专题14 二次函数综合题分类训练（12种类型72道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题14二次函数综合题分类训练 (12种类型72道) 考点归纳 考点01 二次函数存在性问题等腰三角形相关 考点02 二次函数存在性问题直角三角形相关 考点03 二次函数存在性问题等边三角形相关 考点04 二次函数存在性问题平行四边形相关 考点05二次函数存在性问题菱形相关 考点06二次函数存在性问题矩形相关 考点07二次函数存在性问题正方形相关 考点8二次函数相关线段与周长最值问题 考点09二次函数相关线段与面积最值问题 考点10二次函数存在性问题角相关 考点11二次函数与相似综合解答题 考点12二次函数与圆综合解答题 考点专练 考点01二次函数存在性问题等腰三角形相关 1.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C. B (1)求抛物线的解析式和顶点坐标： (2)如果点P在x轴上，且△BCP是等腰三角形，求点P的坐标. 2.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,其中A(3,0),C(0,3). 1/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且S4o=6,求点P的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，△AC⑦M是等腰三角形，直接写出点M的坐标 3.如图，抛物线y=-x2+(c-1x+c与x轴的交点为A,B两点，与y轴的交于点C,OC=30A. 6 图(1) 图(2) (1)求抛物线的表达式： (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线CP与抛物线的对称轴相交于点M,若△ACM是以AC为底边的 等腰三角形，求直线CP的表达式： (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，F、N是抛物线对称轴上两点，NF=EN.请说明：存在确定 的点N,使直线EF与抛物线只有唯一交点E. 4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.点D是该抛物 线的顶点. B (1)求这个二次函数的表达式： (2)请在y轴上找一点E,使BDE的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当aBMN是等腰三角形时，直接写出m的值， 5.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=x+1与抛物线 交于A,D两点.点P为直线AD上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接AP,DP. 2/33 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA D D B 备用图 (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形ABDP的面积的最大值； (3)点Q是直线AD上的任意一点，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标. 设点P(p,-p2+2p+3(-1<p<2),则K(p,p+1, B PK=-p2+p+2, sw小-2-p+p-2小--e-号 :-1<0, 当p=)时，S60有最大值，最大值为2 2 2775 此时S四边形ABPD=S。ABD+S。MDP=6+ 88 :四边形ABDP的面积的最大值为8： 75 6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C,点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E. (1)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式； 3/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当点P在第一象限时，求PE的最大值： (3)是否存在点P,使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 考点02二次函数存在性问题直角三角形相关 7.如图，在平面直角坐标中，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,0A=2,OC=4,抛物线 y=x2+bx+c经过A、B两点，抛物线的顶点为D. B B D 备用图 (1)求该抛物线的解析式： ()点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线 段EF的长度最大时，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一个点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，直 接写出点P的坐标；若不存在，说明理由. 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-√2,0)、B(2V2,0)两点，与y轴交于C(0,2)点. B (1)求抛物线的解析式： (2)证明：ABC为直角三角形： (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由. 9.如图，抛物线y=-r+巨x 二x+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. 2 2 4/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y个 B (1)求A,B,C三点的坐标； (2)证明ABC为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由 10.如图，已知抛物线y=二x2+hx+c经过点B(4,0)和点C(0,一2)，与x轴的另一个交点为点A,其 对称轴I与x轴交于点E,过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D,连接AD. Ei 0 B C (1)求该抛物线的解析式； (2)判断△ABD的形状，并说明理由： (3P为线段AD上一点，连接PE,若△APE是直角三角形，求点P的坐标； (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说 明理由. 11.如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,OA=1,OC=4,抛物 线y=-x2+bx+c经过A,B两点，抛物线的顶点为D. 5/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y C A (备用图) (1)求顶点D的坐标： (2)点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的 长度最大时，求点E、F的坐标； (3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求 出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 12.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C. (1)求该抛物线的解析式： (2)点D的坐标为(-1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点M,使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的 坐标；若不存在，并说明理由： (4)在对称轴上是否存在点N,使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理 由. C B 图1 图2 考点03 二次函数存在性问题等边三角形相关 13.如图：已知抛物线y=ax2+3x+c的图像过点(0,0)、A(3,0),点P为抛物线在第一象限上的一动点， 6/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求a、c的值： (2)过点P作x轴的平行线交直线y=-x于点Q,求PQ的最大值； (3)点B为抛物线y=a2+3x+c对称轴上一动点，若△ABP为等边三角形，求点P的坐标. 14.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点(1,8)，与x轴交于点A、B(5,0). YA B (1)求抛物线的顶点D的坐标： (2)点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的下方，将ABC沿直线AC翻折，如果点B的对应点E恰好落在 抛物线的对称轴上，求点C的坐标： (3)点M(2,m,点N在坐标平面内，且△BMN为等边三角形（点B、M、N顺时针排列）时，连结AN, 试求直线AW与抛物线交点G的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由， 15.如图，己知抛物线L:y=-x2与直线y=-1相交于A,B. (1)AB=」 {2)抛物线L随其顶点沿直线y=。x向上平移，得到抛物线L,抛物线L,与直线y=-1相交于C,D(点C 在点D左边)，已知抛物线L2顶点M的横坐标为m. ①当m=6时，抛物线L,的解析式是 ，CD= ②连接MC,MD,当△MCD为等边三角形时，求点M的坐标. 7/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C. 2 B 图1 图2 (1)求该抛物线的表达式： (2)如图1，在对称轴上是否存在一点E,使△AEC的周长最小.若存在，请求出点E的坐标和△AEC周长 的最小值；若不存在，请说明理由： (3)如图2，设点P是对称轴左侧该抛物线上的一点，点Q在对称轴上，当BPQ为等边三角形时，请直接写 出符合条件的直线AP的函数表达式 17.如图，抛物线y=2x2+bx+c过A(-1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C,连接BC. 本y A B 备用图 (1)求该抛物线的表达式和对称轴： (2)点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的 坐标； (3)将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E,求点E的坐标； (4)若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接 写出直线AN的关系式， 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx十c与x轴分别交于点A(-1,O)和点B,与y轴交于 点C(0,3). 8/33 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD=90°，求点P的坐标： (3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直 接写出点M的坐标， y◆ 图1 备用图 考点04 二次函数存在性问题平行四边形相关 19.在平面直角坐标系中，平行四边形AB0C如图放置，点A、C的坐标分别是(0,4)、（-1,0)，将此平行 四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'0C'. A B B (1如抛物线经过点C、A、A!,求此抛物线的解析式： (2)在(1情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大 面积是多少？并求出此时M的坐标： (3)在的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为1,0)，当P、N、B、Q构 成以BQ作为一边的平行四边形时，求点P的坐标， 20.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c(c>O)的顶点为D,与y轴的交点为C.过 点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连接OA,OB,DA 和DB. 9/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(-4,2)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2=4c. 2如图2，若b三2，C足香存在这样的点4，使四边形40D是平行四边形积若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由 21.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(O,4)、(一1，O),将此平行 四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC. (1)若抛物线过点C、A、A',求此抛物线的解析式： (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△4M4'的面积最大？最大面积是多少？ 并求出此时点M的坐标； (3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为1，O),当P、N、B、Q构成平行四边形 时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标. C 22.如图，已知抛物线：y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,0A=0C=2,顶点为D. 10/33 专题14 二次函数综合题分类训练 （12种类型72道） 考点01 二次函数存在性问题等腰三角形相关 考点02 二次函数存在性问题直角三角形相关 考点03 二次函数存在性问题等边三角形相关 考点04 二次函数存在性问题平行四边形相关 考点05 二次函数存在性问题菱形相关 考点06 二次函数存在性问题矩形相关 考点07 二次函数存在性问题正方形相关 考点08 二次函数相关线段与周长最值问题 考点09 二次函数相关线段与面积最值问题 考点10 二次函数存在性问题角相关 考点11 二次函数与相似综合解答题 考点12 二次函数与圆综合解答题 考点01 二次函数存在性问题等腰三角形相关 1．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点M的坐标为或或或或． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 3．如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 (3)见解析 【详解】（1）解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． （2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则．    ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． （3）解：设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 4．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或1或2 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：， ∴顶点， ∴， ∴当取得最小值时，的周长最小， 过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点 由对称可得，根据两点间线段最短可得 设直线， 则代入，， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴； （3）解：对于，当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 如图： 设，， 则，， 当时，①， 解得，（舍去）， ②， 解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ， 解得或（舍去 当时，， ， 解得或（舍去， 当是等腰三角形时，的值为或或1或2． 5．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求该二次函数的解析式及直线的解析式； (2)当点在第一象限时，求的最大值； (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为 (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：，在二次函数上， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 与轴交于点， 点， 设直线解析式为， 将代入得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：设，则， ， 即当时，最大值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， ， ， ， ， 当时，， 解得或， 当时，点的坐标为，与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当或时，点分别与点或点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当时，点与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 考点02 二次函数存在性问题直角三角形相关 7．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 10．如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断△ABD的形状，并说明理由； (3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标； (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)(1，－1)或(，－) (4)存在，( ，－1＋ )，( ，－1－ )，( ，5)，( ，－5) 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． （2）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． 【详解】（1）∵经过点B（4，0）和点C（0，－2）， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）△ABD为直角三角形.理由如下： 如图①，连接BD， 对于抛物线，令y＝0， ， 得， ∵B(4，0)，   ∴点A的坐标为(－1，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， ∵CD∥x轴，且点C、D均在抛物线上， ∴点C与点D关于直线x＝对称， ∵C(0，－2)， ∴点D的坐标为(3，－2)， 过点D作DM⊥AB于点M， ∴在Rt△ADM、Rt△BDM中，利用勾股定理可得 ，，， ∴， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°． （3） ∵由(2)得BD⊥AD， ∴当PE∥BD时有PE⊥AD， ∵E是抛物线对称轴x＝与x轴的交点， ∴点E是AB的中点， ∴点P是AD的中点， ∴此时点P的坐标为(1，－1)， 如图，当点P是直线与AD的交点时， 有∠AEP＝90°，由A(－1，0)，D(3，－2)得直线AD的解析式 为y＝－x－； 当x＝ 时，有y＝－×－＝－， ∴此时点P的坐标为(，－)， ∴当△APE是直角三角形时， 点P的坐标为(1，－1)或(，－)． （4） ∵点P在直线：x＝上，则设点P的坐标为( ，p)， 如图，由勾股定理得AP²＝( ＋1)²＋p²＝ ＋p²， PD²＝(3－ )²＋(p＋2)²＝＋(p＋2)²， 由题意可得AD²＝20， 当△APD是直角三角形时， ①当∠APD＝90°时，  则AP²＋PD²＝AD²， 即 ＋p²＋ ＋(p＋2)²＝20， 解得p1＝－1＋  ，p2＝－1－ ， 此时点P的坐标为( ,－1＋ )，(   ,－1－ ) ②当∠PAD＝90°时，则AP²＋AD²＝PD²， 即＋p²＋20＝＋(p＋2)²，解得p＝5， 此时点P的坐标为( ，5)； ③当∠PDA＝90°，则PD²＋AD²＝AP²， 即 ＋ (p＋2)²＋20＝ ＋p²，解得p＝－5， 此时点P的坐标为( ，－5)． ∴当△APD为直角三角形时， 点P坐标分别为( ,－1＋ )，(   ,－1－ )，( ，5)，( ，－5)． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，勾股定理及其逆定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理及其逆定理，抛物线的性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． (1)求顶点D的坐标； (2)点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(1，4) (2)E(，)，F(，) (3)存在，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）根据题意可得出A点坐标和B点坐标，再利用待定系数法求出其解析式，最后化为顶点式即可得出其顶点坐标； （2）设直线AB的解析式为y=kx+t，将A与B坐标代入求出k与t的值，确定出直线AB解析式，结合抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF，再利用二次函数的性质即可确定出此时E和F的坐标； （3）分类讨论①当中时和②当中时，根据P点纵坐标与E点纵坐标或F点纵坐标相等，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴，A(-1，0)， ∴， ∴B(4，-5)． ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为(1，4)； （2）设直线AB的解析式为， 则，解得： ∴直线AB的解析式为． ∵点E是斜边上一动点（点A、B除外）， ∴可设E(x，-x-1)(-1<x<4)，则F(x，)， ∴， ∴当时，EF有最大值，此时， 即E(，)，F(，)； （3）分类讨论：①当中时，如图点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)； ②当中时，如图和点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)，(，)； 综上可知，存在一点P，使是以为直角边的直角三角形，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查坐标与图形，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由； （4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）；（3）存在，M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）；（4）存在，N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1） 【分析】（1）把A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值； （2）连接OP，设出点P的坐标，根据S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC表达S，利用二次函数的最值问题表达求出S的最大值； （3）可设M点坐标为（﹣1，m），可分别表示出AB、AM、BM的长，由勾股定理可得到关于m的方程，可求得M点坐标； （4）分三种情况，用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】解：（1）把点A（﹣3，0）点B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：， 解得：； 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2； （2）连接OP，如图： 设点P（x，）， ∵y＝； ∴C（0，2）， ∴S四边形ADCP ＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC ＝ ＝ ＝﹣x2﹣3x+2 ＝， ∵﹣1＜0， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在， 抛物线y＝对称轴为直线x＝﹣1， 设M点坐标为（﹣1，m）， 则MB2＝22+（m﹣0）2＝4+m2，MA2＝22+m2＝4+m2，且AB2＝16， 当△ABM为以AB为斜边的直角三角形时，可得MB2+MA2＝AB2， ∴4+m2+4+m2＝16，解得m＝﹣2或m＝2， 即M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）， 综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）； （4）存在， 设N（﹣1，t），则BN2＝4+t2，CN2＝1+（t﹣2）2，BC2＝5， ①当BN为斜边时， ∴CN2+BC2＝BN2，即1+（t﹣2）2+5＝4+t2， 解得， ∴； ②当CN为斜边时， ∴BN2+BC2＝CN2，即4+t2+5＝1+（t﹣2）2， 解得t＝﹣1， ∴N（﹣1，﹣1）； ③当BC为斜边时， ∴BN2+CN2＝BC2，即4+t2+1+（t﹣2）2＝5， 方程无解， 综上所述，N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键,（2）中掌握割补法求不规则图形面积是解题关键，在（3）中设出M点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键，（4）中注意要分类讨论．