2.6.1函数的单调性 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.6.1函数的单调性（1） 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【情境导入】 【探究新知】 【典型例题】 1. 核心定理：导数与单调性的关系 类型一：基本函数求单调区间 情境一：高台跳水问题（物理情境） 情境二：股市走势图（生活情境） 情境三：函数 y= 的直观分析 2. 求函数单调区间的一般步骤 3. 列表分析法（标准格式） 类型二：复合函数求单调区间 类型三：结合四则运算法则求单调区间 类型四：判断区间上单调性 互动设计课程 学 习 目 标 掌握利用导数判断函数单调性的方法。。。 返回主页 理解函数单调性与导数符号的内在联系，掌握利用导数判断函数单调性的方法，能根据导数符号确定函数的单调区间，会解决与函数单调性相关的简单问题（如判断单调性、求单调区间），熟练结合复合函数求导、导数四则运算法则解决复杂函数的单调性问题。 通过情境探究、数形结合、小组互动，经历从直观感知到严谨推导的过程，培养观察分析、归纳总结的能力，提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养，学会用导数工具研究函数性质的思路。 情 境 引 入 返回主页 情境一：高台跳水问题（物理情境） 情境二：股市走势图（生活情境） 情境三：函数 y= 的直观分析 同学们，我们在必修一中已经学习过函数单调性的定义：对于函数y=f(x)，在定义域的某个区间内，如果对于任意的x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)，则函数在该区间上单调递增；如果都有f(x₁)>f(x₂)，则函数在该区间上单调递减。 我们可以通过定义判断简单函数（如一次函数、二次函数）的单调性，但对于复杂函数，比如y=x³-3x、y=eˣ - x、y=lnx - 2x，用定义判断单调性会非常繁琐，甚至难以操作。 情境一：高台跳水问题（物理情境） 问题：已知高台跳水运动员相对于水面的高度 h(t)=-4.9+6.5t+10（单位：m），t 为时间（单位：s）。 思考： 运动员何时上升？何时下降？ 速度 v(t)=h'(t)=-9.8t+6.5 的正负与高度变化的单调性有何关系？ 当 t<6.5/9.8≈0.66s 时，v(t)>0，高度 h(t) 单调递增（上升） 当 t>0.66s 时，v(t)<0，高度 h(t) 单调递减（下降） 发现：速度的符号（导数的符号）决定了高度的增减性！ 情境二：股市走势图（生活情境） 展示某股票价格的走势图： 时间 价格 增 减 增 观察：价格上涨时，切线斜率为正；价格下跌时，切线斜率为负。 情境三：函数 y= 的直观分析 图象上升过程，切线斜率大于零 情境三：函数 y= 的直观分析 原点处（上降交界处）切线斜率于零 情境三：函数 y= 的直观分析 下降过程切线斜率小于零 情境三：函数 y= 的直观分析 区间 图像特征 切线斜率 单调性 下降 负 递减 最低点 零 转折点 上升 正 递增 猜想：导数的正负与函数的单调性之间存在必然联系！ 师 生 互 动 返回主页 互动一：直观感知——导数符号与单调性的关联 互动二：严谨推导——导数符号与单调性的关系 互动三：易错辨析——规范求单调区间的步骤 互动一：直观感知——导数符号与单调性的关联 呈现3个常见函数的图像（y=x²、y=x³、y=lnx），并标注出不同区间内切线的斜率（可借助几何画板演示），让学生分组观察 （1）y=x²在区间(-∞,0)上，切线斜率的符号的是什么？函数的单调性如何？在(0,+∞)上呢？ 此地有动画，点击播放 互动一：直观感知——导数符号与单调性的关联 呈现3个常见函数的图像（y=x²、y=x³、y=lnx），并标注出不同区间内切线的斜率（可借助几何画板演示），让学生分组观察 （2）y=x³在区间(-∞,+∞)上，切线斜率的符号有变化吗？函数的单调性如何？ 此地有动画，点击播放 互动一：直观感知——导数符号与单调性的关联 呈现3个常见函数的图像（y=x²、y=x³、y=lnx），并标注出不同区间内切线的斜率（可借助几何画板演示），让学生分组观察 （3）y=lnx在定义域(0,+∞)上，切线斜率的符号是什么？函数的单调性如何？ 此地有动画，点击播放 分享观察结果，教师引导学生初步猜想：函数的单调性与导数的符号存在关联——导数为正，函数可能单调递增；导数为负，函数可能单调递减。 互动二：严谨推导——导数符号与单调性的关系 （仅供参考） 第一步：由导数定义，f’(x) = 当Δx趋近于0时，符号由[f(x+Δx)-f(x)]与Δx共同决定。 第二步：若在区间(a,b)内f’(x)>0，则当x₂-x₁=Δx>0时，f(x₂)-f(x₁)>0，即f(x₂)>f(x₁)，函数单调递增。 第三步：同理，若f’(x)<0，则f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x₂)<f(x₁)，函数单调递减。 互动三：易错辨析——规范求单调区间的步骤 呈现学生易犯的错误案例：求函数y=x³-3x的单调区间，错误解法：求导得f’(x)=3x²-3，令f’(x)>0，解得x>1或x<-1，直接得出单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(-∞,-1) 让学生分组讨论：错误之处在哪里？如何纠正？ （遗漏定义域，未判断导数为0的点）。 强调求单调区间的核心步骤——先求定义域，再求导数，解导数不等式，最后结合定义域确定单调区间；导数为0的点不影响单调性，但需标注，避免遗漏区间分界。 探 求 新 知 返回主页 1. 核心定理：导数与单调性的关系 2. 求函数单调区间的一般步骤 3. 列表分析法（标准格式） 1. 核心定理：导数与单调性的关系 定理1（单调性判定定理） 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内可导： 条件 结论 对任意 成立 在 上单调递增 对任意 成立 在 上单调递减 对任意 成立 在 上为常数函数 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内可导： 若 f'(x)≥0 且使 f'(x)=0 的点是孤立点（不构成区间），则 f(x) 在 (a,b) 上单调递增 若 f'(x)≤0 且使 f'(x)=0 的点是孤立点，则 f(x) 在 (a,b) 上单调递减 关键理解： f'(x)>0⇒ 严格单调递增（充分条件） 单调递增 ⇒f'(x)≥0（必要条件） f'(x)=0 的点称为”驻点”，不一定是单调区间的分界点 定理2（单调性判定定理的弱化形式） 2. 求函数单调区间的一般步骤（列表法） 3. 列表分析法 以 f(x)= 为例： ↗ 单调递增 极大值 ↘ 单调递减 极小值 ↗ 单调递增 结论： - 单调递增区间：(-∞,0) 和 (2,+∞) - 单调递减区间：(0,2) 求定义域：确定函数y=f(x)的定义域D（这是前提，避免后续求区间时超出定义域）； 求导数：计算f’(x)（结合导数四则运算法则、复合函数求导法则，确保求导准确）； 解不等式： 解f’(x) > 0，得到x的取值范围，结合定义域D，即为函数的单调递增区间； 解f’(x) < 0，得到x的取值范围，结合定义域D，即为函数的单调递减区间； 写结论：规范写出单调递增区间和单调递减区间（用区间表示，多个区间用“，”隔开，不可用“∪”）。 2. 求函数单调区间的一般步骤（直解法） 典 例 铺 路 类型一：基本函数求单调区间 类型二：复合函数求单调区间 类型三：结合四则运算法则求单调区间 类型五：判断区间上单调性 类型一：基本函数求单调区间 例1 求函数 的单调区间。 Step 1：定义域为 Step 2：求导 Step 3：令 ，得 ， Step 4：列表分析 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 结论： - 单调递增区间：(-∞,-1) 和 (3,+∞) - 单调递减区间：(-1,3) 例题2（基础型：求简单函数的单调区间）：求函数 的单调区间。 解：第一步，求定义域：由 ，得定义域为(0,+∞)； 第二步，求导数： ； 第三步，解导数不等式： 令 ，因x>0，x+1>0，故x-1>0，解得x>1； 令 ，同理，解得0<x<1； 第四步，写结论：函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)。 例题3（提升型：复合函数求单调区间）：求函数 （ ）的单调区间。 类型二：复合函数求单调区间 解：第一步，求定义域：已知 ； 第二步，求导数：由复合函数求导法则， ； 第三步，解导数不等式： 令 ，即 ，结合 ，得 ，解得 或 ； 令 ，即 ，解得 ； 第四步，写结论：函数f(x)的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 。 类型三：结合四则运算法则求单调区间 例题4（提升型：结合四则运算法则求单调区间）：求函数 f(x)= 的单调区间。 解：第一步，求定义域：定义域为 ； 第二步，求导数：由分式求导法则， ； 第三步，解导数不等式：因 恒成立，故导数符号由1-x决定； 令 ，解得x<1； 令 ，解得x>1； 第四步，写结论：函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1)，单调递减区间为(1,+∞)。 类型四：判断区间上单调性 例3.判断函数 在区间(0,2)和(2,+∞)上的单调性。 解：第一步，求定义域：函数定义域为 ； 第二步，求导数： ； 第三步，判断导数符号： 当x∈(0,2)时，x>0，x-2<0，故 ； 当x∈(2,+∞)时，x>0，x-2>0，故 ； 第四步，写结论：函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。 随 堂 演 练 返回主页 【1】 判断函数 在区间(-∞,1)和(1,+∞)上的单调性。 【2】 求下列函数的单调区间： （分式函数，结合四则运算法则） 【3】 已知函数 在区间(-∞,2)上单调递减，求实数a的取值范围（拓展题）。 针对训练答案及解析 解：求导得 ； 当x∈(-∞,1)时， ，函数单调递减； 当x∈(1,+∞)时， ，函数单调递增。 针对训练答案及解析 解：定义域为 ， ； 令 ，解得x>1或x<-1，单调递增区间为(-∞,-1)，(1,+∞)； 令 ，解得-1<x<1，单调递减区间为(-1,1)。 针对训练答案及解析 解：定义域为(0,+∞)， ； 令 ，解得0<x<1，单调递增区间为(0,1)； 令 ，解得x>1，单调递减区间为(1,+∞)。 针对训练答案及解析 解：定义域为 ， ； 令 ，解得 （或 ），单调递增区间为 ； 令 ，解得 ，单调递减区间为 。 针对训练答案及解析 解：定义域为 ， ； 令 ，解得x<-2或x>0（x≠-1），单调递增区间为(-∞,-2)，(0,+∞)； 令 ，解得-2<x<-1或-1<x<0，单调递减区间为(-2,-1)，(-1,0)。 针对训练答案及解析 解： ，函数在(-∞,2)上单调递减，故在(-∞,2)上 恒成立； 即 ，化简得 ； 当x∈(-∞,2)时，-x∈(-2,+∞)，故a≤-2（保证a小于等于-x的最小值）； 综上，a的取值范围为(-∞,-2]。 随 堂 检 测 返回主页 【1】 （基础题，2分）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）   B. C. D. 【2】 （基础题，3分）求函数 的单调区间。 【3】 （基础题，3分）求函数 （ ）的单调性。 【4】 （提升题，4分）求函数 的单调区间。 课堂检测答案 C（解析：A在(0,+∞)上单调递减；B在(0,1)上递减，(1,+∞)上递增；C求导得 ，在(0,+∞)上 ，单调递增；D在(0,1/2)上递增，(1/2,+∞)上递减，故选C）。 解：定义域为 ， ；（1分） 令 ，解得x<0或x>2，单调递增区间为(-∞,0)，(2,+∞)；（1分） 令 ，解得0<x<2，单调递减区间为(0,2)。（1分，步骤完整得满分） 课堂检测答案 解：定义域为 ， ；（1分） 因 ，故 ，且仅当x=0时 （不在区间内）；（1分） 综上，函数f(x)在 上单调递减。（1分） 解：定义域为(0,+∞)， ；（1分） 令 ，解得0<x<e，单调递增区间为(0,e)；（1分） 令 ，解得x>e，单调递减区间为(e,+∞)；（2分，步骤完整得满分） 课 堂 小 结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 核心关系：函数的单调性由导数符号决定（可导前提下）—— 单调递增， 单调递减， 为常函数； 核心步骤：求定义域→求导数→解导数不等式→确定单调区间； 56 2. 常见易错点提醒 忽略定义域，求导后直接解不等式，导致单调区间超出函数定义域； 求导错误（尤其是复合函数求导漏乘内层导数、分式函数求导出错），导致后续判断失误； 将多个单调递增（或递减）区间用“∪”连接（如将y=的单调递减区间写成(-∞,0)∪(0,+∞)，正确应为(-∞,0)，(0,+∞)）； 误将导数为0的点当作单调区间的分界点，忽略对导数符号的整体判断。 57 $