6.3.1 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 学习目标： （1）从物理学科出发，理解平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理的证明方法，培养数学抽象、逻辑推理及数学建模素养。 （2）理解基底的概念，掌握用基底表示向量的方法。 （3）能够运用平面向量基本定理解决相关问题，提高分析问题和解决问题的能力。 向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 思考：类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 复习回顾 F1 F2 创设情景 探究新知 哪吒朝西偏南30°打了一拳，800牛顿； 敖丙朝东偏南30°踢了一脚，500牛顿； 问：最后无量仙翁被打到哪个位置了？ F1 F2 F F1 F2 创设情景 探究新知 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图所示，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F 分解为多组大小、方向不同的分力。 问题1：由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是两个向量的和呢？ 探究新知 5 O C A B M N 提示：在平面内任取一点O，作 将按的方向分解，你有什么发现？ 设是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量. 探究新知 6 e1 a e2 a e2 e1 思考1 ：若向量与或共线，还能用表示吗？向量是零向量时呢？ 探究新知 7 e1 e2 a N M e1 e2 o a C 平行四边形做法唯一，所以实数对存在唯一 思考2 ：平面内，不共线向量确定了，表示的实数对是否唯一？ 探究新知 8 (2)基底： 的向量 叫做这一平面内所有向量的 . (1)定理：如果是同一平面内的两个 向量， 那么对于这一平面内的 向量， 实数，使 一个基底 不共线 任一 不共线 有且只有一对 平面向量基本定理 概念提取 9 有无数对 思考3：一组平面向量的基底有多少对？ E F F A N B a M O C N M M O C N a E 概念辨析 10 设是同一平面内的两个不共线的向量，对于平面内任一向量， 若 ，那么 1. 基底不唯一，关键是不共线. 3. 基底给定时，分解形式唯一. 注意 λ1=μ1 λ2=μ2 由平面向量基本定理的唯一性决定的 作用：用不同的方法表示同一个向量，然后由对应系数相等列方程，解出系数.（注意使用向量共线定理） 2. 由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解. 概念辨析 11 探究一 平面向量基本定理的理解 12 探究一 平面向量基本定理的理解 探究一 平面向量基本定理的理解 探究一 平面向量基本定理的理解 探究一 平面向量基本定理的理解 探究一 平面向量基本定理的理解 探究二 用基底表示平面向量 18 探究二 用基底表示平面向量 19 探究二 用基底表示平面向量 20 探究二 用基底表示平面向量 21 探究二 用基底表示平面向量 22 探究三 平面向量基本定理的应用 23 探究三 平面向量基本定理的应用 24 探究三 平面向量基本定理的应用 25 探究三 平面向量基本定理的应用 26 探究三 平面向量基本定理的应用 探究三 平面向量基本定理的应用 28 探究三 平面向量基本定理的应用 29 探究三 平面向量基本定理的应用 30 课堂达标检测 课堂达标检测 课堂达标检测 33 课堂达标检测 34 谢谢大家！ Lavf58.20.100 【答案】　③ 【解析】　①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线， 即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． [提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 1．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　) ①与；②与；③与；④与. A．①②　　　　　　　　　　 B．①③ C．①④ D．③④ 解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底． 2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.，　　　　 B.， C.， D.， 解析：选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量． 【解】　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. 变式探究2．[变条件]若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，. 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 变式探究1： [变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示. 解：由平面几何知识知BG＝BF，故＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b－a＝a＋b. 用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　 1．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则为(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：选B.因为＝，＝a，＝b，所以＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC， 所以＝＝b，所以＝＝b. 因为＝，所以＝b，所以＝－＝a－b. 所以＝＋＝－－＝－b－＝b－a， ＝＋＝－(＋)＝－＝b－a. 2．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以{a，b}为基底表示，. 【解】　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 变式1．[变问法]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示. 解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝， ＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a. 2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 解：如图，设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2. 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．　 答案：　－ 1．设{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b. 解析：由，解得 故e1＋e2＝＋＝a＋b. 答案： 2．在△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝______． 解析：因为＝2， 所以＝＝(－)． 因为在△ACD中，＝＋＝＋(－)＝＋， 所以λ＝. 1．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 解析：选A.＝＝(＋) ＝(＋)＝(5e1＋3e2)． 2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2. 3.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 解：法一：设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 3.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 法二：设＝x，＝y，则＝＝y， 又 所以解得x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. $