第1章 二次函数 单元复习提升卷 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

第1章 二次函数 单元复习提升卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线，的共同性质是（　　） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 2．乐乐从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下列4条信息： ①a+b+c＜0；②b+2c＞0；③a﹣2b+4c＞0；④a= b 你认为其中正确信息的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 ，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 4．已知对称轴为直线x＝－1的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则以下4个结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③b＞2a，④a＋b＋c＜0，正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 5．若将函数y=2x2的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A．Y=2(x+5)21 B．y=2(x+5)2-1 C．y=2(x-1)2+5 D．y=2(x-1)2-5 6．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B（-1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a＜0，b＞0，c＞0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时，-1＜x＜3.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．抛物线中的的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 8．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．从 ， ， ， ， ， 这六个数中，随机抽取一个数，记为 ．若数 使关于 的分式方程 的解是正实数或零；且使得的二次函数 的图象，在 时， 随 的增大而减小，则满足条件的所有 之和是（　　） A． B． C． D．2 10．已知关于的函数是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　) A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当时，二次函数的最大值为c，则. 其中一定正确的有　 　.（填序号即可） 12．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　 　米． 13．抛物线的图象如图所示，则下列结论中正确的有　 　. ①；②；③；④. 14．函数y= （x-1）2+3，当x　 　时，函数值y随x的增大而增大． 15．已知点，点在抛物线上运动，则的最小值为　 　. 16．在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）解方程：2x2+1＝3x； （2）将二次函数 配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 18．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 19．二次函数的部分图象和对称轴如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为　 　． 20．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调研发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，若每件售价不低于30元，请直接写出自变量x的取值范围； （2）求该服装店销售这批秋衣的日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？ 21．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出 件，应如何定价才能使利润最大？ （1）填空： ①当每件以35元出售时，可卖出　 　件；利润为　 　元； ②当每件以x元出售时，利润为　 　元；其中x的取值范围是　 　． （2）完成对本题的解答． 22． 已知(-3， m) ， (1， n) 为抛物线 (k为常数)上的两个点， （1） 当n=3时， 求m的值； （2） 若k≤-3， 且当-3≤x≤1时， 函数有最大值y=4， 求k的值. 23．已知抛物线交轴于，两点，其中点的坐标为，对称轴为点，为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求的取值范围． 24．如图，一高尔夫球员从山坡下的点O处打出一球，球向山坡上的球洞点A处飞去，球的飞行路线，为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12m时，球移动的水平距离为9m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点间的距离为m． （1）建立适当的直角坐标系，求球的飞行路线所在拋物线的函数表达式． （2）这一杆能否把高尔夫球从点0处直接打入点A处球洞？ 25．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 第2章 二次函数 单元复习提升卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线，的共同性质是（　　） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线，开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点在原点； 开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点在原点； ∴两个函数的共同性质是顶点在原点，对称轴是y轴． 故答案为：D． 【分析】对于二次函数y=ax2，根据抛物线的性质“当a＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴是y轴；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，对称轴是y轴”并结合题意和各选项即可判断求解. 2．乐乐从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下列4条信息： ①a+b+c＜0；②b+2c＞0；③a﹣2b+4c＞0；④a= b 你认为其中正确信息的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】【解答】解：∵x=1时，y＜0， 即a+b+c＜0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣ ， ∴a= b，所以④正确； ∵x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∴ b﹣b+c＞0， 即b+2c＞0，所以②正确； ∵x=﹣ 时，y＞0， ∴ a﹣ b+c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，所以③正确． 故选D． 【分析】利用x=1时，y＜0可对①进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到a= b，则可对④进行判断；由于x=﹣1时，a﹣b+c＞0，然后把a= 代入可对②进行判断；利用x=﹣ 时，y＞0可对④进行判断． 3．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 ，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 【答案】B 【解析】【解答】根据题意B的横坐标为10， 把x＝10代入 ， 得y＝﹣4， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即水面与桥拱顶的高度DO等于4m． 故答案为：B． 【分析】根据题意，水面宽度AB为20则B点的横坐标为10，利用B点是函数为 图象上的点即可求解y的值即DO 4．已知对称轴为直线x＝－1的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则以下4个结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③b＞2a，④a＋b＋c＜0，正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】A 【解析】【解答】①由图象得：抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0，即b2－4ac＞0，b2＞4ac，所以①正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵ ＝－1＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，所以②不正确； ③∵对称轴为直线x＝－1， ∴ ＝－1， ∴b＝2a，所以③不正确； ④由图象得：当x＝1时，y＜0， ∴a＋b＋c＜0，所以④正确； 故答案为A. 【分析】由图象得：抛物线与x轴有两个交点，即得△＞0，据此判断①；由图象得抛物线开口向下，得出a＜0，对称轴 ＝－1＜0，得出b＜0，b＝2a，抛物线与y轴交于正半轴，得出c＞0，据此判断②③；由图象得：当x＝1时，y=a＋b＋c＜0，据此判断④. 5．若将函数y=2x2的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A．Y=2(x+5)21 B．y=2(x+5)2-1 C．y=2(x-1)2+5 D．y=2(x-1)2-5 【答案】C 【解析】【解答】解：∵将函数y=2x2的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位 ∴平移后的抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+5 【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。 6．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B（-1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a＜0，b＞0，c＞0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时，-1＜x＜3.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】①由图可知：x＝1是抛物线的对称轴， 且抛物线的开口向下， ∴当x＝1时，y的最大值为y＝a＋b＋c，故①正确；②由于抛物线开口下， ∴a＜0， 抛物线与y轴交点再正半轴， ∴c＞0， 对称轴为 ，a＜0 ∴b＞0， 故②正确；③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， 即△＞0， ∴b −4ac＞0，故③错误；④（−1，0）关于x＝1对称点为（3，0）， ∴当y＞0时，－1＜x＜3，故④正确； 故答案为：C. 【分析】①由图可知抛物线的开口向下，根据二次函数的图象和系数之间的关系可知a＜0，由图可知抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的性质“当x=-时，抛物线有最大或最小值为”可知，当x=1时，抛物线有最大值，所以把x=1代入抛物线的解析式可求解； ②由图可知抛物线的开口向下，根据二次函数的图象和系数之间的关系可知a＜0，由对称轴在y轴右侧可知a、b异号，于是b＞0，根据抛物线与y轴交在y轴正半轴可知c＞0； ③根据抛物线与x轴有两个交点可知，与之相关的一元二次方程与两个不相等的实数根，于是可得b2-4ac＞0； ④二次函数的值大于0，则抛物线的图像在x轴上方，由图像可知，符合题意的x的值在抛物线与x轴的两个交点之间，即当y＞0时，－1＜x＜3. 7．抛物线中的的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【解析】【解答】解：A、观察表格中的信息可知：从到，逐渐增大，得知逐渐减小，从到，逐渐增大，得知逐渐增大， ∴抛物线图象开口向上， ∴此选项不符合题意； B、观察表格中的信息可知： 当时，，当时，， ∴对称轴直线为， ∴此选项不符合题意； C、观察表格中的信息和B可知： 顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴此选项符合题意； D、观察表格中的信息可知： 图象与x轴的交点坐标为， ∴此选项不符合题意. 故选：C ． 【分析】根据表格信息可得对称轴直线为，从到，逐渐增大，得知逐渐减小，从到，逐渐增大，得知逐渐增大，图象与x轴的交点坐标为，结合各选项即可判断求解． 8．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】【解答】解：根据抛物线的开口朝下可知：， 根据对称轴是1：，得到：，， 与y轴交于正半轴：， 与x轴有两个交点：， 顶点坐标：（1，3），有两个相等的实数根． 综上：，，，有两个相等的实数根． 正确的是：①②④，共3个． 故答案为：C． 【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。 9．从 ， ， ， ， ， 这六个数中，随机抽取一个数，记为 ．若数 使关于 的分式方程 的解是正实数或零；且使得的二次函数 的图象，在 时， 随 的增大而减小，则满足条件的所有 之和是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】【解答】分式方程 的解为 且 ∵ 为正实数或零且 ∴m=−2、0、1、2. ∵二次函数 的图象，在x>1时，y随x的增大而减小， 解得： ∴m=−2、0、1， ∴−2+0+1=−1. 故答案为：B. 【分析】首先将m作为常数，求出分式方程的解为 且 根据分式方程的解是正实数或零且 从而得出m=−2、0、1、2；又二次函数 的图象，在x>1时，y随x的增大而减小，根据二次函数的性质其对称轴直线应该不能在1的右边，从而列出不等式，求解得出m的取值范围，再找出在这个范围内题干中给出的值，最后取出同时满足两个条件的m的值，再根据有理数的加法法则即可算出答案。 10．已知关于的函数是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　) A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【解析】【解答】解：当分别取，，时，所对应的函数解析式分别为： ，，， 若，则， ， 即． 则①正确； 关于的函数， 当时，函数值与无关， 即当，， 当，， 过定点，， 则②正确； 若， 或； 若， 或， 当时，， 则③正确． 故答案为：D． 【分析】把，，代入根据函数值的大小得到不等式，求出x的取值范围判断①③，把二次函数化为即可得到定点的坐标判断②解题． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当时，二次函数的最大值为c，则. 其中一定正确的有　 　.（填序号即可） 【答案】①②③ 【解析】【解答】解：∵二次函数（a，c为常数且）经过 ∴，即3a＋c=m ∴ ∵mc<0 ∴ ∴ ∵a<0 ∴c>0，①正确 ∴c<-3a ∴，②正确 ∵c>0， ∴m<0 ∴点在x轴的下方 ∵抛物线的对称轴为直线，a<0，c>0 ∴抛物线与直线y＝p(p>0)交点的横坐标为整数的有-2，-1，0三个 ∴若关于x的方程有整数解，则符合条件的p值有2个，③正确 ∵抛物线对称轴为直线x＝-1，与y轴的交点为（0，c） ∴抛物线过(-2，c) ∵时，二次函数的最大值为c ∴a＋3＝-2 解得：a＝-5，④错误 故答案为：①②③ 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案. 12．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　 　米． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4）， 设抛物线的解析式为， 将A（-40，4）代入解得， ∴， ∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变， ∴抛物线的解析式变为， 当x=0时，y=19， 故答案为：19 【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。 13．抛物线的图象如图所示，则下列结论中正确的有　 　. ①；②；③；④. 【答案】②④ 【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向上， ∴a>0 ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c<0， ∵对称轴为x=-<0， ∴a、b同号，即b> 0， ∴abc< 0， 故①错误，不符合题意； ②当x=1时，函数值为2， ∴a+b+c=2； 故②正确，符合题意； ③：对称轴直线x =->-1，a>0， ∴2a> b， 故③错误，不符合题意； ④当x=-1时，函数值小于0， 即a-b+c<0， ∴a+b+c=2， ∵将a-b+c<0， ∴.b>1 故④正确，符合题意； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故答案为：②④. 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 14．函数y= （x-1）2+3，当x　 　时，函数值y随x的增大而增大． 【答案】＞1 【解析】【解答】解：可直接得到对称轴是x=1， ∵a= ＞0， ∴函数图象开口向上， ∴当x＞1时，函数值y随x的增大而增大 【分析】该函数的二次项系数大于0，图象开口向上，其对称轴是直线x=1，在对称轴右侧的图象上的点的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，即当x＞1时，函数值y随x的增大而增大。 15．已知点，点在抛物线上运动，则的最小值为　 　. 【答案】5 【解析】【解答】解：如图，过点P作PC⊥x轴，交y=-1于点C，过点A作AD⊥x轴，交y=-1于点D， ∵点P在 抛物线上运动， ∴设点P(2t，)， 由勾股定理可得 ， ∴此时BP可以表示点P到y=-1的距离， ∴， 当且仅当A、P、C三点共线时，. 故答案为：5. 【分析】根据题意设点P结合勾股定理表示BP的距离，进而将BP距离转化为点P到直线y=-1的距离，最后利用垂线段最短分析得出目标线段和最小值. 16．在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为　 　． 【答案】y=2（x﹣3）2+1． 【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3，1）． 可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣3）2+1． 故答案是：y=2（x﹣3）2+1． 【分析】由原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3，1），得到抛物线的函数表达式. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）解方程：2x2+1＝3x； （2）将二次函数 配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【答案】（1）解：∵2x2﹣3x+1＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝ ，x2＝1； （2）解： ， ， ＝ ． 【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）将二次函数的一般式配方求解即可。 18．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】（1）抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； （2）把代入抛物线解析式 得． ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． （3）当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【解析】【分析】（1）根据题意设顶点式，进而代入点即可求解； （2）根据题意将代入抛物线解析式，进而即可求解； （3）根据题意代入，进而解方程，从而即可求解。 19．二次函数的部分图象和对称轴如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为　 　． 【答案】（1）设二次函数的表达式为 将(-1， 0) 代入上式得(0=4a+4 ∴a=-1 ∴二次函数的表达式为 （2）(3， 0) 【解析】【解答】解（2）令=0，解方程，得：x1=3，x2=-1， ∴ 该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为 （3，0）。 