按照轴对称和中心对称的特点以及画图规律直接绘制图形即可． 答案：解：如下图所示，答案不唯一． 5.在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种） 要求： （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连） （2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可． 试题解析：如图． ． 学科网（北京）股份有限公司 $