第19章 二次根式 章节知识点复习题 2025-2026学年 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第19章《二次根式》章节知识点复习题 题型1：二次根式的识别 1.下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型2：求二次根式的值 3.一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 4.当时，的值是 ． 题型3：求二次根式中的参数 5.若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 6.若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型4：二次根式有意义的条件 7.若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 8.要使式子有意义，则的取值范围是 题型5：利用二次根式的性质化简 9.实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 10. ． 题型6：二次根式的乘法 11.估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 12.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知一个无理数与的商是有理数．这个数可以是 ． 题型7：二次根式的除法 13.下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14. ． 题型8：二次根式的乘除混合运算 15.如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 16.计算： 题型9：最简二次根式的判断 17.下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 18.下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型10：化为最简二次根式 19.下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20.化简的结果是 ． 题型11：已知最简二次根式求参数 21.如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 22.若是最简二次根式，则自然数 ． 题型12：同类二次根式 23.最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 24.最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 题型13：二次根式的加减运算 25.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 26.计算： (1)； (2)． 题型14：二次根式的混合运算 27.计算： (1)； (2)． 28.计算：． 题型15：分母有理化 29.先化简，再求值：，其中． 30.阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 题型16：已知字母的值，化简求值 31.已知，，求的值． 32.已知 ， 那么的值是 ． 题型17：已知条件式，化简求值 33.计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 34.已知，求的值． 题型18：比较二次根式的大小 35.为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 36.比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 题型19：二次根式的应用 37.如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 38.如果一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 题型20：复合二次根式的化简 39.化简：． 40.定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 参考答案 题型1：二次根式的识别 1.B 解：A．的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意；     B．是二次根式，故符合题意；     C．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；   D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意． 故选：B． 2.C 解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 题型2：求二次根式的值 3.（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 4. 解：∵， ∴， 故答案为：． 题型3：求二次根式中的参数 5.3 解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 6.D 解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 题型4：二次根式有意义的条件 7. 由题意得，， 解得：， 故答案为 ． 8.且 解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 题型5：利用二次根式的性质化简 9.D 解：∵由图可知，，， ∴ ． 故选：D． 10. 解：． 故答案为：． 题型6：二次根式的乘法 11.A 解：， ， ， ， 的值在1和2之间， 故选：A． 12.（答案不唯一） 解：当这个无理数与的商是2时， 这个数为：， 故答案为：．（答案不唯一） 题型7：二次根式的除法 13.D 解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 14.3 解：． 故答案为：3． 题型8：二次根式的乘除混合运算 15.46 解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 16. 解： ． 题型9：最简二次根式的判断 17.D 解： A． ，不是最简二次根式，故错误； B． ，不是最简二次根式，故错误； C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 18.C 解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 题型10：化为最简二次根式 19.D 解：A．，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选D． 20. 解：． 故答案为： 题型11：已知最简二次根式求参数 21.3 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 22.0或1 解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 题型12：同类二次根式 23. 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 24.3 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3． 题型13：二次根式的加减运算 25.C 解： A： 与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B： ，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，故本选项不符合题意． 故选：C． 26.（1）解：原式． （2）解：原式． 题型14：二次根式的混合运算 27.（1） ； （2） 28.解： ． 题型15：分母有理化 29.解： ， 当时，原式． 30.（1）解： 所以的有理化因式是 ； 故答案为：，． （2）解：原式 ． 题型16：已知字母的值，化简求值 31.解：∵，， ∴，， ∴． 32. 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型17：已知条件式，化简求值 33.（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 34.解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 题型18：比较二次根式的大小 35. 解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 36. 解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型19：二次根式的应用 37.（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 38.解：长方形的面积为． 题型20：复合二次根式的化简 39.解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 40.（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 学科网（北京）股份有限公司 $