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中． 考点03 二次函数存在性问题等边三角形相关 13．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 14．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 15．如图，已知抛物线：与直线相交于A，B． (1)______； (2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D（点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m． ①当时，抛物线的解析式是______，______； ②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)2 (2)①；4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义： （1）令，解方程即可求解； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再令，解方程即可求解；②根据题意可得，从而得到抛物线的解析式为，令，可得，过点M作于点E，则，，然后根据是等边三角形，得出，再根据锐角三家函数即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴； 故答案为：2 （2）解：①对于， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或4， ∴ ∴； 故答案为：；4 ②解：∵点M在直线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或， ∴，， ∴， 如图，过点M作于点E，则，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为． 16．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)或 【分析】(1)将点代入即可； (2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解； (3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴的夹角，进而即可得解． 【详解】（1）将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为 （2）如图，连交对称轴与点E，连， 由(1)知， ∴ ∴对称轴为：直线 ∴令得 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为 ∴当时 ∴ ∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质， ∴周长最小值 （3）∵，是等边三角形 ∴ ∵与关于对称轴对称 ∴ ∴ ∴Q点是的外心 ∴根据圆周角定理得 设过A,P的直线解析式为 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵代入解析得 ∴当P点在x轴的上方时，解析式为 ∴当P点在x轴的下方时，解析式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，圆的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 17．如图，抛物线过、两点，交y轴于点C，连接． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)点D是抛物线对称轴上一动点，当是以为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标； (3)将抛物线在下方的图象沿折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标； (4)若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，直接写出直线的关系式． 【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线对称轴为直线 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，由两点间距离公式可得：，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案； （3）如图2，作关于直线对称的交抛物线于点，利用三角函数和面积法可求得，运用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组可得，再根据轴对称可求得点E的坐标； （4）由题意可知为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接．证出，可得垂直平分，则L点在直线上，可求出直线的解析式，②当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【详解】（1）∵抛物线过、两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线对称轴为直线； （2）如图1，设， ∵抛物线交y轴于点C， ∴， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴； ∴所有符合条件的点D的坐标为或； （3）如图2，作关于直线对称的交抛物线于点， ， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∵点E与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）在抛物线对称轴上取点，连接，设对称轴交x轴于点S， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接交对称轴于点L，连接，如图3， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； ②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与y轴交于点Q， 在中，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论思想解答． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)   【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可． （3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． ∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， ∴T（，），BD＝， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB， ∴PT＝BD＝， ∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2， 解得m＝1或2， ∴P（1，1），或（1，2）． （3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． ∵△BMN是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴＝， ∴BJ＝t，TJ＝2， ∴T（3＋t，2）， ∵NM＝MT， ∴M（，）， ∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上， ∴＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0， 解得t＝﹣2（舍弃）或， ∴M（，）． 如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T． 同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，）， 则有＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0， 解得n＝或（舍去）， ∴M（， ）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键． 考点04 二次函数存在性问题平行四边形相关 19．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． 如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标； 在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；(3) 点的坐标为：，，， 【详解】解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是， ∴点的坐标为：， ∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为： 连接，设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点的坐标为：， 则， ∴当时，的面积最大，最大值， ∴的坐标为：； 设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时， ∵平行四边形中，点、的坐标分别是、， ∴点的坐标为， ∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点， ①当为边时，PN//BQ，， ∵， ∴， 当时， 解得：，， ∴，； 当时，解得：，， ∴，； ②当为对角线时，BP//QN，，此时与，重合； 综上可得：点的坐标为：，，， 20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当ACx轴时， ①已知点A的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：． (2)如图2，若b＝﹣2，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：①点A的坐标是（-4，2），轴， ∴C点的纵坐标为2， ∴点C的坐标为(0，2)， 将C(0，2)、A（-4，2）代入可得 ， 解得 解析式为：； ②由可得对称轴为， 点C坐标为（0，c）， 过点D作DE⊥x轴，交AC于点F，如图1， 由题意可得：EF=OC=c，DE=， ∴， 在平行四边形OADB中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：存在点A，使得四边形AOBD为平行四边形，理由如下： 如图2，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N， 由题意可得：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴， ∴， 设点B(3m，n)，则BN=3m，AM=5m， 由B平移到O与D平移到A，平移方式相同，可得A（-5m，c+1-n）， ∴CN=ON-OC=n-c，CM=OC-OM=c-(c+1-n)=n-1， ∴，解得， ∴ ∵四边形AOBD为平行四边形， ∴AB的中点即为DO的中点， ∴，解得， ∴ 将代入得： ， 解得， ∴ 21．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′. (1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标； (3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）． 【详解】试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′•MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解. 试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）. ∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得： . 解得：.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4. （2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得 .解得：. ∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4. 设M（x，－x2＋3x＋4）， S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8. ∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8． ∴M（2，6）. （3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时， ①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ， ∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4. 当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）； 当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）； ②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）; 当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）. 综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）. 考点：二次函数综合题. 22．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】(1) (2)存在，，的面积最大为1 (3)，或，或， 【详解】（1）解：抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，， ，， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴此函数的解析式为； （2）解：在下方的抛物线上，存在一点N使面积最大；理由如下： 如图1，过点N作轴于点E，交于点M， 设的解析式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 设点N的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为1；此时； （3）解：如图2，抛物线对称轴为直线， ①以为边，则，且． 设，则， ， 解得：，， 当时，； 当时，； 故，或，； ②以为对角线，则与互相平分， 设， 的中点， ． 把代入， 得：． ，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数综合应用中的面积问题和特殊四边形问题，能熟练利用二次函数的性质及平行四边形的判定及性质进行求解是解题的关键． 23．如图，抛物线与x轴交于点A，B，直线与抛物线交于A，D．已知点，． (1)求抛物线与直线的函数解析式． (2)求出的面积． (3)若点P是平面直角坐标系内的一点，要使A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合题意的点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P坐标为，， 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，B， ，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 设直线AD的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2），令，得出， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，有三种情况： 当四边形是平行四边形时， ∴，， 即轴， ∵， ∴由点向左平移4个单位得到， ∵， ∴点； 当四边形是平行四边形时，过分别点、点作轴的垂线，垂足分别为、，如图，则， ∵， ，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 即； 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∵， ∴由点向右平移4个单位得到， ∵， ∴点． 综上所述，点P坐标为，，． 24．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)4 (2)3 (3)存在，的坐标为 【详解】（1）解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； （2）解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； （3）解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 考点05 二次函数存在性问题菱形相关 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，作轴交于点，若，求点的坐标： (3)将原抛物线向右平移得到新抛物线，使之经过点，新抛物线与轴左侧交点为，点是新抛物线对称轴上一点，点是第一象限内一点，当，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得新抛物线的对称轴为，设，进而求得，再分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 综上所述，或 （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， 当时，解得： ∴新抛物线与轴左侧交点为，则 ∵， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 此方程无解， ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴（不在第一象限，舍去）； 综上，点N的坐标为或 ． 26．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)的坐标为)或 或． 【详解】（1）当时，， ∴点，则， ∴， ∴点， ∵抛物线过点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由（）得 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，，如图， 当为菱形的边时，则或， ∴或，即或（无解）， 解得， ∴点的坐标为)或 ； 当为菱形的对角线时，则， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或． 28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为______，点D坐标为__________； (2)P为之间抛物线上一点，直线交线段于E，交x轴于点F，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：令得，解得或， ，， ， 抛物线顶点为， 故答案为：； （2）解：当直线与x轴交于x正半轴时，如图， 则，不符合题意； 当直线与x轴交于负半轴时，连接， 设， P为之间抛物线上一点， ， 当时，， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ， ， 整理得， 解得：（舍）或， 当时，， ； （3）解：①若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形， ， ， ， ， ， 过点B作直线于E， ， ， ， ， ， ， ， 与共线，以为顶点不能作菱形； ②若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，连接，相交于E，如图： 可作菱形和菱形， ，， ， ， ∵菱形， ， ， 解得， ； 同理可求得； ③若以为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形，则， ∵四边形是菱形， ， ， 解得：， ， ， ， ， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及求与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是分类讨论，正确的作出辅助线． 29．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将、两个点的坐标代入关系式，求出，的值即可得出答案； （2）先根据点的坐标求出直线的解析式，即可表示点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，再证明，可得，，然后表示出点，最后将点代入直线解析式，求出答案即可； （3）先将关系式配方得出点的坐标，再分两种情况讨论：当为菱形的边时，作，再求出，即可求出点的坐标；当为菱形的对角线时，作，可知，，再设，表示，在中，根据勾股定理求出的值， 可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）由（1）得，点， 设直线的解析式为：， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图①所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，． ， 点在直线上， ， 解得：， 把代入中得， 当时，点的坐标为； （3）存在． ， 点的坐标为． 分两种情况讨论： 当为菱形的边时，如图所示②：过作于． ， ， ， ， 点的坐标为或； 当为菱形的对角线时，如图所示③：过点作于． 由题意可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 点的纵坐标为， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理等． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 考点06 二次函数存在性问题矩形相关 31．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点B坐标为，点坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线BC于点，设点P的横坐标为m. (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)当m为3时，最大，最大值是 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，则，从而可求出的长，根据勾股定理可求出．易证，得出，代入数据，结合二次函数的性质求解即可； （3）设，抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．当点恰好落在该矩形对角线上时画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为，点C坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：； （2）解：设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． ∵点P的横坐标为m， ∴，则， ∴． ∵，轴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴当m为3时，最大，最大值是； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点Q在抛物线的对称轴上， 故可设． 设抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，． ∵点恰好落在该矩形对角线上，如图，则垂直平分，即， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用． 32．如图1，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为F，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)当m为3时，最大，最大值是 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，则，从而可求出的长，根据勾股定理可求出．易证，得出，代入数据，结合二次函数的性质求解即可； （3）设，抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．分类讨论：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，②当点恰好落在该矩形对角线上时和③当点恰好落在该矩形对角线的延长线上时，分别画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为，点C坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：； （2）解：设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． ∵点P的横坐标为m， ∴，则， ∴． ∵，轴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴当m为3时，最大，最大值是； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点Q在抛物线的对称轴上， 故可设． 设抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，． 分类讨论：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图，则垂直平分，即， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； ②当点恰好落在该矩形对角线上时，如图，连接交于点K， ∵点O与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵C，P关于对称轴对称，即点G是的中点， 又∵， ∴点K是的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； ③当点恰好落在该矩形对角线的延长线上时，如图，过点作轴于点K，连接交直线于点M， ∵点O与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 由，得直线的解析式为， 当时，， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 33．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设线段的长度为，请用含有的代数式表示； (3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称，点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点的横坐标为，则，，即可得出； （3）设，分两种情况：当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，当点恰好落在该矩形对角线上时，当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1） 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2） 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则，， ， 点是第一象限内抛物线上的一个动点， ， ； （3） 抛物线， 抛物线对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设，设抛物线对称轴交轴于点，交边于点， 则，，， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图， 则垂直平分，即， ， 又四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 解得：， ； 当点恰好落在该矩形对角线上时，如图，连接交于点， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 、关于对称轴对称，即点是的中点，， 点是的中点， ， ， ， 在中，， ， 解得：舍去，， ； 当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，如图，过点作轴于点，连接交于点， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，，， ，， ∽， ，即， ，， ， ， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识是解题的关键． 34．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)存在，或 (4)，，，， 【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可； （4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时； （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 35．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若点E是直线上方抛物线上的点，轴于点G，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)如图②，点在线段上，点Q线段上，且．以为边作矩形，使点M在y轴上，直接写出当m为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)把点，代入解析式，解方程组即可． （2）过点C作于点N，确定直线的解析式，利用正切函数表示点，后代入解析式计算即可． （3）运用分类思想，平移思想，结合函数的解析式计算即可． 【详解】（1）∵点，， ∴， ∴ ∴． （2）过点C作于点N， ∵，， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 设 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴（舍），， ∴， ∴． （3）当点P与原点重合时，点Q与点B重合，点M与点C重合，构造矩形如下，此时符合题意， 故； 当点P与点B重合时，点Q与点C重合，构造矩形如下，此时符合题意， ∵， 故； 当点N在抛物线上，构造矩形如下，此时符合题意， 过点Q作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴，， ∴ 故点经过向右平移个单位，再向上平移m个单位得到． ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， 故点经过向右平移个单位，再向上平移m个单位得到． ∵在抛物线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 故； 当点N在抛物线上，构造矩形如下，此时符合题意， 过点Q作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴，，， ∴ 故点经过向左平移个单位，再向上平移m个单位得到． ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， 故点经过向左平移个单位，再向上平移m个单位得到． ∵在抛物线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 故； 综上所述，． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，正切函数，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平移思想的应用，熟练掌握待定系数法，正切函数，平移思想是解题的关键． 36．如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则， ∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则， ∴，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； （3）解：由题意可得：， ∴的对称轴为， ∴抛物线与y轴交于点C． ∴， ∵， ∴，， 当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示： ∵D在的对称轴为， ∴， ∴，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到； 当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：     设的对称轴为与x轴交于F， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 综上分析可知，点E的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 考点07 二次函数存在性问题正方形相关 37．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 38．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 39．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 40．如图，已知抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且的面积为24，求点P的坐标； (3)直线，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，令过点且与y轴平行的直线交于点，设，则，可得，求出的值即可得点坐标； （3）设直线l与x轴的交点为F，根据角的关系可得，求出，再用待定系数法求出直线的解析式，设，，分三种情况讨论：①当为正方形的对角线时，；②当为正方形的对角线时，；③当为正方形的对角线时，；根据正方形的对角线互相平分，对角线长与边长的关系，利用勾股定理和中点坐标公式建立方程组，求解点M的坐标即可． 【详解】（1）将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令过点且与y轴平行的直线交于点， 设，则， ， ， 解得或， 或； （3）存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形， 理由：设直线l与x轴的交点为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ①当为正方形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； ②当为正方形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； ③当为正方形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查待定系数法的应用，二次函数的图象及性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． 41．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于AB，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2 （1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式； （2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值； （3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x＋2，y＝2x＋2；（2）1；（3）存在，点M（，0）或（﹣，0）或（1＋，0）或（1﹣，0）． 【分析】（1）由已知求出A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），再由待定系数法求解析式即可； （2）求出直线AC的解析式，再由铅锤法求出三角形△ACP面积； （3）求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可求H点的坐标，设M（m，0），再由已知可确定GH和MN分别为正方形的边，则有MN＝＝MH＝，求出M即可． 【详解】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2， ∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2）， 将点A、B、C代入中，可得 ， 解得， ∴， 设BC的直线解析式为，将点B、C代入可得， ， 解得， ∴； （2）设直线AC的解析式为， 将点A（2，0），C（0，2）代入可得， ， 解得， ∴， 设，过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q， 则， ∴△ACP面积＝， ∴当t＝1时，△ACP面积的最大值为1； （3）存在点M得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵AD⊥BC，DH⊥x轴， ∴∠DAO＝∠BCO， ∵tan∠BCO＝=， ∴tan∠DAO= 又∵OA=2 ∴AD与y轴的交点为（0，1），直线AD的斜率为 ∴可得到AD直线解析式为， 联立， 解得， ∴H（，0）， 设M（m，0）， ∵GH⊥x轴，以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边， ∴MN也是正方形的边， ∴N， ∴MN＝，MH＝， ∵， ∴或， ∴M（，0）或M（，0）或M（，0）或M（，0）． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，难度系数较大，涉及到了待定系数法求解析式，铅锤法求面积以及正方形的性质等知识点，根据题意确定为正方形的边长是解决本题的关键. 42．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由． （3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）点M的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出C、D的坐标，设点，即可得到，由此求解即可； （3）先求出E点坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用求出P点坐标，设设，则，，利用建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点， ∴，∴， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，，所以点，当时，所以点 设点 所以 当时，． （3）由（1）知，抛物线的解析式为； ∴，抛物线的顶点， ∴，设直线BD的解析式为， ∴， ∴ ∴直线BD的解析式为，设点， ∵，， 根据勾股定理得，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图，作轴于F， ∵，设，则， ∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有， ∴ ∴或， ∴点M的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 考点08 二次函数相关线段与周长最值问题 43．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． (1)请求出直线对应函数的表达式； (2)当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最小值为 【详解】（1）解：∵， ∴令，得，令，得或3， ，，， 设直线的解析式为， 将点、点坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点， 设，则， ， ， 当时，四边形的面积最大值为， 此时； （3）解：如图，过作于点，于点， 则，， ∴， ， ，， ， △为等腰直角三角形， ，， ∴， 作，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 过作于点， 则△为等腰直角三角形， ， ， 要求的最小值，则可求的最小值， 作关于轴对称点，则，， ，当且仅当、、三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当时，最小， ， ， △是等腰直角三角形， ， ，故有最小值为． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)线段长度取得最大值时，求的最小值为 (3)点F的坐标为或 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值，此时点， ∴， ∵为定值， ∴取最小值时，即为取最小值即可， ∴如图，将点C向右平移个单位得到点，连接交于点P，作垂直直线交于点Q，连接，则此时的值最小， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，则设抛物线向右向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为：， ∴将点D的坐标代入得：，解得：（负值已舍去）， ∴新抛物线的表达式为：， 当点在上方时， ∵， ∴直线， ∵、， ∴直线的斜率k为， ∴直线的表达式为， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； 当点在下方时， ∵， ∴直线与直线关于直线对称， ∴设点关于直线：对称点为点， 则直线的表达式为：， ∴联立，解得，， ∴点与点的中点坐标为， ∴点， 设直线的表达式为：， ∴将点代入直线的表达式中，解得， ∴直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； ∴点F的坐标为或． 45．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 46．抛物线与轴交于点和点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段下方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、分别为轴上的两个动点（点在点上方），，连接，，当取最大值时，求的最大值； (3)已知，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线对称轴的交点为，连接，为原抛物线上一点，过作的平行线交抛物线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：对称轴为， 把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 点D在BC的下方， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 轴， E的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，此时， 如图，过作，且，关于轴对称点为， 四边形为平行四边形，， ，，，， ， ， ， 当在的延长线时，取得最大值； （3）， ，， 由到向右平移1个单位，向下平移3个单位，共平移了个单位， 所以抛物线沿着射线方向平移个单位长度， 即向右平移2个单位，向下平移6个单位得到新抛物线， ，顶点为，平移后为， ， 当时，，则， 又，则点由点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， ， 点由点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， 又为原抛物线上一点， 向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， 联立，解得，即点， 此时点，符合题意； 点由点向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 又为原抛物线上一点， 向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 联立，解得，即点， 此时点，符合题意； 综上，或． 47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线BC：交y轴于点C．点D为直线下方抛物线上一动点，且不与A、B重合．过点D作x轴的垂线，垂足为G，直线分别交直线，于E，F两点． (1)求抛物线的表达式： (2)求的值； (3)若，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值； (4)抛物线上有一个动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得 ∴． （2）解：设直线：， 将点，代入，得 解得 ∴， 设，则，，， ∴，， ∴． （3）解：∵的周长为， 又， ∴的周长为， ∵，为定值， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， 将代入，得， ∴， ∵点P在第一象限， ∴当点P在线段上时，取得最小值，最小值为， 验证点P是否可以在线段上： 假设点P在线段上，设， 则，， ∴， 解得， ∴在第一象限上，点P在线段上，且满足， ∴的最小值为． （4）解：设点N到直线的距离为q， 则， 如图，由题意，可知与直线的距离为q的两条直线，与抛物线有且只有3个交点， 由图，可知，其中一条过点N且与直线平行的直线，与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 令，整理，得， ∵有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点N符合条件的位置之一在直线上， 设直线与x轴交于点M，则， 由平行线间距离处处相等，可知， ， ∴， ∴． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N．求的最大值和此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，取得最大值，此时 (3)点Q的坐标为，， 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； （2）解：∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设 ∵， 设直线表达式为 则，解得 ∴直线表达式为 ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，此时； （3）解：∵，， ∴， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴点移动到的中点， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵ ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长交抛物线于点， ∴， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为 设直线表达式为， ∵， ∴，即， ∴设直线表达式为， 联立得，，解得：，（不合题意舍去） ∴点坐标为， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴可得直线表达式为 联立得，，解得：（不合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为，， 考点09 二次函数相关线段与面积最值问题 49．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据即可求解； （2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵k为任意不为0的实数， ∴，， 解得: ，， ∴直线L经过定点D，其坐标为； （2）解：设E、F的横坐标分别为，， 则，为方程的两根， 整理得， ∴，， ∴， 当时，有最小值，最小值为8， 当时，， 解得：，， ∴， 作轴交直线于点D，如图， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 50．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)当时，的面积有最大值，最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 51．综合与实践课上，老师让同学们以“抛物线中三角形面积”为主题开展数学活动． 【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，，；②；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】（1）①采用待定系数法，把点A、B、C的坐标代入抛物线中，即可求解； ②设（），采用待定系数法求得直线的解析式为，则直线与x轴交点E的横坐标为，从而，根据二次函数的图象及性质即可求解； （2）①采用待定系数法，抛物线为，同（1）②的思路，设，求得，根据二次函数的图象及性质即可求解； ②由①可得的最大面积为，而当且仅当，即时，有最小值，从而得到S的最小值． 【详解】（1）当时，点B的坐标为， ①∵抛物线经过、、， ∴，解得， ∴，，； ②由①可得，抛物线为， 设 ∵点P是抛物线上位于x轴上方一点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴， 令，则， 解得， ∴设直线与x轴交点为点E，则点E的横坐标为， ∴ ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， （2）①∵抛物线经过、、， ∴，解得， ∴抛物线为， 设， ∵点P是抛物线上位于x轴上方的一点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴， 令，则， 解得， ∴直线与x轴交点E的横坐标为， ∴ ， ∵，又 ∴当时，的面积有最大值，为． ②由①可得的最大面积为， ∵， ∴， ∴当且仅当，即时，有最小值，为， ∴当时，的最大面积的最小值为：， ∴S存在最小值，为． 【点睛】本题考查待定系数法，平面直角坐标系中三角形的面积，二次函数的图象及性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，完全平方公式的应用是解题的关键． 52．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； (2)连接，，求 的面积 (3)点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 【答案】(1)； (2)3 (3)， 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、三角形面积，熟练掌握二次函数的图像，运用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）令抛物线对称轴与交于点，求得点，进而求出直线的解析式，得到点的坐标，进而得到的长，利用求解即可； （3）过点向轴作垂线，与直线交于点，易得直线的解析式，设，则，进而得到当时，的面积最大，据此求出点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入得 解得 则二次函数解析式为， 对称轴为， 将代入得：， 则顶点坐标为； （2）解：令抛物线对称轴与交于点， 令得， 则点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入得， 则点的坐标为， ， 因此； （3）解：过点向轴作垂线，与直线交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 设，则， 则， 即， 则当时，的面积最大为， 将代入函数得， 因此，当的面积最大时，点P的坐标为，最大面积为． 53．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 54．如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的横坐标为或或． 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 二次函数的表达式为． （2）解：①如图，过点作轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时， ②解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴ ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， 由①可知，直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或． 考点10 二次函数存在性问题角相关 55．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求点的坐标； (3)如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把、代入中得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ， ，， ，轴， ， 又， ， ，， ，， 的周长为， 当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：时，分两种情况： 当点在下方时，轴，如图②，过点作轴交于点， 设，则， ，， ， ，即， ， 解得， ； 当点在上方时，如图③，设直线交轴于点， ， ，， ， ，则， 即， 解得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 56．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点（点A 在点 B 的左侧），交y轴于点C，． (1)下列说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③该抛物线可表示为． (2)求抛物线的解析式． (3)若D 为抛物线在第一象限内的点，且平分 ，求点 D 的坐标． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出，进而得到，，则可得到点A的坐标，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，从而求出点A和点B的坐标，进而求出的长，据此逐一判断即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）过点B作轴交延长线于E，过点C作于F，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则；求出直线解析式为，联立，解得或，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴，故②错误 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）或（舍去）， ∴抛物线解析式为，即该抛物线可表示为，故③正确； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，故①错误； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为； （3）解：如图所示，过点B作轴交延长线于E，过点C作于F， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴； ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 57．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 58．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 59．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； (3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 【答案】(1) (2)9 (3)符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． 【详解】（1）解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． （3）解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 60．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 【详解】（1）解：将，两点代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； （3）解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 考点11 二次函数与相似综合解答题 61．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)交x轴于点A，B(4，0)，交y轴于点C(0，2)，且抛物线的对称轴经过点(，0)，过点A的直线y=﹣x+m交抛物线于另一点D，点E(1，n)是该抛物线上一点，连接AD，BC，BD，BE． （1）求直线AD及抛物线的函数表达式； （2）试问：x轴上是否存在某一点P，使得以点P，B，E为顶点的△PBE与△ABD相似？若相似，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M是直线BC上方的抛物线上一动点(不与点B，C重合)，过M作MN⊥BE交直线BC于点N，以MN为直径作⊙O'，则⊙O'在直线BC上所截得的线段长度的最大值等于　　　　．(直接写出答案)    【答案】（1）y=﹣x﹣1，yx2x+2；（2）点P的坐标为(，0)或(，0)；（3）． 【详解】解：（1）由题意可得，对称轴，点B（4，0）， 可得， 解得：， ∴抛物线解析式为：yx2x+2； 当y=0时，0x2x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴点A坐标为(﹣1，0)． ∵直线AD：y=﹣x+m过点A， ∴0=1+m， ∴m=﹣1， ∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1. （2）由， 解得或， ∴D(6，﹣7)， 可知，∠ABE=∠DAB=45°，则90°＜∠ABD＜135°． ∵A(﹣1，0)，B(4，0)，D(6，﹣7)，E(1，3)， ∴AB=5，AD=7，BE=3，设P(x，0)， ①若点P在点B的左侧时． ∵∠PBE=∠BAD=45°， (a)当△PBE∽△DAB时， 则有， ∴， ∴x， ∴P(，0)． (b)当△PBE∽△DAB时， 则有， ∴， ∴x， ∴P(，0)． ②若点P在点B的右侧，∠PBE=135°． ∵90°＜∠ABD＜135°， ∴∠PBE≠∠ABD，此时△PBE与△ABD不可能相似． 综上所述：满足条件的点P的坐标为(，0)或(，0)． （3）设M(m，m2m+1)，设⊙O'与BC的另一个交点为K，连接MK，    ∵MN是⊙O'的直径， ∴∠MKN=90°， ∴MK⊥BC． ∵MN⊥BE， ∴∠NMK=∠CBE=定值， ∴MK的值最大时，NK的值最大． ∵S△BCM=S△MCO+S△MOB﹣S△BOC， 2×m4×(m2m+2)2×4 =﹣(m﹣2)2+4． ∵﹣1＜0， ∴m=2时，△BCM的面积最大，最大值为4， ∴MK的最大值． ∵C(0，2)，E(1，3)，B(4，0)， ∴EC，BE=3，BC=2，∴BC2=EC2+BE2， ∴∠CEB=∠MKN=90°． ∵∠KMN=∠CBE， ∴△MKN∽△BEC， ∴， ∴， ∴NK． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键. 62．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可． （2）先根据已知条件得出，再利用平行线的性质得出， 再根据相似三角形的性质分或两种情况求解． 【详解】（1）解：设， 把点代入， 则 （2）解：，， 是等腰直角三角形， ∴， 轴， ， 若与相似，则或， 若，则轴， 点E的纵坐标为3， 当时， 或， ， 若， 设， 则， ， 的解析式为： 的解析式为：， 解方程组 或 综上∶或． 63．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． 64．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【详解】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 65．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 66．如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点，其对称轴直线与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，的面积最大？求出此时点F的坐标； (3)如图2，延长交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ，F (3)存在，或 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点F作x轴的垂线，交于点N， 由， ∴， 设直线的解析式为， 将点B的坐标代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则 ， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由，， ∴当 时，最大，的面积最大， 此时F． （3）存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，或． 由，知， 设直线的解析式为， 将点M的坐标代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 在中，令，得，即， ∵， ∴， ∴，， 如图，过点P作轴于点G， 在以点P、E、O为顶点的三角形和中，， 当时， 有，即， ∴， ∴， ∴； 当时， 有，即， ∴， ∴，， ∴． 综上，或． 考点12 二次函数与圆综合解答题 67．已知二次函数的图像与轴交于两点，其中点为，与轴负半轴交于点，其对称轴是直线．    (1)求二次函数的表达式； (2)圆为的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴上存在点，使得以为顶点的三角形与相似，则点坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， 由题意可知，， 解得：， 拋物线的解析式为． （2），，， ，，， ， ， ， ， ， 为圆的直径， 点坐标为，， 又平分， ， ， 为等腰直角三角形， 连接，如图：    则，， ， 设直线与轴交于点， ， ， ， 过点作轴，如图： ， ，， ． （3）轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下： ，，，， ，，， 由（2）得：，，， 如图：当点在点的上方时，若，    ， ， 显然，和中不存在两个相等的角，即不可能相似； 如图：    当中不存在的角时，即和中不存在两个相等的角，即不可能相似； 如图：    当点在点的下方，时，， ， ， ， ； 如图：    当点在点的下方，时，， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想及数形结合思想解决问题是解题的关键． 68．如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），    （1）求出该抛物线的解析式； （2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值； （3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值； （4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（3）， 【分析】（1）由题意利用待定系数法设二次函数的解析式为把点的坐标代入求解即可； （2）由题意利用等腰三角形性质以及以为斜边向外作，使得，并设，则，进而运用勾股定理进行分析即可； （3）根据题意连接，，在上截取，设抛物线的对称轴与轴交于以及设直线的解析式为，并运用相似三角形的判定与性质得出和结合勾股定理进行分析求解； （4）根据题意设点的坐标为，则点坐标，利用等边三角形性质以及勾股定理得出m和n的值，进而得出点的坐标． 【详解】解：（1）∵顶点 ∴设二次函数的解析式为 把点的坐标代入解得 故二次函数的解析式为 （2）如图    ∵轴 ∴ ∵是以为底的等腰三角形 ∴，， ∴两点关于抛物线的对称轴对称 ∴， 以为斜边向外作，使得 ∴ 故当三点共线，最短 当三点共线， ∴ 设，则 在中，， ∴，解得 ∴， ∴， ∴ （3） 连接，，在上截取    设抛物线的对称轴与轴交于 ∴ ∵抛物线的顶点为 ∴对称轴为直线 ∴ 设直线的解析式为 代入的坐标得，解得 ∴直线的解析式为 令则 ∴ 在中，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当三点共线，最短 作轴于 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴ （4）， 设点的坐标为，则点坐标 ， ∵为等边 ∴ ∴ 解得（舍去）， 则，解得 故，同理可得坐标． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图像和性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等基础知识，考察运算能力，推理能力，空间观念与几何直观、创新意识，考察函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想及分类与整合思想． 69．二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于点，点坐标为，点为抛物线上一动点，以为圆心，为半径的圆交轴于，两点在的左侧）． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长； (3)连结，过点作的垂线交过点与轴垂直的直线于点，连结，当时（是坐标原点），直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)不变， (3)或 【分析】（1）设抛物线解析式是：，代入点可得； （2）连接，，作于，设，，表示出半径，由可计算出，进而； （3）设点的横坐标是，则，先证明，求得，再根据，求得的值，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式是：， 把，代入得， ， ， ； （2）如图1， 的长度不变，理由如下： 连接，，作于， 设，， ， ， ， ； （3）设点的横坐标是， ，， 如图2， 当时，， ， ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 如图3， 当时，， 由上知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 70．抛物线（a＜0，h＞0）的图像与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q， (1)求点A的坐标，并用h的代数式表示a； (2)当点P是OQ的中点时，求直径AB的长； (3)如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值． 【答案】(1)（－1，0）； (2) (3)， 【分析】（1）设以AB为直径的圆的圆心为D，根据题意得出AD＝CD＝BD＝h＋1，OD＝h，从而求出AO的值，即可求点A的坐标，最后把点A的坐标代入即可求解； （2）连接QD，先求点P坐标，从而求出OP长，再由勾股定理求，最后结合点P是OQ中点得出关于h的方程，然后求解即可； （3）先求出∠CAT＝∠BAM＝45°，然后分△ACT∽△ABM和△ACT∽△AMB两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，设以AB为直径的圆的圆心为D，连接CD， 由题意知，C（h，h＋1）， ∴CD＝AD＝BD＝h＋1， OD＝h， ∴AO＝AD－OD＝1， ∴点A的坐标为（－1，0）， 把A（－1，0）代入，得， ∴； （2）解：连接DQ， 则DQ＝h＋1， 由勾股定理得， 当x＝0时，， ∴OP＝， 又P为OQ中点， ∴OQ＝2OP， ∴， 即 解得（负根舍去）， ∴AB＝2AD＝； （3）解：过点M作MN⊥AB于点N， 由题意知∠CAT＝45°，AC＝，AT＝7，AB＝2（h＋1） 又AM⊥AC， ∴∠BAM＝45°， ∴∠CAT＝∠BAM， 若△ACT和△ABM相似，则有以下两种情形：△ACT∽△ABM和△ACT∽△AMB， 当△ACT∽△ABM时，则， ∴， ∴， ∵MN⊥AN，∠NAM＝45°， ∴AN＝7，MN＝7， ∴ON＝6， ∴点M坐标为（6，－7）， 代入得， 解得（负根舍去）； 当△ACT∽△AMB时，则， ∴， ∴， ∵MN⊥AN，∠NAM＝45°， ， ∴ ∴点M的坐标为（，）， 代入得， 解得（负根舍去）． 综上，当或时，以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 71．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C． (1)若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式． (2)若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0） 【分析】（1）由题意可知圆的圆心坐标为G（6，0），半径为10，则CG＝10，可求C（0，8），再将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，即可求得解析式； （2）由对称性可求出D（12，8），分四种情况讨论：①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP；②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC；③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC；④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC，求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵A（﹣4，0），B（16，0）， ∴AB＝20，AB的中点G（6，0）， ∴CG＝10， 令x＝0，则y＝c， ∴C（0，c）， ∴36+c2＝100， ∴c＝±8， ∵c＞0， ∴c＝8， ∴C（0，8）， 将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8， ∴， 解得， ∴yx2x+8； （2）坐标轴上存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，理由如下： ∵yx2x+8（x﹣6）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝6， ∵⊙G的圆心为（6，0）， ∴C点与D点关于直线x＝6对称， ∴D（12，8）， ∴CD＝12， ∵B（16，0），C（0，8）， ∴BD＝4，BC＝8， 当P点在x轴上，BP∥CD， ∴∠BCD＝∠CBP， ①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP， ∴∠DBC＝∠BCP， ∴四边形CDBP是平行四边形， ∴CD＝BP＝12， ∴P（4，0）； ②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC， ∴， ∴， ∴PB， ∴P（，0）； 当P点在y轴上时， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠CAB+∠CDB＝180°， ∵CO⊥AB，AC⊥BC， ∴∠CAO＝∠BCO， ∴∠OCB+∠CDB＝180°， ∴∠PCB＝∠CDB， ③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC， ∴， ∴， ∴CP＝48， ∴P（0，56）； ④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC， ∴， ∴， ∴PC， ∴P（，0）； 综上所在：P点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，圆的性质，三角形相似的判定及性质是解题关键． 72．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OB＞OA，以AB为直径的圆过点C，若点C的坐标为（0，4），且AB=10． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C，B重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标； （3）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点E，过点E任作一直线l'分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）是， 【详解】解：（1）∵以AB为直径的圆过点C， ∴∠ACB=90°， ∵点C的坐标为， ∴CO⊥AB， ∴∠AOC=∠COB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠OCB=∠OAC, ∴∽， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或， 经检验，满足题意， ∵， ∴， ∴点A为（，0），点B为（8，0）． 设抛物线的解析式为，把点A、B、C三点的坐标代入，有 ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）根据题意，如图： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴PC⊥OC， ∴点P的纵坐标为4， 当时，有， 解得：或（舍去）； ； 当时，过点D作轴交y轴于点M，过点P作轴交BC于点F，MD、PF交于点N，则， ，， ， 是等腰三角形， ， ，， ， ， ， 设直线BC解析式为， 把，代入解得直线BC解析式为， 设，则， ，， ， 解得：或（舍）， ，， ， 综合上述，点P的坐标为：或； （3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，如图： ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴EI=EJ， ∵EI∥CN，EJ∥CM， ∴△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵△ACO∽△AEI， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：，经检验，符合题意， ∴； ∴是一个定值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $