6.1 平面向量的概念（教材课后题 全解与加练）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1 平面向量的概念（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 --------------------------【教材习题·精要】----------------------- 📝【习题考向】 概念类：向量定义、零向量、单位向量辨析. （概念判断，高频易错） 表示类：向量几何表示、字母表示、有向线段表示.（基础表示，基础考查） 关系类：相等向量、共线向量、相反向量判定. （关系识别，核心题型） 应用类：向量概念在简单几何图形中的应用. （概念应用，基础题型） 📝【解题通法】 明概念：紧扣定义要素，精准区分向量与数量. 辨表示：认准有向线段三要素，规范向量书写. 判关系：依据相等、共线、相反向量条件，逐一比对验证. 📝【提分易错】 易错点：零向量方向、共线向量与相等向量混淆、向量模长概念模糊. 巧解法：结合几何图形，具象化理解向量概念📝思维创新 拓视角：从 “数量认知” 向 “矢量思维” 转化，建立数形结合的向量认知框架. 典示例：完成作业时可重点关注第 4 题、第 7 题，尝试用图形语言描述向量关系，深化对向量本质的理解. --------------------------【教材习题·全解】------------------------- 📘【复习巩固】 1. （题型：向量加减作图） 【审题关键】以为起点，根据指定方位角和模长作向量，结合方格纸确定长度，作图答案不唯一。 在如图所示的坐标纸 (规定小方格的边长为 1) 中，用直尺和圆规画出下列向量:在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1），点A在点O正南方向； （2），点B在点O北偏西45°方向； （3），点C在点O南偏西30°方向. 【答案】如图.（答案不唯一） 【解析】① 作：以为起点，沿竖直向下的正南方向作有向线段，取 4 个小方格的边长为模长，终点标注为A，即得符合要求的向量； ② 作：北偏西 45°为方格纸的对角线方向，对应2个小方格的对角线长度，沿此方向作有向线段，终点标注为B，即得符合要求的向量； ③ 作：以为起点，用量角器作出南偏西30°的射线，在射线上截取长度为2的有向线段，终点标注为C，即得符合要求的向量。 【核心技法】向量几何作图的核心是先定方向再定模长，方位角结合量角器确定，模长结合方格纸边长精准换算。 【易错警示】① 混淆南偏西、北偏西等方位角的方向，导致作图出现偏差；② 未结合方格纸准确计算模长，误将等同于2个方格的边长；③ 忽略作图的规范性，未用直尺和圆规绘制有向线段。 2. （题型：相等向量与共线向量） 如图，点O是的对角线的交点，且，，，分别写出和折线MPQRST中与a，b，c相等的向量. 【审题关键】聚焦平行四边形对角线交点，依托平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的特性，结合折线的线段走向，定位与已知向量方向一致、长度相等的有向线段 【解析】与a相等的向量有：，，；与b相等的向量有：，； 与c相等的向量有：，，. 【核心技法】相等向量判定 “双同法”：先依据图形平行特征，筛选出与已知向量方向完全一致的线段；再结合方格纸网格，验证线段长度与已知向量是否相同. 【易错警示】① 混淆共线与相等，误将方向相反的共线向量判定为相等向量；② 忽视平行四边形对角线平分的性质，遗漏由交点衍生的相等线段；③ 未结合方格纸判断长度，错判折线中线段的长短，导致相等线段漏找或错找。 ♻【综合运用】 3. （题型：向量的概念辨析） 【审题关键】紧扣向量大小和方向两大核心要素，逐一判定结论正误，错误结论需结合定义说明具体理由。判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由. （1）若a与b都是单位向量，则.( ) （2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.( ) （3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.( ) （4）若a与b是平行向量，则.( ) （5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.( ) （6）海拔、温度、角度都不是向量.( ) 【答案】（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√（6）√ 【解析】（1）因为单位向量的长度（模）尽管都是1，但方向不一定相同. （2）因为两个向量的方向相反，所以是共线向量. （3）因为x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量. （4）因为同向或反向的向量是平行向量，a与b的方向不一定相同，模也不一 定相等，所以不一定成立. （5）假设点M与N重合，则，这与与不相等矛盾，所以点M与N不重合. （6）因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量. 【核心技法】向量概念辨析紧扣大小 + 方向两大核心要素，否定结论找反例、逻辑推导用反证，所有判断均以定义为依据。 【易错警示】①混淆单位向量与相等向量，忽略方向要求；②误将共线向量等同于相等向量，遗漏模长条件；③忽略向量要素的完整性，将仅有方向 / 大小的量判定为向量。 🔍【拓广探索】 4. （题型：相等向量计数） 【审题关键】根据矩形边长确定各线段长度，以矩形顶点和中点为端点，按模长分类，结合相等向量定义统计非零相等向量对数。 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对? 【答案】相等的非零向量共有24对. 【解析】易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6个. 【核心技法】平面图形中相等向量计数，先依据图形边长确定不同模长，再按方向分组，对每组同方向的相等向量进行两两配对计数，最后将各组结果求和。 【易错警示】① 统计时易遗漏中点衍生的等长线段，造成向量类别统计不全；② 混淆有向线段与向量的关系，误将起点终点不同但等模同向的有向线段判定为不同向量；③ 未注意题意要求，将零向量计入统计，本题仅统计非零向量。 ---------------------------【素养强化·专练】------------------------ 一、单选题 1.汽车以大小为的速度向西走了，摩托车以大小为的速度向东北方向走了，则下列命题中正确的是( ) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 【答案】C 【解析】由向量不能比较大小，可知选C. 2.下列说法错误的是( ) A.向量与的长度相同 B.单位向量的长度都相等 C.向量的模是一个非负实数 D.零向量是没有方向的向量 【答案】D 【解析】A中，，所以是正确的； B中，单位向量的长度都是1，所以是正确的； C中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以是正确的； D中，零向量的方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的. 故选D. 3.如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以，所以与方向相同的向量只有；而，，与长度相等，方向不同，所以选项A，C，D均不符合题意.故选B. 4.如图，在正六边形中，点O为其中心，则下列判断错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，且，选项A，B，C正确，与方向不同. 故选D. 5.下列说法正确的是( ) A.若，则的长度相等且方向相同或相反 B.若向量满足，且与同向，则 C.若，则与可能是共线向量 D.若非零向量与共线，则四点共线 【答案】C 【解析】模相等的向量不一定平行，故A错误；向量不能比较大小，故B错误；共线的两个非零向量不一定在同一条直线上，故D错误. 故选C. 二、多选题 6.在四边形ABCD中，，O是AC与BD的交点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.与共线 【答案】AD 【解析】由题意易知四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，所以，A正确；平行四边形的对角线长不一定相等，所以与不一定相等，B不正确；与方向不同，所以，C不正确；在平行四边形ABCD中，，所以与共线，D正确. 故选AD. 7.下列有关向量的说法不正确的是( ) A.若，，则 B.已知，且，，则 C.若，，则 D.若，则且 【答案】AB 【解析】A项，当时结论不成立，A中说法不正确；若，，，则，B中说法不正确；向量相等具有传递性，C中说法正确；两个向量相等，则模相等且方向相同，D中说法正确. 故选AB. 8.下列结论中，正确的是( ) A.若，则 B.向量共线与的意义是相同的 C. 若向量满足，则 D.若，则 【答案】ABD 【解析】平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量，但长度相等的两个向量，方向却不一定相同，故C错误. 故选ABD. 三、填空题 9.如图，在中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________. 【答案】5 【解析】由题图知，与向量的模相等的向量有，，，，，故与向量的模相等的向量的个数是5. 10.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为___________；与向量共线的向量为___________；与向量的模相等的向量为___________.（填图中所标出的向量） 【能力拔高】 【答案】；，；，，，，， 【解析】是正三角形ABC的中心，，四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，，. 11.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为始点表示马走了“一步”的向量共有_________个. 【答案】11 【解析】此题中，马在B处有三条路可走，在C处有八条路可走.如图，以B点为始点作有向线段表示向量，共3个；以C点为始点作有向线段表示向量，共8个.所以共有11个. 四、解答题 12.在等腰梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中： （1）写出与共线的向量. （2）写出与方向相同的向量. （3）写出与的模相等的向量. （4）写出与的模相等的向量. 【答案】(1). (2). (3)；. (4). 【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，. 题干图中与共线的向量有. （2）题干图中与方向相同的向量有. （3）题干图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为. （4） 题干图中与相等的向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 平面向量的概念（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 --------------------------【教材习题·精要】----------------------- 📝【习题考向】 概念类：向量定义、零向量、单位向量辨析. （概念判断，高频易错） 表示类：向量几何表示、字母表示、有向线段表示.（基础表示，基础考查） 关系类：相等向量、共线向量、相反向量判定. （关系识别，核心题型） 应用类：向量概念在简单几何图形中的应用. （概念应用，基础题型） 📝【解题通法】 明概念：紧扣定义要素，精准区分向量与数量. 辨表示：认准有向线段三要素，规范向量书写. 判关系：依据相等、共线、相反向量条件，逐一比对验证. 📝【提分易错】 易错点：零向量方向、共线向量与相等向量混淆、向量模长概念模糊. 巧解法：结合几何图形，具象化理解向量概念 📝思维创新 拓视角：从 “数量认知” 向 “矢量思维” 转化，建立数形结合的向量认知框架. 典示例：完成作业时可重点关注第 4 题、第 7 题，尝试用图形语言描述向量关系，深化对向量本质的理解. --------------------------【教材习题·全解】------------------------- 📘【复习巩固】 1. （题型：向量加减作图） 【审题关键】以为起点，根据指定方位角和模长作向量，结合方格纸确定长度，作图答案不唯一。 在如图所示的坐标纸 (规定小方格的边长为 1) 中，用直尺和圆规画出下列向量:在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1），点A在点O正南方向； （2），点B在点O北偏西45°方向； （3），点C在点O南偏西30°方向. 【核心技法】向量几何作图的核心是先定方向再定模长，方位角结合量角器确定，模长结合方格纸边长精准换算。 【易错警示】① 混淆南偏西、北偏西等方位角的方向，导致作图出现偏差；② 未结合方格纸准确计算模长，误将等同于2个方格的边长；③ 忽略作图的规范性，未用直尺和圆规绘制有向线段。 2. （题型：相等向量与共线向量） 【审题关键】聚焦平行四边形对角线交点，依托平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的特性，结合折线的线段走向，定位与已知向量方向一致、长度相等的有向线段 如图，点O是的对角线的交点，且，，，分别写出和折线MPQRST中与a，b，c相等的向量. 【核心技法】相等向量判定 “双同法”：先依据图形平行特征，筛选出与已知向量方向完全一致的线段；再结合方格纸网格，验证线段长度与已知向量是否相同. 【易错警示】① 混淆共线与相等，误将方向相反的共线向量判定为相等向量；② 忽视平行四边形对角线平分的性质，遗漏由交点衍生的相等线段；③ 未结合方格纸判断长度，错判折线中线段的长短，导致相等线段漏找或错找。 ♻【综合运用】 3. （题型：向量的概念辨析） 【审题关键】紧扣向量大小和方向两大核心要素，逐一判定结论正误，错误结论需结合定义说明具体理由。判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由. （1）若a与b都是单位向量，则.( ) （2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.( ) （3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.( ) （4）若a与b是平行向量，则.( ) （5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.( ) （6）海拔、温度、角度都不是向量.( ) 【核心技法】向量概念辨析紧扣大小 + 方向两大核心要素，否定结论找反例、逻辑推导用反证，所有判断均以定义为依据。 【易错警示】①混淆单位向量与相等向量，忽略方向要求；②误将共线向量等同于相等向量，遗漏模长条件；③忽略向量要素的完整性，将仅有方向 / 大小的量判定为向量。 🔍【拓广探索】 4. （题型：相等向量计数） 【审题关键】根据矩形边长确定各线段长度，以矩形顶点和中点为端点，按模长分类，结合相等向量定义统计非零相等向量对数。 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对? 【核心技法】平面图形中相等向量计数，先依据图形边长确定不同模长，再按方向分组，对每组同方向的相等向量进行两两配对计数，最后将各组结果求和。 【易错警示】① 统计时易遗漏中点衍生的等长线段，造成向量类别统计不全；② 混淆有向线段与向量的关系，误将起点终点不同但等模同向的有向线段判定为不同向量；③ 未注意题意要求，将零向量计入统计，本题仅统计非零向量。 ---------------------------【素养强化·专练】------------------------ 一、单选题 1.汽车以大小为的速度向西走了，摩托车以大小为的速度向东北方向走了，则下列命题中正确的是( ) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 2.下列说法错误的是( ) A.向量与的长度相同 B.单位向量的长度都相等 C.向量的模是一个非负实数 D.零向量是没有方向的向量 3.如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是( ) A. B. C. D. 4.如图，在正六边形中，点O为其中心，则下列判断错误的是( ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是( ) A.若，则的长度相等且方向相同或相反 B.若向量满足，且与同向，则 C.若，则与可能是共线向量 D.若非零向量与共线，则四点共线 二、多选题 6.在四边形ABCD中，，O是AC与BD的交点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.与共线 7.下列有关向量的说法不正确的是( ) A.若，，则 B.已知，且，，则 C.若，，则 D.若，则且 8.下列结论中，正确的是( ) A.若，则 B.向量共线与的意义是相同的 C. 若向量满足，则 D.若，则 三、填空题 9.如图，在中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________. 10.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为___________；与向量共线的向量为___________；与向量的模相等的向量为___________.（填图中所标出的向量） 11.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为始点表示马走了“一步”的向量共有_________个. 四、解答题 12.在等腰梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中： （1）写出与共线的向量. （2）写出与方向相同的向量. （3）写出与的模相等的向量. （4）写出与的模相等的向量. 学科网（北京）股份有限公司 $