3.3垂径定理 教学设计2025-2026学年北师大版九年级数学下册

垂径定理 教学目标： 1、利用圆的轴对称性研究垂径定理以及逆定理； 2、运用垂径定理及其逆定理解决问题； 3、经历运用圆的轴对称知识探索圆的相关性质的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法； 4、培养学生的类比思想和数学的严谨性。 教学重点： 利用圆的轴对称性研究垂径定理以及逆定理。 教学难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线。 教学过程： 一、引入： 让学生请观察下列三个银行标志，有何共同点？ （让学生讨论并交流图片的共同点，怎么得到的） 提问： （1）我们采用什么操作方法研究轴对称图形？ （ 折叠 ） （2）把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做( 轴对称图形 )，这条直线叫做( 对称轴 ) 。 二、合作探究： 1.圆的对称性： 圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。（通过刚才学生的讨论以及折纸让学生总结圆的对称性） 2.如图,AB是⊙O的弦, 将圆形纸片沿CD对折.通过折叠活动，C A D B O E 发现直径CD⊥AB,设垂足为E; 你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ （通过事先发给学生的圆，让学生动手折叠， 并让学生总结哪些相等的线段和相等的弧） 3、引导学生用符号语言把上面的结论写出来。 即： CD是⊙O的直径，且,, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒AC=BC，AD=BD （引导学生总结上面得到的结论--垂径定理） 4、垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 三、问题： 1、刚才垂径定理前提条件是什么？结论是什么？ 条件：弦和直径垂直；结论：直径平分弦。 2、如果把结论和条件互换成不成立？ 讨论问题2 这句话对吗? 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. （引导学生分析弦与直径的位置关系，左图中把AB看作弦，把CD看作直径。） 定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3、理解应用： 例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离. A B O E 解析：引导学生分析圆心到弦的距离是什么， 应该过O作弦AB的垂线OE交AB于点E。 注：OE的长叫做弦AB的弦心距。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m) A B 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线， C B D A 交AB于点D，则CD=7.2m ，由垂径定理，得 O 设⊙O的半径为R m，在Rt△OAD中，AO=R,OD=R-7.2，AD=18.7 由勾股定理，得 解方程，得 答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m。 练习巩固： 1.判断下列说法是否正确？ (1).垂直于弦的直径平分这条弦。（ ） (2).平分弦的直径垂直于这条弦。（ ） (3).弦的垂直平分线必过圆心。 （ ） 巩固： 2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，5 （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 3、如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O， 则折痕AB的长为(　　)． A、2cm B、 cm C、2 cm D、2cm 4、如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． 求证：AC＝BD. 证明：过O作OE⊥AB于E， 则AE＝EB，CE＝ED. ∴AE－CE＝BE－DE. ∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE， ∴AC＝BD 小结：1、这节课你有什么收获？ 2、还有哪些疑问？ 学科网（北京）股份有限公司 $