故答案为（3，0） 【分析】令=0，解方程即可求出该二次函数图象与轴 的交点坐标。 20．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调研发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，若每件售价不低于30元，请直接写出自变量x的取值范围； （2）求该服装店销售这批秋衣的日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？ 【答案】（1）解：设，根据题意得： ， 解得：，， ∴y与x的函数关系式为； 自变量x的取值范围为： （2）解：由题意得： （3）解： ∵， ∴时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1950， ∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，最大值为1950元． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。设，由“当 时，；时，”即可求解； （2）根据营销问题的基本关系求解。本题的基本关系为：利润=（售价-进价）×销量-其他费用； （3）根据二次函数的性质求解。把求得的二次函数的解析式转化为顶点式，确定自变量取值范围内函数的增减性，利用增减性求最值． 21．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出 件，应如何定价才能使利润最大？ （1）填空： ①当每件以35元出售时，可卖出　 　件；利润为　 　元； ②当每件以x元出售时，利润为　 　元；其中x的取值范围是　 　． （2）完成对本题的解答． 【答案】（1）65；325；（x-30）（100-x）；30＜x＜100 （2）解：设利润为y元，根据题意得， ， ， 因为该二次函数的图象与x轴交于 ， 两点， 所以当 时， 函数y取得最大值为 （元）． 答，当定价为65元时，利润取最大值1225元． 【解析】【解答】解：（1）①当x=35时，100-35=65（件）；65×（35-5）=325（元） 故答案为：65；325﹔②利润为： ；x的取值范围是 ． 故答案为： ， ； 【分析】（1）①将x=35代入（100-x）求值可得，利用“利润=每件利润×销售量”可求出利润；②利用“利润=每件利润×销售量”可求出利润；（2）根据所列二次函数求最大值即可． 22． 已知(-3， m) ， (1， n) 为抛物线 (k为常数)上的两个点， （1） 当n=3时， 求m的值； （2） 若k≤-3， 且当-3≤x≤1时， 函数有最大值y=4， 求k的值. 【答案】（1）解：把x=1，y=3代入 得3=-1+k ∴ k=4 把x=-3，y=m代入 得 ∴ m=-21 （2）解：由题意得抛物线的对称轴为 ∵k≤-3 若 即k≤-6，则当x=-3时， y有最大值为4 即 解得： (舍去) 若 即-6<k≤-3，则当时，y有最大值为4 即 解得： k=4(舍去) 或k=-4 ∴k=-4 综上所述， k=-4 【解析】【分析】(1)将(1，3)代入解析式可求k值，再令x=-3可求m值； (2)首先根据k的范围判断对称轴的范围，再分情况讨论二次函数在何时取得最大值，从而求出相应的k值。 23．已知抛物线交轴于，两点，其中点的坐标为，对称轴为点，为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）解：抛物线对称轴为直线， ， ， 将点的坐标代入，解得， ， 抛物线的顶点为． （2）解：抛物线平移后的解析式为， 平移后的顶点坐标为， 当抛物线顶点落在上时，，解得， 当抛物线经过时，，解得， 当抛物线经过点，，解得， 时，满足题意． 综上所述，或． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出， 再求顶点坐标即可； （2）根据题意先求出平移后的顶点坐标为， 再列方程计算求解即可。 24．如图，一高尔夫球员从山坡下的点O处打出一球，球向山坡上的球洞点A处飞去，球的飞行路线，为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12m时，球移动的水平距离为9m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点间的距离为m． （1）建立适当的直角坐标系，求球的飞行路线所在拋物线的函数表达式． （2）这一杆能否把高尔夫球从点0处直接打入点A处球洞？ 【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(9，12)， 设球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为y=a(x-9)2+12． ∵该抛物线过点O(0，0)， ∴0=a(0-9)2+12， 得a= 即球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为y=(x-9)2+12． （2）解：∵∠AOC=30°，OA=8m，∠ACO=90°， ∴AC=4m，OC=12m． 当x=12时，y=(12-9)2+12= ∵4< ∴这一杆不能把高尔夫球从点O处直接打人点A处球洞． 【解析】【分析】（1）以点O为坐标原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，可得顶点B的坐标为(9，12)， 利用待定系数法求解析式即可； （2）根据山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点间的距离为m，可求出AC、OC的长，然后将x=OC代入解析式中求出y值，然后与AC的长比较即可判断. 25．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， 当 时， ，解得： ， ∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）解：当 时， ， ∴点C的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得： ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ； （3）解：假设存在，设点P的坐标为 ，过点P作 轴，交直线 于点D，则点D的坐标为 ，如图， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 的面积最大，最大面积是16． ∵ ， ∴存在点P，使 的面积最大，最大面积是16． 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，利用二次函数的性质可求出a的值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上的点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标； （2）利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）设点 P 的坐标为 ，过点 P 作 PD // y 轴，交直线 BC 于点 D，则点D的坐标为（ x ，)，则，利用三角形的面积公式即可得出 S△PBC 关于 X 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $