精品解析：河南省郑州市第六十四中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年上学期期末学情调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A：，只含一个未知数，的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B：，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； C：，含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D：，当时，方程变为，是一元一次方程，不满足“未知数最高次数为2”的条件，故不一定是一元二次方程． 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，，代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故选：C． 4. 小明在学习了概率相关知识之后，和好朋友小亮自制了一个游戏：剪三张大小相同的卡片，在正面分别写上1，2，3，然后打乱顺序，反面朝上，让小红随机从里面抽取两张，则抽到的两个数的和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 先用树状图表示出所有的情况数 ，然后从中找出两个数的和是偶数的情况数，利用概率的计算方法计算即可． 【详解】解：如图， 总共有6种等可能的结果，其中两个数的和是偶数的情况有2种，所以两个数的和是偶数的概率为 ， 故选：A ． 5. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为AC上一点，连结EB、ED，当∠BED＝126°时，∠EDA的度数为(　 　) A. 54° B. 27° C. 36° D. 18° 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形得∠DAC=45°，又由∠BED=126°得∠DEC=63°，外角等于不相邻两内角的和而得． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC=∠BAC=45°， 在△ADE和△ABE中， ∴△ADE≌△ABE， ∴∠BEA=∠DEA， ∴∠CEB=∠DEC， ∵∠BED=126°， ∴∠DEC=63°， ∴∠EDA=63°-45°=18°． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，从性质出发利用角平分线平分直角，外角等于不相邻内角的和而得． 6. 如图，内接于⊙，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB． 【详解】连接OB，如图， ∵∠C=46°， ∴∠AOB=2∠C=92°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 9. 二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x<,y随x的增大而减小 D. 当 -1 < x < 2时，y>0 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意； C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意． 故选D． 考点：二次函数的性质 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 12. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，结合抛物线开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：∵在抛物线中，，抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴到对称轴越远函数值越大． 计算各点到对称轴直线的距离： 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． 因为， 所以． 故答案为：． 13. 为了测量一个光盘的直径；小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的直径是_____． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解题的关键． 设光盘的圆心为O，光盘与三角尺的切点为C，连接．则，，进而根据切线长定理，可得，证明，从而得到，在中，解直角三角形即可求得，进而求得光盘的直径． 【详解】解：如图，设光盘的圆心为O，光盘与三角尺的切点为C,连接，则，， 是的切线, . , ， ∴. , , , 在中，． 的直径为． 故答案为：． 14. 若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 【答案】或12 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，分两种情况计算另一个三角形的面积即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的相似比为 ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的面积比为 设另一个三角形的面积为， 若已知面积的三角形是较小的三角形， 则， 解得． 若已知面积的三角形是较大的三角形， 则， 解得 故答案为：或12． 15. 如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，连接，交于点H．当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 利用勾股定理求出，再由折叠的性质得， 设，当时，证明，可得，则，，在中，利用勾股定理可求出的长；当时，连接，过点D作于点M，过点F作于点N，则，证明，可得，根据，可设，则，在中，利用勾股定理可求出，可得的长度，再由，可得，，，在中，利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中， ，，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 由折叠的性质得， 设， 如图，当时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当时，连接，过点D作于点M，过点F作于点N，则， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即； 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，因式分解法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解； （2）运用因式分解法求一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 17. 2025年12月31日，郑州市第64中学举办“庆元旦，迎新年”游园活动，其中的热门活动有：A．抹鼻子；B．投壶；C．趣味数学；D．魔方，学生可以自由选择自己擅长或者喜欢的项目去参加，为了解学生最喜欢哪一类游戏，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　　　　人． （2）请将条形统计图补充完整； （3）在调查过程中，九（4）班学生小丁和小高决定从这四个游戏中选择一项去参加，用树状图或列表法求出小丁和小高恰好选中同一个游戏的概率． 【答案】（1）200 （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据B的人数除以B的百分比即可求得总人数； （2）求出最喜欢趣味数学的人数，补全条形统计图即可； （3）列表，根据概率公式求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（人）， 故答案为：200． 【小问2详解】 解：最喜欢趣味数学的人数为：（人） 【小问3详解】 解：列表得： 小高 　 小丁 A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 共16种等可能结果，其中小丁和小高恰好选中同一个游戏的结果有4种， ∴小丁和小高恰好选中同一个游戏的概率． 【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． 18. 学习了三角函数测高之后，64中学数学老师带领九三班学生对本校凉亭进行测高，经询问后勤老师得知，亭子最顶端高，学生在点D处测得亭子顶端点的仰角，测得点的仰角． （1）请根据测量数据求出凉亭的高度．（结果精确到．参考数据：， （2）经过计算发现结果与学校留档记录的真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议． 【答案】（1）凉亭的高度约为 （2）多测量几次求平均值，可以减少误差 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，求出，在中，求出，根据求出，进而根据即可求解； （2）根据多测量几次求平均值，可以减少误差，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：多测量几次求平均值，可以减少误差． 19. 如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）连接，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出B点坐标，然后用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）将沿分割，以为底，分别求与的面积即可； （3）找出直线在双曲线下方的部分即可. 【小问1详解】 解：∵过 ∴ ∴ 双曲线过 ∵过 ∴ 解得 【小问2详解】 解：对，令，则， 解得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由图象可得：当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数表达式、一次函数表达式，三角形的面积公式，根据图象写出不等式的取值范围，是解题关键． 20. “千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． （1）求该店11、12月份的月增长率 （2）春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 【答案】（1）11、12月的月增长率为 （2）每箱售价应为90元 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设月增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设每箱售价为元，根据题意列出一元二次方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设月增长率为， 解得：，（舍去） 答：11、12月的月增长率为； 【小问2详解】 解：设每箱售价为元， ， 解得：， ∵让顾客得到优惠， ∴， 答：每箱售价应为90元． 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 【答案】（1） 如图，点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点E，则点E即是劣弧的中点； （2）先求出，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 与相切，为直径， ， ， 是等腰直角三角形， ； 由（1）可得 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么： （1）球能达到的最大高度是多少？ （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据解析式求得最大值； （2）求得当时，的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】（1）由， 当时，取得最大值，最大值为， 球能达到的最大高度是， （2）令，即， 解得（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， （m）， 答：球出手时，运动员跳离地面的高度是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时，运动员的横坐标是解题的关键． 23. 在中，，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接． （1）如图1，若点为中点，连接，求证：四边形为平行四边形； （2）在直线上取一点，使，直线与直线交于点． ①如图2，若点为边四等分点且，若，则的度数为　　　　　．（用含的代数式表示）；此时的值为　　　　　； ②如图3，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） 证明：设相交于， 点关于直线的对称点为点， ，且， 又， ， 点为中点， 为中位线， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形； （2）①；；②或 【解析】 【分析】（1）设相交于，由对称性可知，再证且即可求解； （2）①由，可得，再由角的关系可得，进而可得；设，则，由勾股定理可得，再利用等面积法求得，继续利用勾股定理求出，进而可得，再由，得到； ②连接，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）可证， ， ，， ， ， ； 点为边四等分点且，且， 为边四等分点且， 设，则， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ，， 又，解得， ，， 又，， ， ； ②连接，    ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）方法得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，，解得， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能是，如图：    设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理求得， 在中，，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期末学情调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 小明在学习了概率相关知识之后，和好朋友小亮自制了一个游戏：剪三张大小相同的卡片，在正面分别写上1，2，3，然后打乱顺序，反面朝上，让小红随机从里面抽取两张，则抽到的两个数的和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为AC上一点，连结EB、ED，当∠BED＝126°时，∠EDA的度数为(　 　) A. 54° B. 27° C. 36° D. 18° 6. 如图，内接于⊙，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x<,y随x的增大而减小 D. 当 -1 < x < 2时，y>0 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_____． 12. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系是_____． 13. 为了测量一个光盘的直径；小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的直径是_____． 14. 若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 15. 如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，连接，交于点H．当是直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 2025年12月31日，郑州市第64中学举办“庆元旦，迎新年”游园活动，其中的热门活动有：A．抹鼻子；B．投壶；C．趣味数学；D．魔方，学生可以自由选择自己擅长或者喜欢的项目去参加，为了解学生最喜欢哪一类游戏，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　　　　人． （2）请将条形统计图补充完整； （3）在调查过程中，九（4）班学生小丁和小高决定从这四个游戏中选择一项去参加，用树状图或列表法求出小丁和小高恰好选中同一个游戏的概率． 18. 学习了三角函数测高之后，64中学数学老师带领九三班学生对本校凉亭进行测高，经询问后勤老师得知，亭子最顶端高，学生在点D处测得亭子顶端点的仰角，测得点的仰角． （1）请根据测量数据求出凉亭的高度．（结果精确到．参考数据：， （2）经过计算发现结果与学校留档记录的真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议． 19. 如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）连接，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 20. “千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． （1）求该店11、12月份的月增长率 （2）春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 22. 一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么： （1）球能达到的最大高度是多少？ （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？ 23. 在中，，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接． （1）如图1，若点为中点，连接，求证：四边形为平行四边形； （2）在直线上取一点，使，直线与直线交于点． ①如图2，若点为边四等分点且，若，则的度数为　　　　　．（用含的代数式表示）；此时的值为　　　　　； ②如图3，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $