20.1 勾股定理及其应用 题型专练2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 题型专练（参考答案） 【题型1】用勾股定理求边长 【典例】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　） A.13    B.169    C.119    D. 【答案】A 【解析】 解：根据正方形的面积得AC2＝25，BC2＝144， 在Rt△ACB中，AB＝＝＝13， 故选：A． 【强化训练1】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9    B.8    C.7    D.6 【答案】D 【解析】 解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB＝＝＝6， 故选：D． 【强化训练2】母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈.他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成.已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长　　　　分米. 【答案】 2 【解析】 如图所示， 设AE=x分米， 依题意得△AEF和△DEG均为等腰三角形，正方形ABCD的边长为10分米， ∴AF=AE=x分米，DE=DG=(10-x)分米， ∴EF==x(分米)，EG==(10-x)(分米)， ∵EG=4EF=4x分米， ∴4x=(10-x)， 解得x=2， ∴EF=2分米， 即这个礼品盒的边长为2分米. 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 【答案】 解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25； （2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150； （3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150 则CD＝＝12． 【题型2】求坐标系中两点间距离或点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【答案】A 【解析】 解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（7，0）， ∴OB＝3，BC＝10， ∵AC＝AB＝13， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD=＝12． ∴OD＝BD﹣OB＝2， ∴A（2，12）． 故选：A． 【强化训练1】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【答案】C 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，4)，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标介于 A.5和6之间    B.7和8之间 C.10和11之间    D.8和9之间 【答案】B 【解析】 OB=OA===2，则B点横坐标为2， ∵<<，即7<2<8，∴B点的横坐标介于7和8之间. 【强化训练3】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【答案】C 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【答案】A 【解析】 解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（7，0）， ∴OB＝3，BC＝10， ∵AC＝AB＝13， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD=＝12． ∴OD＝BD﹣OB＝2， ∴A（2，12）． 故选：A． 【强化训练5】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【答案】 (-4，-1) 【解析】 过点P作PB⊥OA于点B(图略)， ∵点A的坐标为(-，0)， ∴OP=OA=， ∵点P的纵坐标为-1， ∴PB=1， ∴OB==4， ∴P点的坐标为(-4，-1). 【强化训练6】如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 /． 【解析】 解：∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N， ∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 【强化训练7】如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 /． 【解析】 解：∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N， ∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 【强化训练8】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【答案】 (-4，-1) 【解析】 过点P作PB⊥OA于点B(图略)， ∵点A的坐标为(-，0)， ∴OP=OA=， ∵点P的纵坐标为-1， ∴PB=1， ∴OB==4， ∴P点的坐标为(-4，-1). 【题型3】折叠问题 【典例】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A.2    B.      C.    D.4 【答案】A 【解析】 ∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【强化训练1】如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵， ∴， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得∶，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得∶， 解得， ∴； 故选C． 【强化训练2】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 【强化训练3】如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则     ． 【答案】 【解析】 解：过点D作于点H，则， ∵是翻折而成， ∴， ∵在等腰直角中，，，点D为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则, 在中， ∴，解得， 即, 故答案为： 【强化训练4】如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则           ． 【答案】 【解析】 解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 【强化训练5】如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求的长； (3)求折痕的长． 【答案】 解：（1）∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）∵点B坐标为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）由（2）得：， ∴， ∴． 【强化训练6】如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，求的长． 【答案】 （1）证明：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得，是等腰三角形，， ∴， ∴的度数为． （3）解：设，则， 在中，即，解得，， ∴． 【题型4】线段间平方关系问题 【典例】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是(　　) A.9    B.8    C.7    D.6 【答案】A 【解析】 由题意可得1+ab×4=41， 解得ab=20， ∵a2+b2=41，∴(a+b)2-2ab=41， ∴(a+b)2=41+2ab=41+2×20=81， ∴a+b=9或a+b=-9(不符合题意，舍去)， 即a+b=9. 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则AC2+AB2+BC2的值为 A.8    B.2    C.4    D.2 【答案】A 【解析】 在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，∴AB2+AC2=BC2， ∴AC2+AB2+BC2=2BC2=2×4=8. 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2＝（　　） A.1    B.2    C.4    D.5 【答案】D 【解析】 解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDE和Rt△CDE中， BE2＝BD2+ED2＝AB2﹣AD2+ED2，EC2＝CD2+ED2＝AC2﹣AD2+ED2， ∴EC2﹣EB2＝（AC2﹣AD2+ED2）﹣（AB2﹣AD2+ED2） ＝AC2﹣AB2 ＝32﹣22 ＝5． 故选：D． 【强化训练3】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【答案】 7 【解析】 解：由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝ ∴OD2＝7． 【强化训练4】如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=　　　　　　. 【答案】 7 【解析】 ∵∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2， ∴OB2=OA2+AB2=22+12=5； 同理，OC2=OB2+BC2=5+1=6， ∴OD2=OC2+CD2=6+1=7. 【强化训练5】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2. 【答案】 证明：连接BD，如图所示， ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，AC=BC，AC2+BC2=AB2， ∴2AC2=AB2．∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD． 在△AEC和△BDC中， ∴△AEC≌△BDC（SAS）． ∴AE=BD，∠E=∠BDC． ∴∠BDC=45°， ∴∠BDC+∠ADC=90°， 即∠ADB=90°． ∴AD2+BD2=AB2， ∴AD2+AE2=2AC2． 【强化训练6】如图，已知△ABC是直角三角形，E，D分别是直角边AB，BC上的任意点.求证：AD2+CE2=AC2+DE2. 【答案】证明　∵△ABD，△CEB都是直角三角形， ∴AD2=AB2+BD2， CE2=BE2+BC2. ∴AD2+CE2=AB2+BD2+BE2+BC2. 同理可得AC2+DE2=AB2+BC2+BD2+BE2. ∴AD2+CE2=AC2+DE2. 【题型5】求图形面积 【典例】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=60，大正方形的面积为169.则小正方形的边长为 A.7    B.13    C.10    D.17 【答案】A 【解析】由题意知小正方形的边长是a-b，由勾股定理得a2+b2=169， ∵(a-b)2=a2+b2-2ab=169-2×60=49， ∴a-b=7(a>b)， ∴小正方形的边长为7. 【强化训练1】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　） A.12    B.24    C.10    D.20 【答案】A 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝BC＝×6＝3， 在△ABD中， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝＝＝4， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12， 故选：A． 【强化训练2】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ=30°).要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要　　　平方米. 【答案】 (2+2) 【解析】 在Rt△ABC中，θ=30°，BC=2米，∴AB=4米，∴AC==2(米)，∴AC+BC=(2+2)米， ∴地毯的面积至少需要1×(2+2)=(2+2)平方米. 【强化训练3】如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　    　cm2． 【答案】 25 【解析】 解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25（cm2） 故答案为：25． 【强化训练4】如图，过圆锥顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA=SB，AB是圆锥底面圆O的直径.已知SA=7 cm，AB=4 cm，求截面△SAB的面积. 【答案】 解：在Rt△AOS中，∵OA=AB=2，SA=7， ∴SO==， ∴截面△SAB的面积=×4×=6（cm2）． 【强化训练5】如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积. 【答案】 证明：设月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为S1，S2，△ACD的面积记为S． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC2+CD2=AD2， ∵以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆， ∴S半圆ACD=π•，S半圆AEC=π•，S半圆CFD=π•， ∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD， ∵S1+S2+S半圆ACD=S半圆AEC+S△ACD+S半圆CFD， ∴S=S1+S2； 即所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积． 【题型6】网格问题 【典例】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：∵＝4， ∵BC＝， ∴BC边上的高＝， 故选：C． 【强化训练1】如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【答案】B 【解析】 解：由图可得， AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝， BD＝＝， 由上可得，线段长度为的是线段BC， 故选：B． 【强化训练2】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 【答案】12+5 【解析】AB=4，BC=3，CD==5，AD==5， ∴C四边形ABCD=4+3+5+5=12+5. 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 【答案】 解：由图可知，B的坐标为（2，﹣1），C的坐标为（4，3）， 又∵A的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴AC=，AB＝4， S△ABC=×AB×|yC-yB|=×4×4=8， 设△ABC中AC边上的高为h， 则有S△ABC=×AB×h=×2×h=h=8 ∴△ABC中AC边上的高为：h=． 【题型7】求旗杆的高度 【典例】如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6    B.7    C.8    D.9 【答案】C 【解析】 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得，AC＝＝＝17（cm）， ∴CE＝AE﹣AC＝25﹣17＝8（cm）， 故选：C． 【强化训练1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 【答案】C 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米）， 故选：C． 【强化训练2】如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（　　） A.8米    B.10米    C.12米    D.18米 【答案】B 【解析】 解：由题意得，CD＝18m，BD＝28m，PD＝10m， ∴BP＝BD﹣PD＝28﹣10＝18（m）， ∴BP＝DC， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠PDC＝90°， ∴∠PAB+∠APB＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠APB+∠CPD＝90°， ∴∠PAB＝∠CPD， 在△PBA和△CDP中， ， ∴△PBA≌△CDP（AAS）， ∴AB＝PD＝10m， 故选：B． 【强化训练3】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【答案】A 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝＝＝1.0（米）， 故选：A． 【题型8】求梯子滑落的高度 【典例】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【答案】A 【解析】 解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝22﹣1.22＝2.56（平方米）， ∴AC＝1.6米， ∵BD＝0.4米， ∴CD＝1.6米． 在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝22﹣1.62＝1.44（平方米）， ∴EC＝1.2米， ∴AE＝AC﹣EC＝1.6﹣1.2＝0.4（米）． 故选：A． 【强化训练1】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【答案】A 【解析】在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=22-1.22=2.56， ∴AC=1.6米， ∵BD=0.4米， ∴CD=1.6米. 在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=22-1.62=1.44， ∴EC=1.2米， ∴AE=AC-EC=1.6-1.2=0.4(米). 即梯子顶端A下落了0.4米. 【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【答案】 2.7 【解析】 解：如图， 根据题意得：AE＝DE， 在Rt△ABE中，AB＝1.5米，BE＝2米， ∴AE=（米）， 在Rt△CDE中，DE＝2.5米，CD＝2.4米， ∴CE=（米）， ∴BC＝BE+CE＝2+0.7＝2.7（米）， ∴小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【强化训练3】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 【答案】 9 【解析】 解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【强化训练4】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 【答案】 解：由题意可知，梯子底端B移到点D处，此时BD=OD-OB. AB=2.6 m，AO=2.4 m，AC=0.5 m，AO⊥BO， 根据勾股定理可得OB===1（m）． 在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9(m)． OD====（m）． 所以BD=OD-OB=(m)． ∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B外移，而外移的距离不是0.5 m. 【强化训练5】如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 【答案】 解　①在Rt△AOB中， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，则OB=1米. 所以梯子的底端B距墙角O1米. ②在Rt△COD中， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15， 则OD≈1.77米.BD=OD-OB≈0.77(米). 所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B并不是也外移0.5米，而是外移约0.77米. 【题型9】求水杯中筷子的高度 【典例】已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（　　） A.4米    B.3米    C.2米    D.1米 【答案】C 【解析】 解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m， ∴AB＝＝＝8（m）， 在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m， ∴AB′＝＝6（m）， ∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）； 故选：C． 【强化训练1】如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A.10    B.12    C.13    D.14 【答案】C 【解析】 解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 【强化训练2】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　） A.5≤a≤12      B.12≤a≤3      C.12≤a≤4      D.12≤a≤13 【答案】D 【解析】 解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12， 由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5， 当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13， 即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13， 故选：D． 【强化训练3】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5      B.3≤a≤4      C.2≤a≤3      D.1≤a≤2 【答案】B 【解析】 解：设b是圆柱形的高， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即b＝12； ∴a＝16﹣12＝4， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， b＝＝13， ∴此时a＝3， 所以3≤a≤4． 故选：B． 【强化训练4】如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【解析】 解：由题意可得：AB′＝AB＝6m，BC＝2m， 则AC＝＝＝4（m）， AC′＝＝＝3（m）， 故CC′的长为：AC﹣AC′＝4﹣3＝（m）． 故选：A． 【题型10】求河的宽度 【典例】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 【答案】C 【解析】 解：如图， ∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【强化训练1】如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 【答案】C 【解析】 解：由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 【强化训练2】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【答案】 101 【解析】 解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E， 则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故答案为：101． 【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】 解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 【题型11】求台阶上毛毡的长度 【典例】如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【答案】 【解析】 解：如图，由题意得：，， 所以． 故答案为：13． 【强化训练1】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要      元． 【答案】 1020 【解析】 解：由勾股定理得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要（元）． 故填：． 【强化训练2】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】 680 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 【强化训练3】如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【答案】 【解析】 解：如图，由题意得：，， 所以． 故答案为：13． 【题型12】选址使到两地距离相等 【典例】如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 【答案】 【解析】 解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2（km）， ∴BC＝＝＝（km）． 故学校与工厂BC之间的距离是km． 故答案为：． 【强化训练1】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【答案】 15 【解析】 解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得： ∵DE＝CE， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152， 解得；x＝15． 故答案为：15． 【强化训练2】一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到） 【答案】 解：两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【强化训练3】为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】 解：（1）如图所示，点E即为所求． （2）设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 【题型13】航海问题 【典例】如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（ ） A.25海里    B.30海里    C.35海里    D.40海里 【答案】D 【解析】 解：∵甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/小时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 【强化训练1】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为(　　) A.50 km      B.40 km      C.30 km      D.10 km 【答案】A 【解析】 如图，由题意可知，∠FAB=60°，∠EBC=30°，AB=30 km，BC=40 km，AF∥DE， ∴∠BAD=30°， ∴∠ABD=∠FAB=60°， ∴∠ABC=180°-∠ABD-∠EBC=90°， 在Rt△ABC中， AC==50(km)， 故A，C两港之间的距离为50 km. 【强化训练2】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距      海里． 【答案】 【解析】 解：∵远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里，航行时间为2小时， ∴海里，海里， ∴由勾股定理得海里， ∴它们离开港口2小时后两船相距40海里， 故答案为：40． 【强化训练3】某渔船上的渔民在A处观测到灯塔在北偏东方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达处，在处观测到灯塔在北偏东方向处．则处与灯塔的距离是        海里． 【答案】 40 【解析】 解：过点作直线的垂线，垂足为，设海里， 在中，；在中， 由于得：， 解得：，， 在中，． 答：灯塔与渔船的距离是40海里． 故答案为：40． 【强化训练4】在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】 解：（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【强化训练5】如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里， (1)直接写出的度数； (2)求乙船的航速是多少？ 【答案】 解：（1）由题意，得：； （2）由题意，得：， ∵， ∴， ∴乙船的航速是：（海里/时）． 答：乙船的航速是海里/时． 【题型14】受台风影响问题 【典例】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【答案】B 【解析】 解：如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 【强化训练1】M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时． A.4    B.5    C.6    D.7 【答案】A 【解析】 解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【强化训练2】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【答案】B 【解析】 解：由题意，作图如下： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【强化训练3】如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是      米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为      秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400； 【解析】 解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 【强化训练4】某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：      ． 【答案】 需要封锁 【解析】 解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【强化训练5】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240的O处，以每小时30的速度向南偏东的方向移动，距台风中心150的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？ (2)求A城受台风影响的时间有多长？ 【答案】 解：（1）如图，作于． 在中， ，，， ， ， 城受到这次台风的影响． （2）如图，连接，，设， ∴， ， 受台风影响的时间有（小时）． 【强化训练6】如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．） 【答案】 解：如图，过点A作于点B， ∵，， ∴， ∵， ∴学校会受到噪音的影响； 设从点E开始学校学到影响，点F结束，则， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵汽车的速度为， ∴受影响的时间为：． 【题型15】最短路径问题 【典例】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm    B.24cm    C.26cm    D.28cm 【答案】C 【解析】 解：如图所示，将长方体的侧面展开， AC＝2（5+7）＝24（cm）， BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故选：C． 【强化训练1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 【答案】C 【解析】 解：如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，， 故选：C． 【强化训练2】一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】 13 【解析】 解：如图所示： ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为：13． 【强化训练3】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm． （1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？ （2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？ 【答案】 解：（1）如图1所示：连接AB′， 则AB′即为所用的最短细线长， AA′＝8cm，A′B′＝AB＝6cm， 由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝62+82＝100， 则AB′＝10cm， 答：所用的细线最短长度是10cm； （2）将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC， 则AC+B′C′为所求的最短细线长， AC2＝AA′2+A′C2，AC＝cm， B′C′2＝BB′2+C′B′2＝73， B′C′＝（cm）， AC+B′C′＝2（cm）， 答：所用细线最短长度是2cm． 【强化训练4】如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，将一根棉线从底面A点开始绕圆柱3圈后，挂在点A的正上方点B处，那么这根棉线的长度最短是多少？ 【答案】 解：圆柱体的展开图如图所示： 用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→C'D'→DB， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短， ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2π×＝4cm， 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm， 根据勾股定理求得AC＝C'D'＝DB＝5cm， ∴AC+C'D'+DB＝15cm， 答：这根棉线的长度最短是15cm． 【题型16】其他实际问题 【典例】如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C向上竖直拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了(　　) A.3 cm      B.2 cm C.4 cm      D.2.5 cm 【答案】B 【解析】 在Rt△ACD中，AC=AB=4(cm)，CD=3 cm，根据勾股定理，得AD==5(cm)，∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，故橡皮筋被拉长了2 cm. 【强化训练1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40 m/min.贝贝用15 min到家，京京用20 min到家，那么贝贝家与京京家的距离是 A.600 m B.800 m C.1 000 m D.无法计算 【答案】C 【强化训练2】如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A.2m    B.2.2m    C.3m    D.2.5m 【答案】D 【解析】 解：在Rt△ABC中根据勾股定理得：AC=，故D正确． 故选：D． 【强化训练3】如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 【答案】 8 【解析】 解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm， ∴BD＝CD＝BC＝15cm． 在直角△ABD中，由勾股定理知：AD＝＝＝8（cm）． 故答案为：8． 【强化训练4】如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 【答案】 21 【解析】 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AB，AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD===5(米)，DC===16(米)， ∴BC=BD+DC=5+16=21(米). 【强化训练5】如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. ①求这条“径路”的长； ②他们仅仅少了几步(假设2步为1米)？ 【答案】 解　①在Rt△ABC中， 根据勾股定理得 AB==5(米)， ∴这条“径路”的长为5米. ②他们仅仅少走了(3+4-5)×2=4(步). 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 题型专练 【题型1】用勾股定理求边长 【典例】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　） A.13    B.169    C.119    D. 【强化训练1】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9    B.8    C.7    D.6 【强化训练2】母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈.他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成.已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长　　　　分米. 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 【题型2】求坐标系中两点间距离或点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【强化训练1】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，4)，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标介于 A.5和6之间    B.7和8之间 C.10和11之间    D.8和9之间 【强化训练3】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【强化训练5】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【强化训练6】如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【强化训练7】如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【强化训练8】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【题型3】折叠问题 【典例】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A.2    B.      C.    D.4 【强化训练1】如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【强化训练2】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ） A.      B.      C.      D. 【强化训练3】如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则     ． 【强化训练4】如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则           ． 【强化训练5】如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求的长； (3)求折痕的长． 【强化训练6】如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，求的长． 【题型4】线段间平方关系问题 【典例】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是(　　) A.9    B.8    C.7    D.6 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则AC2+AB2+BC2的值为 A.8    B.2    C.4    D.2 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2＝（　　） A.1    B.2    C.4    D.5 【强化训练3】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【强化训练4】如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=　　　　　　. 【强化训练5】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2. 【强化训练6】如图，已知△ABC是直角三角形，E，D分别是直角边AB，BC上的任意点.求证：AD2+CE2=AC2+DE2. 【题型5】求图形面积 【典例】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=60，大正方形的面积为169.则小正方形的边长为 A.7    B.13    C.10    D.17 【强化训练1】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　） A.12    B.24    C.10    D.20 【强化训练2】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ=30°).要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要　　　平方米. 【强化训练3】如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　    　cm2． 【强化训练4】如图，过圆锥顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA=SB，AB是圆锥底面圆O的直径.已知SA=7 cm，AB=4 cm，求截面△SAB的面积. 【强化训练5】如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积. 【题型6】网格问题 【典例】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（　　） A.    B.    C.    D. 【强化训练1】如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【强化训练2】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 【题型7】求旗杆的高度 【典例】如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6    B.7    C.8    D.9 【强化训练1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 【强化训练2】如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（　　） A.8米    B.10米    C.12米    D.18米 【强化训练3】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【题型8】求梯子滑落的高度 【典例】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【强化训练1】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【强化训练3】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 【强化训练4】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 【强化训练5】如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 【题型9】求水杯中筷子的高度 【典例】已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（　　） A.4米    B.3米    C.2米    D.1米 【强化训练1】如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A.10    B.12    C.13    D.14 【强化训练2】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　） A.5≤a≤12      B.12≤a≤3      C.12≤a≤4      D.12≤a≤13 【强化训练3】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5      B.3≤a≤4      C.2≤a≤3      D.1≤a≤2 【强化训练4】如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【题型10】求河的宽度 【典例】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 【强化训练1】如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 【强化训练2】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【题型11】求台阶上毛毡的长度 【典例】如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【强化训练1】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要      元． 【强化训练2】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【强化训练3】如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【题型12】选址使到两地距离相等 【典例】如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 【强化训练1】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【强化训练2】一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到） 【强化训练3】为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【题型13】航海问题 【典例】如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（ ） A.25海里    B.30海里    C.35海里    D.40海里 【强化训练1】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为(　　) A.50 km      B.40 km      C.30 km      D.10 km 【强化训练2】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距      海里． 【强化训练3】某渔船上的渔民在A处观测到灯塔在北偏东方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达处，在处观测到灯塔在北偏东方向处．则处与灯塔的距离是        海里． 【强化训练4】在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【强化训练5】如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里， (1)直接写出的度数； (2)求乙船的航速是多少？ 【题型14】受台风影响问题 【典例】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【强化训练1】M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时． A.4    B.5    C.6    D.7 【强化训练2】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【强化训练3】如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是      米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为      秒（，结果精确到秒）． 【强化训练4】某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：      ． 【强化训练5】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240的O处，以每小时30的速度向南偏东的方向移动，距台风中心150的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？ (2)求A城受台风影响的时间有多长？ 【强化训练6】如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．） 【题型15】最短路径问题 【典例】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm    B.24cm    C.26cm    D.28cm 【强化训练1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 【强化训练2】一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【强化训练3】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm． （1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？ （2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？ 【强化训练4】如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，将一根棉线从底面A点开始绕圆柱3圈后，挂在点A的正上方点B处，那么这根棉线的长度最短是多少？ 【题型16】其他实际问题 【典例】如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C向上竖直拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了(　　) A.3 cm      B.2 cm C.4 cm      D.2.5 cm 【强化训练1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40 m/min.贝贝用15 min到家，京京用20 min到家，那么贝贝家与京京家的距离是 A.600 m B.800 m C.1 000 m D.无法计算 【强化训练2】如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A.2m    B.2.2m    C.3m    D.2.5m 【强化训练3】如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 【强化训练4】如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 【强化训练5】如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. ①求这条“径路”的长； ②他们仅仅少了几步(假设2步为1米)？ 学科网（北京）股份有限公司 $