8.2矩形的性质和判定同步作业 2025—2026学年苏科版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形 第5课时 矩形的性质答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，连接交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得△是等边三角形，，由可得，即可求出，则进而求出即可． 【解答】解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题关键． 3．如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得轴，轴，从而得出点的纵坐标与点相同，为1，点的横坐标与点的横坐标相同，为2，即可得出结果． 【解答】解：在长方形中，，，， 轴，轴， 点的纵坐标与点相同，为1，点的横坐标与点的横坐标相同，为2， 故点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，结合题意得出轴，轴是解此题的关键． 4．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质可得，，可证△是等边三角形，可得，，可证△是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， △是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：． 5．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，△是等腰三角形，．若，，则的长为　2　 ． 【分析】矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角△中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 在直角△中，， ， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，，则　10　． 【分析】由矩形的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，即可得出答案． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ； 故答案为：10． 【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 7．如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于点，若，，则的长为 ． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，则由勾股定理可得的长，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得答案． 【解答】解：， ， ，， ， ， 矩形的对角线、相交于点， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．将矩形如图放置，若点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，证明△△，可得，，再根据点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，即为可以解决问题． 【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，，，， ， ， ， ， 则点的坐标是． 方法点到点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， 点到点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到△△． 9．如图，矩形中，、相交于，平分交于，若，求的度数． 【分析】先根据平分交于可得，再根据三角形的外角性质求出，然后判断出是等边三角形，从而可以得出是等腰三角形，然后根据三角形的内角和是进行求解即可． 【解答】解：平分交于， ，， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 即， 是等腰三角形，且， ． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出，然后判断出等边三角是解本题的关键． 10．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）根据矩形的对角线互相平分求出的长度，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出的长度，然后利用勾股定理求出的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：在矩形中，， ， ， ， ，， 在中，， 四边形的面积． 【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 11．如图，四边形是矩形，为上一点，且，为对角线上一点，于点，于点． （1）求证：； （2）试判断和，的数量关系并说明理由． 【分析】（1）由矩形的性质得出，由已知条件，证出，即可得出结论；（2）延长交于，先由角的平分线性质得出，再由，即可得出结论． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：；理由如下： 延长交于，如图所示： ，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 12．如图，已知是一个长方形，其中顶点，的坐标分别为和，点在上，且，点在上，且，点在上，且使的面积为20，的面积为16，试求的值． 【分析】设之坐标为，，根据和求得、的关系式，解得、即可解题． 【解答】解：设之坐标为，， 解得 同理， ， 化简得 将代入上式得 ，解得． 【点评】本题考查了矩形面积的计算，考查了三角形面积的计算，考查了二元一次方程组的求解，本题中求出关于、的关系式并求得、的值是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:47:34；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 声 1．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（　　） A． B．4 C．4.5 D．5 【分析】设，则，根据矩形的性质结合、点为的中点，即可得出的长度，在△中，利用勾股定理即可找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设，则， ，四边形为矩形，点为的中点， ，． 在△中，，，，， ，即， 解得：． 故选：． 2．如图，在△中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【分析】根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可． 【解答】解：连接， ，，， ， 四边形是矩形， ， 要使最小，只要最小即可， 过作于，此时最小， 在△中，，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ， 即， 故选：． 3．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为　　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：四边形是矩形，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键． 4．如图，四边形为矩形，、分别为、边的中点，四边形为矩形，、分别在、边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形的面积之比为　　． 【解答】解：连接， 四边形为矩形， ，， 、分别为、边的中点， ，， ， 四边形是矩形， 的面积是， 即， 同理， 图中四个直角三角形面积之和与矩形的面积之比是， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，主要考查学生的推理能力． 5．已知，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，连接，，． （1）如图①，当时，试说明△是直角三角形； （2）如图②，若点是边的中点，平分，求的长． 【分析】（1）在△中，，在△中，，在△中，，得出，即可得出结论； （2）作于，则，证明△△，得出，，得出，证明△△，得出．设，则，，得出，在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明；， ， ． 四边形是矩形， ，，， 在△中，， 在△中，， 在△中，， ， △是直角三角形，且； （2）解：作于， 则． 平分， ， 在△和△中，， △△， ，， ， 在△和△中，， △△， ． 设，则，， ， 在△中，， ， ， 即． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:54:59；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【素养提升】 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，当在轴上运动时，随之在轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． （1）取的中点，连接，，求的值． （2）如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据勾股定理求出的长，进而可以解决问题； （2）取的中点，连接，，，根据，当、、共线时，，可得点到原点的最大距离． 【解答】解：（1）根据题意可知：， 的中点， ， ， ， ； （2）取的中点，连接，，， 在△中，， △是等边三角形， ， ，， ， 在△中， ， 当、、共线时，， ． 点到原点的最大距离是， 8.2特殊的平行四边形 第6课时 矩形的判定答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案． 【解答】解；连接，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 2．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出．在直角△中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， 在直角△中，， 点是的中点， 是直角△斜边上的中线， ， 则的长为． 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线和勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【解答】解：工人师傅测量它们的两条对角线是否相等道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：． 4．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，，则线段的长是（　　） A． B． C． D．8 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明△是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接， ，点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， ， △是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 5．如图，在中，对角线、相交于点，点，在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 　（答案不唯一）　 ．（填一个条件即可） 【分析】由平行四边形的性质得，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】解：这个条件可以是，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在矩形中，．动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为 ，当　4　时，四边形是矩形． 【分析】根据题意和矩形的性质得到 ，，再由矩形的对边相等得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意得， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 7．如图，在四边形中，，，平分．下列结论：①；②四边形是矩形；③点是的中点；④若，，则．其中一定正确的有 　①②④　 【分析】根据矩形的判定与性质进行逐一判断即可． 【解答】解：， ， 四边形是矩形，故②正确； ， ， 平分， ， ， ，故①正确； 与不一定相等， 点不一定是的中点，故③错误； ，， ， ，故④正确， 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的性质是解题关键． 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点．连接，，则的最小值为 ． 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，，， ， 故答案为：． 9．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点和点之间的距离． 【分析】（1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，连接． ，， ， ， 在△中， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 点和点之间的距离为． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【分析】（1）由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定可证得△△，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，进而求得，，由勾股定理和含30度直角三角形的性质可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【解答】（1）证明：在平行四边形中， 且， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ， ， ， 在△中，，， ， ， 在△中， ， 四边形是平行四边形， ， ． 11．如图，在△中，边的垂直平分线分别交边，于点，，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求△的面积． 【分析】（1）证明△△，推出，由垂直平分线的性质求得，证明四边形是平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）在△，由勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得，再利用等高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【解答】（1）证明：， ，； 点是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 垂直平分， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：如图，，，，连接． 由（1）得，， 在△，由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．灵活运用各知识点是解答本题的关键． 12．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片，要求利用尺规作图，在、上各找一点、，使四边形为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接、交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交、边于点、．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路 　一　 ，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图3，点是矩形对角线、的交点，过点作分别交、于点、，连接、，若，，求四边形的周长． 【分析】（1）根据作图和矩形的判定方法即可求解； （2）由四边形是矩形，得，，，，证明△△，则，故有四边形是平行四边形，从而可得四边形是菱形，所以，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可． 【解答】解：（1）思路一： 由作图可知，， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ，，，， ， ， △△， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设，则， ， ， 解得：，，四边形的周长为25． 【拓展延伸】 声 1．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【解答】（1）证明：延长至点，使，， ，四边形是平行四边形，，， ，，四边形为平行四边形，于点，， 四边形为矩形． （2）解：四边形为矩形，，， ， ，， ，， ， △是直角三角形，且， ， ， 的长为． 2．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【分析】过点作的延长线于点，根据题意可判断四边形是矩形，则有，，再由勾股定理求得，，从而可判断△是等腰三角形，则有，利用三角形的等积可求解． 【解答】解：过点作的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在△中，， 在△中，， ， △是等腰三角形， 点是的中点， ， ， ， 解得：． 第二种解法：延长，在的延长线上截取，连接，过点作，交延长线于点，如图， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在△中，， 点是的中点，， 是△的中位线， ． 故选：． 【点评】本题主要考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答的关键是求得的长度． 3．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 　1.2　． 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【解答】解：如图，连接， ，，， 四边形是矩形， ， ，，， ， 点是的中点， ， 时，取得最小值，此时取得最小值， ， ， ， 长度的最小值是1.2． 故答案为：1.2． 4．如图，在梯形中，，．知，，，点是边上的中点，联结，那么的长是 　　． 【分析】过作于，则四边形是矩形，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【解答】解：过作于， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，，， ， ， 是边上的中点， ， 在中，，，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求出是解决问题的关键． 5．如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，连接，若，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，，四边形是平行四边形， ，， 是矩形； （2）解：，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， 在△ 中，，， ． ． 6．如图，点在的边上，于点，，于点，，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【分析】（1）证明△△，得．则，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，设，则，，再由勾股定理列出方程，求出，即可解决问题． 【解答】（1）证明：于，于， ， 在△与△中， ， △△， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知，△△， ， 设，则，， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 矩形的面积． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【素养提升】 如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在△与△中，，△△，，， ， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为矩形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ． 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形 第5课时 矩形的性质 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 )【基础训练】 1．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，连接交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，△是等腰三角形，．若，，则的长为　　 ． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，，则　　． 7．如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于点，若，，则的长为　　 ． 8．将矩形如图放置，若点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 　　 ． 9．如图，矩形中，、相交于，平分交于，若，求的度数． 10．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 11．如图，四边形是矩形，为上一点，且，为对角线上一点，于点，于点． （1）求证：； （2）试判断和，的数量关系并说明理由． 12．如图，已知是一个长方形，其中顶点，的坐标分别为和，点在上，且，点在上，且，点在上，且使的面积为20，的面积为16，试求的值． 【拓展延伸】 1．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（　　） A． B．4 C．4.5 D．5 2．如图，在△中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 3．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为　　． 4．如图，四边形为矩形，、分别为、边的中点，四边形为矩形，、分别在、边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形的面积之比为　 　． 5．已知，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，连接，，． （1）如图①，当时，试说明△是直角三角形； （2）如图②，若点是边的中点，平分，求的长． 【素养提升】 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，当在轴上运动时，随之在轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． （1）取的中点，连接，，求的值． （2）如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 8.2特殊的平行四边形 第6课时 矩形的判定 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，，则线段的长是（　　） A． B． C． D．8 5．如图，在中，对角线、相交于点，点，在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 　　 ．（填一个条件即可） 6．如图，在矩形中，．动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为 ，当　　时，四边形是矩形． 7．如图，在四边形中，，，平分．下列结论：①；②四边形是矩形；③点是的中点；④若，，则．其中一定正确的有 　　 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点．连接，，则的最小值为　　 ． 9．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点和点之间的距离． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 11．如图，在△中，边的垂直平分线分别交边，于点，，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求△的面积． 12．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片，要求利用尺规作图，在、上各找一点、，使四边形为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接、交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交、边于点、．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路 　　 ，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图3，点是矩形对角线、的交点，过点作分别交、于点、，连接、，若，，求四边形的周长． 【拓展延伸】 1．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 2．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C． D．3 3．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 　　． 4．如图，在四边形中，，．知，，，点是边上的中点，联结，那么的长是 　　． 5．如图所示，在平行四边形中，，对角线，相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，连接，若，，求的长． 6．如图，点在的边上，于点，，于点，，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【素养提升】 如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $