3.1 比例线段 同步练习 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

3.1 比例线段 一．选择题 1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．若，则的值为（　　） A． B． C． D．2 3．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6 B．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝1，，， 4．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（1）cm C．4（1）cm D．6（1）cm 5．已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝（　　） A．±3 B．3 C．4.5 D．5 6．设0＜a＜b＜c＜d，并且，则与之间的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 7．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如图2）上最接近的点是（　　） A．P B．Q C．M D．N 8．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．若AB＝2，则CD＝（　　） A． B． C． D． 10．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设a，b，记S1，S2，S3，S100，则S1+S2+S3+…+S100的值为（　　） A．100 B．200 C．100 D．5050 二．填空题 11．若，则　 　 ． 12．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝ 　 　 ． 13．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　 　 ． 14．如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长AB＝110cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的距离　 　 cm． 15．唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为　 　 cm（结果保留根号）． 三．解答题 16．已知，且3a﹣b+c＝32，求a、b、c的值． 17．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 18．阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽． （1）求黄金矩形ABCD中BC边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 19．（1）观察下列命题完成填空： ①若，则有a＝b或， ②若，则有a＝b或， ③若，则有a＝b或， ④若，则有a＝b或， … 按规律猜想：若，则有a＝b或 　 　 ； （2）若把（1）中命题改为：“若，则有a＝b或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为 　 　 ，并证明该命题成立； （3）对于（2）中的m，n，k（mnk≠0），若满足m2＝n2+k2，求的值． 20．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为1dm2的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形，所得的面积为2dm2的大正方形的边就是原先面积为1dm2的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为． （1）探究过程：因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以.设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得x2+2.8x+1.96＝2，因为x值很小，所以x2更小，略去x2，解得x≈0.014（保留到0.001），即 　 　 ． （2）理解应用：黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程；（画出示意图，标明数据，并写出解答过程） （3）动手操作：某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图3所示的一个正方形，请你比较 　 　 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B B C B C C 二．填空题 11．． 12．12． 13．． 14．（110220）． 15．． 三．解答题 16．解：设， 可得：a＝2k，b＝3k，c＝5k， 把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入3a﹣b+c＝32中， 可得：3•2k﹣3k+5k＝32， 解得k＝4， ∴a＝8，b＝12，c＝20． 17．解：（1）设a＝k，b＝3k，c＝5k， ∴a﹣b+c＝6，即k﹣3k+5k＝6， 解得：k＝2， ∴a＝2，b＝6，c＝10； （2）由（1）知a＝2，b＝6，又因为m是a，b的比例中项， ∴m2＝ab，即m2＝12， ∴， ∵m＞0， ∴． 18．解：（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， ∴， ∴． （2）矩形DCEF是黄金矩形．理由如下： ∵黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF， ∴CD，EC＝BC﹣AB， ∴， 故矩形DCEF是黄金矩形． 19．解：（1）①若，则有a＝b或， ②若，则有a＝b或， ③若，则有a＝b或， ④若，则有a＝b或， … 按规律猜想：，则有a＝b或， 故答案为：4052，； （2）“若，则有a＝b或”仍然成立， ①当a＝b时，原式可化为， ∴2（m+n）＝k， ②当时，设， ∴a＝x m，b＝xn， ∴原式可化为， ∴， ∴2（m+n）＝k， 综上，m，n，k应满足的等量关系式为2（m+n）＝k， 故答案为：2（m+n）＝k； 证明：， ， ， （mb+na）（a+b）﹣2（m+n）ab＝0， mab+mb2+na2+nab﹣2mab﹣2nab＝0， mb2+na2﹣nab﹣mab＝0， mb（b﹣a）+na（a﹣b）＝0， （b﹣a）（mb﹣na）＝0， b＝a或mb＝na， ∴a＝b或； （3）m2＝n2+k2，2（m+n）＝k， m2＝n2+4（m+n）2， m2＝n2+4m2+8mn+4n2， 3m2+8mn+5n2＝0， （m+n）（3m+5n）＝0， m+n＝0或3m+5n＝0， ∴或． 20．解：（1）x2+2.8x+1.96＝2， 解方程得x≈0.014（保留到0.001）， 即， 故答案为：1.414； （2）：2.232＝4.9729，2.242＝5.0624， ∴， 设2.23+x，画出示意图， 由面积公式，可得x2+4.46x+4.9729＝5， 因为x值很小， 所以x2更小，略去x2， 解方程得x≈0.006（保留到0.001）， 即． ∴黄金分割数 （3）， ∴．， ∴， ∴． 故答案为：＜． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/20 20:20:20；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $