6.2.4 向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 学习目标： （1）借助位移的合成与力的合成，掌握平面向量的加法运算法则并理解其几何意义。 （2）掌握共线向量的加法。 （3）理解向量加法的运算律，并明确运算律的验证思路。 （4）能够运用向量的加法运算法则解决实际问题。 在前面的课程中，我们学习了向量的线性运算，包括哪些？ 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么 定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 向量的线性运算 复习回顾 我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中θ是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算： S F F 思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 θ 探究新知 1. 向量的夹角 B A 记作<,> <a ,b >∊[0°，180°] θ O· 探究新知 所以θ的取值范围[0，π]，其中θ=90°时称为 A O B θ A O B θ A O B A O θ A O θ B <a ,b >∊[0°，180°] 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 探究新知 思考：两个向量的夹角与两条直线的 夹角有何区别？ 例1：在中，找出下列向量的夹角： A B C (1) (2) (3) 探究新知 注意: 在两向量的夹角定义中,两向量必须 是共起点的. 可以通过平移实现共起点. 规定:零向量与任一向量的数量积为0 a·b= |a| |b| cosθ 已知两个非零向量 与,它们的夹角为 θ，我们把数量 | | | |cosθ叫做 与的数量积(或内积)，记作: (2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； (1) · 不能写成 × ，中间的“.” 在向量的运算中不能省略 注意： 2. 向量数量积的定义 探究新知 探究新知 数量积公式： 解：由，得 因为，所以 典例一 向量的数量积 解：由 典例一 向量的数量积 如图，在平行四边形ABCD中，已知 ，求 （1）； （2）; （1）. 典例一 向量的数量积 如图，在平行四边形ABCD中，已知 ，求 （1）； （2）; （1）. 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角 典例一 向量的数量积 如图，在平行四边形ABCD中，已知 ，求 （1）； （2）; （1）. 3. 向量数量积的几何意义 叫做 在 方向上的投影. 叫做 在 方向上的投影向量， 为与 相同方向的单位向量,则 M M1 N 的几何意义是一个向量在另一个向量上的投影 叫做 在 方向上的投影. 注意：投影是一个数量。 探究新知 B1 A B O 当为锐角时 投影为正值; A B O B1 当为钝角时 投影为负值; 当为直角时 投影为0. A B O B (B1) 练习：课本P20T3 探究新知 (3)若与同向，则= ；若与反向，则 特别地，·= ， (2) ； 判定两向量垂直 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状. 平面向量数量积的性质(非零向量) (1) ； ·0 (4) 　　　　 　　　　； (5) . ≤ 探究新知 向量数量积的运算律: (分配律) 数量积不满足结合律 数量积不满足消去律 探究新知 (交换律) (数乘结合律) 典例二 向量的模的相关计算 （ ） B 典例二 向量的模的相关计算 （ ） B 典例二 向量的模的相关计算 典例二 向量的模的相关计算 典例二 向量的模的相关计算 典例二 向量的模的相关计算 典例三 向量的夹角及垂直 典例三 向量的夹角及垂直 典例三 向量的夹角及垂直 典例三 向量的夹角及垂直 典例三 向量的夹角及垂直 B 典例三 向量的夹角及垂直 -8或5 典例三 向量的夹角及垂直 典例三 向量的夹角及垂直 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 向量的夹角 向量的数量积 定义 投影与投影向量 叫做向量的夹角 （同起点） 向量的数量积 性质与运算律 课堂小结 课堂达标检测 课堂达标检测 课堂达标检测 课堂达标检测 课堂达标检测 谢谢大家！ 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a＋b|＝2. 因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a－4b|＝4. 解析：法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1， 所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1， 所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝. 答案： 2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________． 2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________． 法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1， 所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°， 所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，所以a·b＝，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3，所以|a＋b|＝. 【解析】　(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝. 又因为θ∈，所以θ＝. (2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝.又因为|a|＝2|b|， 所以cos θ＝＝. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 【答案】　(1)　(2) 命题角度二：证明两向量垂直 　已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)． 【证明】　因为|a＋tb|＝＝＝， 所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值． 此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2 ＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)． 【解析】　(1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直， 所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0. 因为a⊥b，所以a·b＝0， 又|a|＝2，|b|＝3， 所以12k－18＝0，k＝. (2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)， 即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b， 而a，b，c为单位向量， 则a2＝b2＝c2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos ， 即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 求向量a与b夹角的思路 (1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．　 (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值． 答案：－ 　若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________． 解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－. 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝. 2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：选B.因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0， 所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0， 所以2k＝12，所以k＝6. 答案：－e 3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______． 解析：设a与b的夹角θ，则 cos θ＝＝＝－， 所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e ＝－e. 4．已知|a|＝1，|b|＝. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角． 4．已知|a|＝1，|b|＝. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角． $