精品解析：天津市滨海新区塘沽第五中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 若的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 点P在圆内或圆上 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A. 成语“刻舟求剑”是随机事件 B. 诗句“手可摘星辰”是必然事件 C. 成语“水中捞月”是不可能事件 D. 谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 6. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ） A. 18 B. C. D. 12 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③；④若，则，其中结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 如图，是直径，与相切于点B，与相交于点D，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，从长为2、宽为1的矩形的较短边上找一点E，过点E剪下两个正方形，它们的边长分别是，，设，剪下的两个正方形的面积之和为y，则当y最小时，x为（　　） A. B. C. 2 D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 14. 从中随机选一个数，选到正数的概率是_______． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 16. 如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 17. 如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 18. 如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 20. 如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． （1）求的长； （2）若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 21. 在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标． （1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 22. 如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D． （1）若C点坐标为，点A坐标为 ； （2）在（1）的条件下，上存在点P，使，则满足条件的点P坐标为 ； （3）过点C作的切线，过点A作，垂足为点F，与另一个交点为点N．当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系？请说明理由． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由． 25. 如图1，抛物线经过点、，并交x轴于另一点B，点P在第一象限的抛物线上，交直线于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）当的值最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项正确； D、不是中心对称图形，本选项错误. 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3. 若的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 点P在圆内或圆上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，即比较点到圆心的距离与圆半径的大小． 根据点与圆的位置关系的知识，然后即可求解． 【详解】解：∵的半径为3，点到圆心O的距离为2，且， ∴点P在圆内， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征及象限的判定的知识，本题先根据原点对称的坐标规律求出对称点坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， 又∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限， 故选：D； 5. 从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A. 成语“刻舟求剑”是随机事件 B. 诗句“手可摘星辰”是必然事件 C. 成语“水中捞月”是不可能事件 D. 谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误； B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误； C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确； D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误． 故选：C． 6. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点转过的度数为， 重物上升， 点转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 整理得，， 解得， 滑轮上点转过的度数为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选C． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解旋转角的概念并且推导出，是解题的关键．由旋转得，，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ） A. 18 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得，把变形后代入计算即得． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③；④若，则，其中结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在负半轴上可得，据此即可判断结论①；由二次函数的图象与x轴交于点可得，即，结合，可得，由于，两式结合即可判断结论②；由抛物线开口向上且对称轴为直线可得，当时，函数取得最小值为，因而对于抛物线上的任意一点，其纵坐标均不小于，即，由此即可判断结论③；由于抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，因此根据轴对称的性质，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，由一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可得，再结合可得，于是可得，则，又因，于是可得，再结合，即可判断结论④；综上，即可得出所有错误的结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在负半轴上， ∴， ，故结论①正确； 二次函数的图象与x轴交于点， ， 即：， ， ， ， ，故结论②正确； 抛物线开口向上，且对称轴为直线， 当时，函数取得最小值为， 对于抛物线上的任意一点，其纵坐标均不小于， ， 即：，故结论③正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据轴对称的性质，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论④错误； 综上，错误的结论有：④， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，抛物线与轴的交点问题，二次函数的图象与系数的关系，的最值，一元二次方程的根与系数的关系，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 10. 如图，是直径，与相切于点B，与相交于点D，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由切线的性质定理得到，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴．   故选：B ． 11. 要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（长方形面积与周长），熟练掌握长方形的周长和面积公式，并用未知数表示出另一边的长度是解题的关键.先根据篱笆总长得出长方形的周长，进而求出长与宽的和，再结合面积公式列出方程. 【详解】解：由题意可得 ， 故选：B． 12. 如图，从长为2、宽为1的矩形的较短边上找一点E，过点E剪下两个正方形，它们的边长分别是，，设，剪下的两个正方形的面积之和为y，则当y最小时，x为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练使用配方法是解题的关键． 用含的式子表示，运用配方法求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴两个正方形的面积之和为， ∴当时，有最小值．   故选：A ． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 14. 从中随机选一个数，选到正数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等可能事件的概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵中有2个正数， ∴选到正数的概率， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理推出平分，进而解题． 【详解】解：由题意知，平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：6 ． 17. 如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （Ⅰ）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K．证明，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意推出点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动，当且仅当、、三点共线时，有最小值，结合勾股定理解题即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，以及，用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当且仅当、、三点共线时，有最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或． ； 【小问2详解】 解： ， 故此方程有两个不相等的实数根， ， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． （1）求的长； （2）若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】（1） （2）点P位置建详解； 【解析】 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【小问1详解】 连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 21. 在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标． （1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1）树状图如下： 由树状图得，点P所有可能的坐标为： （1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据列表分与树形图法即可写出结果； （2）把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解． 【详解】(1)略 (2)把代入函数解析式，得， 把代入函数解析式，得， 把代入函数解析式，得， 9个点中有（1，2）、（2，1）、（3，2）共3个点在该函数的图象上， 所以． 所以点在函数的图象上的概率为． 【点睛】本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或画出树形图． 22. 如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D． （1）若C点坐标为，点A坐标为 ； （2）在（1）的条件下，上存在点P，使，则满足条件的点P坐标为 ； （3）过点C作的切线，过点A作，垂足为点F，与另一个交点为点N．当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】（1） （2）， （3）不变，为6， 证明：如图2，连接，作于H，则， ∵过点C作的切线， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的半径，进而求解； （2）根据题意，可知为等腰直角三角形，过点作，证明，即可求出第一个点的坐标，再推出为的中点，进而求坐标即可； （3）连接，作于H，证明，得到，进而求解． 【小问1详解】 解：连接，由题意知，， ∴， 即的半径为5； ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 过点作，如图， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 另一个点位置如图，此时，则有， ∴、、三点共线，且为的中点， ∵，设， 则有， 解得， ∴； 即存在两个这样的点，； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和切线与圆之间的关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，即； 【小问2详解】 解：由题意得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 24. 【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系？请说明理由． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由． 【答案】 模型建立：结论：．理由如下： 如图1，四边形是正方形， ，， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， （）， ； 迁移应用：所画图形如图所示： 拓展提升：（1）；（2）的大小不变， 【解析】 【分析】模型建立：根据正方形的性质，根据，可得，根据全等三角形的性质，可得答案； 迁移应用：根据题意画图即可； 拓展提升：（1）过点D作，交于H，可证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，设，利用勾股定理可得，解方程即可求得答案； （2）作于H．利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题． 【详解】模型建立：略 迁移应用：略 拓展提升： 解：（1）过点D作，交于H， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 将正方形沿折叠，点的对应点分别为，使得点始终落在边上， ，，，，， 由（1）可知 ， ， 设 ， ，， ，， 在 中， ， ， 解得：， ； （2） 的大小不变． 如图4中，作 于 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ()， ， 同法可证：， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图1，抛物线经过点、，并交x轴于另一点B，点P在第一象限的抛物线上，交直线于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）当的值最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）设点，然后分、、三种情况进行讨论，利用相似三角形的判定与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴点P的坐标为：； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为：， 若是直角三角形，且点Q在抛物线上，则点Q不能与点P、A重合， ∴，且， ①若，如图，过点P作轴于点，作于点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴点Q的坐标为：； ②若，如图，过点P作轴于点，过点Q作轴于点，则，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴点Q的坐标为：； ③若，如图，过点Q作轴于点，作于点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，解得：，， ∴点Q的坐标为：或； 综上所述，点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $