空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 己知线面角求其他量 例1.(2026河南南阳·模拟预测)如图，四边形 BCD是菱形，平面PAC1平面ABCD,PM/OD ABCD 且 PA=AD=20D=2 M PC 为的中点 MQ⊥PA (1)证明： V105 (2)若PA⊥AC,直线CQ与平面PBC所成角的正弦值为35，求AC· 例2.（2026河北一便)如图，在四按锥6CE中，D1BG△10为等边三角形.底面8CE 为等腰梯形， AB /EC,AB=4,EC=AE=2 D B (I)求BD. V30 BF (2)在线段BD上是否存在点F,使得直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为10？若存在，求BD的值；若不存 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 在，请说明理由. 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 例3.(25-26高二上山东济宁·月考)如图，在三棱台ABC-A'B'C中，AA⊥平面ABC,D为BC的中点， AC=24'C=4 AB=2AD=2AA=22 (I)求证：AD⊥BB: V85 (②)BE=入BB(0<元<1，C'E与平面ACCA所成角的余弦值为10，求出入的值 例4，（2026安徽淮南一模）如图，在三校锥P1BC中，点D,E分别是 D,EAC,BC 的中点，平面PABn平面 PDE=1. 、 A (I)判断直线I与直线DE的位置关系，并给出证明； ②若平面P4C上平面4BC,P11PC,PA=PC=5,BDL4C,BD=2,e是直线'上的一点，直线CO与平面 44 PBC所成角的正弦值为)，求线段PQ的长度. 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 变式1.(25-26高三上山东青岛期末)如图，在三棱台 MBC-ABG中，AB1AC,AB=AC=3AB=3 点 在底面的投影G是△ABC的重心. B B BBCC1⊥ (1)证明：面 面ABC π (②)若直线AA与底面ABC的所成的角为4，求面B,BCC与面ABB,4夹角余弦值. 变式2.(25-26高二上云南昆明·期末)如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直， AB=2,∠ABC=60,M是4B的中点. ------->D B (I)求证：EM⊥AD: (2)求二面角A-BE-C的余弦值： 3 EP (③)在线段EC上是否存在点p,使得直线4P与平面pDE所成的角的正弦值为4？若存在，求出EC的值：若不存 在，请说明理由. 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 变式3.(25-26高二上·浙江湖州·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AB LAC, AD∥BC,AD⊥CD,且△PAB为正三角形，BC=2PA=8,点M为PB的中点，点N为棱PD上一点，且 PN=2PD,2∈[0,1 D (I)证明：PB⊥AC: √34 (2)若直线BN与平面MAC所成角的余弦值为8，求入的值. 变式4.(25：26高二上江苏期米)如图，在三棱链P-1BC中，B平面P8C,乙4CB=45,平面 AC上平 面ABC,棱AC的中点为O. B (I)求证：PC⊥平面ABC: √42 (2)若AB=2,PC=m(m>),直线OP与平面PAB所成角的正弦值为28，求实数m的值. J 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 考点二 已知二面角求其他量 例1.(25-26高三下·湖北孝感开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面 PAD 是正三角形，侧面P1D〦底面48 面ABCD,M是PD的中点 D、 (I)求证：AM⊥平面PCD: VG PN (2)试问在线段PB上是否存在一点N,使得平面AMN与底面ABCD所成夹角的余弦值为4，若存在求出PB的 值，若不存在，请说明理由 例2.(25-26高三上·浙江杭州·月考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形EFDC为正方形，AD⊥平面EFDC, AB/ICD,且AB=AD=2,CD=4,P为棱BC上的点. A D B (I)证明：平面FDB⊥平面BCE; √42 (2)若平面FAP与平面FBD的夹角的余弦值为14，求线段BP的长. 6 空间向量与立体几何：己知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 例.(2425高=上潮商岳阳期末)如图，已知长方形BCD中，B=25,D=V5,M为DC的中点，将 △ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM. D M (I)求证：AD⊥BM: √37 (2)若点E是线段DB上的一动点，当E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为37· 例4.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，在直四棱柱 BCD-ABCD中，底面为矩形，MB=V51D=Ba,高为 h O,E CD 分别为底面的中心和的中点. D B AOE (1)求证：平面 平面CDDG 22 h (2)若平面4OE与平面DBC的夹角的余弦值为3，求a的值. > 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 变式1.(2026安徽黄山一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABIICD,AB⊥AD,CH⊥AB,E为BC中点，将 △BOH沿CH折起，使B到P处. E E (I)求证：PAW平面DEH: 2若平面PCH1平百DCH,CH-PH-1,CD=万，顶=PD0<A<),且二面角P-1-0的正孩值为 25 5 (I)求九的值： (IⅡ)求四棱锥Q-ADCH外接球的表面积. 变式2.（25-26高三上·安徽六安·期末)如图，直四棱柱 BCD-ABCD底面4BCD为菱形，∠ABC=120 B=2,4=3,点M为棱DD上靠近D的三等分点，点N在4上且4N=40<元<)，过点MNC的 平面与直线AB交于点P. Mi D (I)求证：NP/MC: ®活天-子，求三校鞋M-0PC的外接球的表面积 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 25 (3)若二面角N-PC-D的余弦值为7，求元的值. 9 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 变式3.(25-26高二上陕西安康期末)如图，在长方体 BCD-ABCD中，4D=2AB=4. A D B B,C∥ (1)证明： 平面 ABD (2)若平面ABD与平面BCD所成角的正弦值为3，求AA· 变式4.(25-26高三上河北秦皇岛期末)如图，己知四棱台 BCD-AB,CD的底面为正方形，A上平面 ABCD.AB=2AB=2,M为AD的中点. B CM/I ABB A (1)证明： 平面 6 (2)若平面BCM与平面ABBA夹角的余弦值为3，求棱CC1的长度. 10空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：己知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 己知二面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1.(2026河南南阳·模拟预测)如图，四边形ABCD是菱形，平面PAC⊥平面ABCD,PA1IQD,且 PA=AD=2QD=2,M为PC的中点. B (I)证明：MQ⊥PA: ②)若PA上AC，直线CO与平面P8C所成角的正弦值为o5 求AC 35 【答案】(1)证明见解析 (2)25或2 【详解】(1)连接BD,交AC于点O,连接OM: 因为四边形ABCD是菱形，则OA=OC,OD⊥AC, 因为M为PC的中点，则OM1P%,OM=PA, 又PA/QD,且QD-PA,故得OM/0D,oM=QD, 故四边形OD2M是平行四边形，则MQ/1OD 又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, OD⊥AC,ODc平面ABCD, 则OD⊥平面PAC,又PAc平面PAC, 则OD⊥PA,故MQ⊥PA. (2)因PA⊥AC,OM/1PA,则OM⊥0C, 又得0M⊥0D,即OC,OD,OM两两垂直， 故以点0为坐标原点，分别以OC,OD,OM所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-z 设AC=2a,则0D=V4-a2，于是C(a,0,0),Q0,V4-a2,),B(0,-√4-a2,0),P(-a,0,2), 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 则BC=(a,√4-a2,0),Bp=(-a,V4-a2,2),C=(-a,V4-a2,), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), BC.n=ax+V√4-a2y=0 ，故可取i=V4-a2,-a,av4-a2）， BP.n=-ax+4-a2y+2z=0 依题意，05-oc0,心= -a4-a2 35 5-a4+4a2+4 解得a=√5或a=1,则AC=23或AC=2. M A D 例2.(2026·河北一模)如图，在四棱锥D-ABCE中，AD⊥BE,△ADE为等边三角形，底面ABCE为等腰梯形， AB EC,AB=4,EC=AE=2. D B (I)求BD ②)在线段BD上是否存在点F,使得直线A与平面ABCE所成角的正弦值为50？若存在，求 10 的值：若不存 D 在，请说明理由. 【答案】(1)4 ②存在，号 【详解】(1) D B 由题意得，过E作EH⊥AB,EH∩AB=H, 空间向量与立体几何：己知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 因为底面ABCE为等腰梯形，且AB=4,EC=AE=2,所以AH=1,HB=3, 所以EH=√4-1=√5，EB=√EH2+HB2=2√3， 所以EB2+AE2=AB2,进而得出EB⊥AE, 又AD⊥BE,ADAE=A,AD,AEC平面DAE. 所以BE⊥平面DAE,又DEC平面DAE, 所以BE⊥DE, 所以BD=VDE2+BE2=V4+12=4, (2) D B 取AE的中点为T,连接DT,:DA=DE,.DT⊥AE, 所以BE⊥平面DAE,又DTc平面DAE, DT⊥BE,BEAE=E,BE,AEC平面ABCE, 所以DT⊥平面ABCE,过E作Ez平行于DT, 以EA,EB,Ez所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A2,0,0),B0,25,0,D1,0,5, :BD=1,-25,5), 假设存在点F,设BF=2BD=21,-25,V5)(2∈[0，)， :AF=AB+BF=-2,25,0+,-2W5,V52=(2-2,23-2W52,√5元， 设平面ABCE的一个法向量i=(0,0,1), 因为直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为V30 10 V30 AF.R √3元 10 解得元=或元=4《舍) F-同2-22+12(2-12+3元2 3 ·在线段BD上存在点F,使得直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为50，此时BF-名 10 BD 3 例3.(25-26高二上山东济宁·月考)如图，在三棱台ABC-A'B'C'中，AA'⊥平面ABC,D为BC的中点， 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 AC=2A'C'=4,AB=2AD=2AA'=22 A D (I)求证：AD⊥BB': ②BE=ABB0<元<，CE与平面4CC'4所成角的余弦值为S,求出2的值 10 【答案】(1)证明见解析； 2入=2 1 【详解】1)取B中点F,连接DF,因为D为BC中点，所以DF1AC,且DF=号4C=2。 又4F-号4B=5,D=反，则AF+AD=DF=4,所以F1AD,即4B14D, 又AA'⊥平面ABC,ADC平面ABC,所以AA'⊥AD, 而AA'OAB=A,AA',ABC平面ABBA',所以AD⊥平面ABB'A', 由BB'C平面ABB'A',，则AD⊥BB' (2)以A为原点，直线AB,AD,AA'分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， B 则40,0，N2,B2W2,0,0,C(-22,2V2,0,B'(N2,0,2),C'(-V2,2,2, B'E=2B'B=V22,0,-V2)(0<入<1 设平面ACC'A'的法向量为i=(x,,z),AA=(0,0,V),AC=(-2V2,2W2,0, AC.=0 则 ,取x=1,i=1l,0),CE=CB+BE=(22+V22,-V2,-V22, AA.n=0 依题意CE与平面4CC所成角的余弦值为5，CE与平面ACC'H所成角的正弦值为5 10 10 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 得6 cosCE. CE.n √2+√2 10 CE:元√2√422+82+10 平方化简得4以+8-5=0，解得入-分，或入-=多（合去，所以入=分 例4.(2026安微淮南一模)如图，在三棱锥P-ABC中，点D,E分别是AC,BC的中点，平面PAB⌒平面 PDE=1. B (I)判断直线1与直线DE的位置关系，并给出证明； (2)若平面PAC⊥平面ABC,PA⊥PC,PA=PC=√2，BD⊥AC,BD=2,Q是直线I上的一点，直线CQ与平面PBC 所成角的正弦值为专，求线段PO的长度。 【答案】(I)DE,证明见解析 ②5或5. 2 【详解】(1)DEll. 证明：因为点D,E分别是AC,BC的中点，所以DE∥AB, 因为ABC平面PAB,DE丈平面PAB,所以DE∥平面PAB, 因为平面PABO平面PDE=I,DEc平面PDE,所以DEI. (2)因为PA=PC,点D为AC的中点，所以PD⊥AC, 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PDC平面PAC, 所以PD⊥平面ABC, 因为BDC平面ABC,所以PD⊥BD,又BD⊥AC 所以以D为原点，分别以DA,DB,DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， B方 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 因为PA⊥PC,PA=PC=√2，所以PD=AD=CD=1,又BD=2, 则D(0,0,0),A1,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),P(0,0,1. PB=(0,2,-1,PC=(-1,0,-1, 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), PB.n=2y-z=0 则 ,不妨设y=1,解得i=-2,1,2). PC.ii=-x-z=0 由(1)可知II∥AB,设PQ=入AB, 得00=(-入，22,1，所以C0=(1-元，22,1). 设直线CQ与平面PBC所成角为O, 则sin8-cos(ce,n= n.co -2×(1-2)+1×22+2×1 4 co 1-2'+(2+P×-22+1P+29' 得入=三或1=-1， 、) 所以线段PQ的长度为5或5.」 2 变式1.(25-26高三上山东青岛期末)如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AB1AC,AB=AC=3A,B,=3,点A在 底面的投影G是ABC的重心 B G B (1)证明：面B,BCC,⊥面ABC; (②)若直线AA与底面ABC的所成的角为Z,求面B,BCC,与面ABB,4夹角余弦值」 【答案】（①）证明见解析 R 3 【详解】(1)因为AB⊥AC,AB=AC, 所以三角形ABC等腰直角三角形， 设BC,B,C的中点为M,N,连接AM,AN, 6 空间向量与立体几何：己知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 所以AM∥A,N, 因为点A在底面的投影G是ABC的重心， 所以点G在AM上，因为AB=AC=3A,B,=3, 所以M-aB+AC-2,4N=46+4C-万， 2 于是MG=AM=2,所以MG=4N, 2 因此四边形MGA,N是平行四边形，所以MN/1A,G, 因为AG⊥面ABC,所以MN⊥面ABC, 而MNc面B,BCC,所以面B,BCC,⊥面ABC; (2)建立如下图所示的空间直角坐标系， A0,0,0),B3,0,0),C0,3,0),A(1,1,aa>0),G1,1,0), 因为AG⊥面ABC, 所以AG=(0,0,-a是平面ABC一个法向量，AA=(1,l,a, 因为直线A4与底面ABC的所成的角为云， 4 所以cos(4G,AM= AG·A4 ππ a2 cOs2-4 √2 cos 22 解得a=√2，a=-V2舍去， 所以该三棱台的高为AG=√2，所以B,(2,lV2), 因为面B,BCC,⊥面ABC,面B,BCC,A面ABC=BC, AG⊥BC,AGC面ABC, 所以AG⊥面B,BCC,所以AG=(1,L,O)是平面BBCC,一个法向量， 设平面ABBA的法向量为i=(x,y1,, AB,=(2,l2,AA=1,12), 所以 -g=02+%+2=0=0, 元·AA=0x+y+V2z,=0 取y=V2,则，=-1 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 所以平面ABB,4的一个法向量为元=(0，V2,-1, m。55 所以cos(m,= m园√2×万3 因此面B,BCC,与面ABB4夹角余弦值为V 3 B B 变式2.(25-26高二上·云南昆明期末)如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直， AB=2,∠ABC=60°，M是AB的中点. -D B (I)求证：EM⊥AD: (2)求二面角A-BE-C的余弦值； (③)在线段C上是否存在点P,使得直线4P与平面PDE所成的角的正弦值为子？若存在，求出民的值：若不存在。 EC 请说明理由. 【答案】()证明见解析： (2)6 5 ③)在线段C上存在点P,P-{或P-2 EC 37 CEC 3 【详解】(I)由EA=EB,M是AB的中点，得EM⊥AB, 又平面ABE⊥平面ABCD,平面ABEO平面ABCD=AB,EAC平面ABE, 所以EM⊥平面ABCD,又ADC平面ABCD, 所以EM⊥AD (2)在菱形ABCD中，由∠ABC=60°，得ABC是正三角形，则MC⊥AB, 由(1)知EM⊥平面ABCD,则直线MB,MC,ME两两垂直， 以点M为原点，直线MB,MC,ME分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， d 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 则M(0,0,0),A(-1,0,0),B1,0,0),C(0,5,0),E(0,0,√3)， BC=(-L,V5,0),BE=(-1,0,V3),设平面BCE的法向量m=(x,y,z), mBC=-x+3y=0 则 mBE=-x+3z=0 ，令z=1,得m=(51,),而平面ABE的法向量MC=(0,V5,0), cos(m,MC)= mMc。V5√5 mMCV5×V万=5，显然二面角4-BE-C的大小为锐角， 所以二面角A-BE-C的余弦值为5 设在线段EC上存在点P,使得直线P与平面PDE所成的角的正瑟 AE=1,0,V3),EC=(0,V5,-3),设Ep=1EC=(0,52,-V5),0≤元≤1， 则AP=AE+EP=1,3元，√5-√5)，而DC=AB=(2,0,0), iEC=3y-3z=0 设平面PDE的法向量n=(a,b,c),则 DC=2x=0 令z=1,得n=(0,l,1), 内t动-周9点E产子解x- 5 3 31 3 以在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面PDE所成的角的正弦值为，且BP =或 EP 2 EC-3EC=3 ZA E B C市 变式3.(25-26高二上·浙江湖州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥AC, AD∥BC,AD⊥CD,且△PAB为正三角形，BC=2PA=8,点M为PB的中点，点N为棱PD上一点，且 PN=PD,λ∈[0,1. B 9 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 (1)证明：PB⊥AC; (②若直线BN与平面MAC所成角的余弦值为VS4, 求1的值. 8 【答案】（①）证明见解析 @a-月 【详解】(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AC, ACC平面ABCD,所以AC⊥平面PAB, 又PBc平面PAB,所以PB⊥AC. (2)如图，取AB的中点O,BC的中点Q,连接OP,O0. D O B 易知OP⊥AB,OQ/1AC,则OB⊥OQ,OQ⊥平面PAB, 又OPc平面PAB,所以OP⊥OQ,故以O为原点，OB,OQ,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系O-z El D 9 因为AB=PA=4,BC=8,AB⊥AC,所以AC=VBC2-AB2=4V5, BC2cos∠ACB=4C=V5 且sm∠4C8=8-58 BC 2 因为AD‖BC,所以∠DAC=LACB 因为AD⊥CD,所以AD=AC cos∠DAC=AC cosZACB=6 过D作直线AB的垂线，垂足为E,则DE I AC. 所以AE=AD sin∠ADE=AD sin DAC=AD sin ZACB=3,所以OE=5; DE=AD cos.∠ADE=3V3 所以B2,0,0),P0,0,254-2,0,0),C-2,45,0,D-5,3V5,0） 所以PD=（-5,35,-2V5 10