21.3.1 矩形 同步课时练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1矩形（课时1） D 考点1·矩形性质的应用 1.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O, B 若AO=3,则BD的长为() A.3 B.4 C.5 D.2V5 5.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, A.4 B.6 M、N分别为BC、OC的中点.若MN=4, C.8 D.10 则AC的长为 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,∠AOB=60°，AB=2,则AC的长是() O O M B 考点2矩形中的折叠问题 A.2 B.4 6.如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿 C.6 D.8 3.如图，矩形ABCD中，点E在AB的延长 AC翻折到△ACD',AD'与BC交于点E,若 线上，且AE=BD,∠E=72°，则∠DBC= AD=4,DC=3,则BE的长是() () D B E D' 小 E A.36 B.45° A寸 B.2 8 3 C.54° D.72° D.1 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8, 8 对角线AC和BD交于点O,过点O作OE垂 7.如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使 直于AC,交AD于点E,则AE的长为() 点C落在点C处，AD=16,AB=8,则 CE的长度为() D E B A.1 B.2 A.4 B.6 C.1.5 D.2.5 C.8 D.10 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8, 为AB的中点.若∠A=64°，则∠BCD的度数 将矩形沿EF对折，使得点C与点A重合， 为() 求AF的长. D (CA D A.36° B.34° C.26° D.24° 能力拔高题 考点3直角三角形斜边上的中线的性 12.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相 质的应用 交于点O,且AB=2,∠AOB=60°，点E 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D 为BD上一点，OE=1,连接AE,则AE的 是AB的中点，AB=6,则CD的长是() 长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 A.3 B.7 10.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F C.√7或3 D.6 在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6, BC=8,则EF的长为() 矩形是特殊的平行四边形，早在古埃及、古巴比伦建筑中就广泛应用。直角三角形斜边中线定理 由矩形性质推导而来，是几何中由“特殊图形”推导“重要结论”的经典思路。 答案以及解析 1.答案：B 解析：，在矩形ABCD中，AO=3, ∴.AC=2A0=6, .BD=AC=6, 故选：B 2.答案：B 解析：.矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, ..OA=OB=OC=OD, ∠AOB=60°，AB=2, ∴.△AOB是等边三角形 .OA=AB=2, ∴.AC=20A=4, 故选：B. 3.答案：C 解析：连接AC,交BD于点O,如图， D E B .四边形ABCD矩形， 4C=8D.∠1Bc=∠CBE=-0,0C=4C,0B-8D, ∴.OB=OC, .∠ACB=∠DBC, AE =BD, ∴.AC=AE, ∠E=72°， ∴.∠ACE=72°，∠BCE=18°， .∠DBC=∠ACB=72°-18°=54° 故选：C 4.答案：C 解析：如解图，连接EC, E D 四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=8, .∠ADC=90°，AD=BC=8,CD=AB=4,OA=OC, .OE⊥AC, ∴.OE是线段AC的垂直平分线， ∴.AE=CE, 设AE=CE=a,则DE=8-a, 由勾股定理得，CE2=DE2+CD2, 即a2=(8-a}2+42, 解得a=5. 故选：C 5.答案：16 解析：M、N分别为BC、OC的中点， B0=2MN=2×4=8, .四边形ABCD是矩形， :AC=BD=2B0=16, 故答案为16. 6.答案：C 解析：.·四边形ABCD为矩形 .AB=DC=3,BC=AD=4,AD∥BC,∠B=90°， ,△ACD沿AC折叠到△ACD',AD'与BC交于点E, ∴.∠DAC=∠D'AC, AD//BC, .∠DAC=∠ACB, ∴.∠D'AC=∠ACB, ..AE=EC, 设BE=x,则EC=4-x,AE=4-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理得： AB2+BE2=AE2,即：32+x2=(4-x2, 解得：名即：8E的长度为 故选：C 7.答案：B 解析：由折叠得，DC=DC'=AB=8, ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AD∥BC, ∴.∠CBD=∠ADB=∠CBD, .'ED EB, ∴.Rt△AEB≌Rt△C'ED(HL), .C'E=AE, 设BE=ED=x,则AE=EC'=16-x, 在Rt△DEC中，由勾股定理得，82+(16-x2=x2, 解得，x=10, ∴.CE=AE=16-10=6. 故选：B. 8.答案：AF的长为5 解析：，四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=8 ∴.CD=AB=4,AD=BC=8,∠D=90° 又将矩形沿EF对折，使得点C与点A重合 ∴.AD'=CD=4,D'F=DF,∠D'=∠D=90° 设AF=x,则DF=D'F=AD-AF=8-x 在Rt△AD'F中，AD2+D'F2=AF2, 即42+(8-x)2=x2 解得x=5 即AF的长为5. 9.答案：B 解析：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， :.cD=48=3 故选：B. 10.答案：A 解析：.DE是△ABC的中位线，BC=8, :0E=8C=4,D是B的中点， .∠AFB=90°， ∴DF=24B=3, .EF =DE-DF =1, 故选A 11.答案：C 解析：.∠ACB=90°，D为AB的中点， :.CD=BD=AD=14B, ∠B=90°-∠A=90°-64°=26°， .∠BCD=∠B=26°， 故选：C 12.答案：C 解析：，四边形ABCD是矩形， 01=0C=4c,08=0D=8D,4C=D,∠Ac=90, .OA=OB, ,∠AOB=60°， ∴.△ABO是等边三角形， ∴.OD=OB=OA=OC=AB=2, ①当点E在OB上时，如图所示， D E B .OE=1, .OB=2OE,即点E是OB的中点， ,△ABO是等边三角形， .AE⊥OB, .∠AE0=90°， .AE=√0A2-0E2=V22-1P=V3; ②当点E在OD上时，过点A作AH⊥BD于点H,则∠AHE=90°，如图所示， H B 由①可知，OH=OE=1,AH=V3, .HE=2, ∴AE=VHE2+AH=22+(N5°-万： AE的长为V万或√5， 故选：C21.3.1矩形（课时2） 考点1·矩形判定的应用 1如图，四边形ABCD是平行四边形，添加 下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的 是() A.AO=BO B.AC=BD 考点2矩形判定与性质的综合应用 C.AB2+BC2=AC2 D.AB=BO 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长 2.如图，要使口ABCD成为矩形，应添加的 AB至点E,使AB=BE,连接DB、DE和 条件是 (只填一个). CE,且AD=DE. B D 3.如图，四边形AEFD是平行四边形， C是EF边上一点，点B在FE的延长线上， E 且CF=BE,∠B=90° (I)求证：四边形BDCE是矩形： 求证：四边形ABCD是矩形 (2)若AB=2,DE=4,求点A和点C之间 的距离 6.如图，在口ABCD中，∠ACB=90°，过点 D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接 4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，M是平 AE交CD于点F 行四边形ABCD内的一点，且AM=DM, BM=CM求证：四边形ABCD是矩形 】 8.矩形ABCD中，点E在射线BC上，连接 OE,过点O作OF⊥OE,交直线DC于点 F,连接EF. (1)如图1，当E是线段BC中点时，BE=4, B DF=3,则EF的长为 (I)求证：四边形ACED是矩形； (2)当点E在线段BC的延长线上时，依题意 (2)连接BF,若∠ABC=60°，CE=2,求 补全图2，用等式表示线段BE,DF,EF BF的长 之间的数量关系，并证明： (3)如图3，△ABC中，∠C=90°，点D在 BC的延长线上，点E在CA的延长线上， 连接DE,F是DE的中点，连接AF,若 AE2+BD2=DE2,且DE-AB=4,求AF 7.如图，在四边形ABCD中，AD/BC, 的最小值 DC⊥BC,∠B=60°，BC=2AD,点E,F分别 是AB,BC的中点，连接DE,EF. D R 图2 图3 E (I)求证：四边形AFCD是矩形； (2)求∠AFE的度数， 能力拔高题 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。实际测量中，工人常用“对角线相等”检验门窗、窗框是 否标准，是几何知识在生产生活中的直接应用。 答案以及解析 1.答案：D 解析：A.AO=BO, .四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于O, ∴.AO=CO,BO=DO, .AO=BO, ∴.AO=CO=BO=DO, ∴.AC=2AO=BD, .平行四边形ABCD为矩形，故选项A能判定； B.AC=BD,,∴.平行四边形ABCD为矩形，故选项B能判定； C.AB2+BC2=AC2,∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， .平行四边形ABCD为矩形，故选项C能判定； D.添加AB=BO,不能判定AC=BD,或∠BAD=90°， ∴.平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项D不能判定 故选：D 2.答案：∠ABC=90°（或AC=BD,答案不唯一） 解析：，·有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴.可以添加条件∠ABC=90°（或其余三个内角中的一个为90°） 又对角线相等的平行四边形是矩形， ∴.也可以添加条件AC=BD(答案不唯一). 故答案为：∠ABC=90°（或AC=BD,答案不唯一）. 3.答案：见解析 解析：证明：四边形AEFD是平行四边形， .AD//BC,AE DF,AD EF, .CF=BE, ∴.BC=AD, .四边形ABCD是平行四边形； .∠B=90°， .四边形ABCD是矩形 4.答案：见解析 解析：证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=DC,ABIIDC, .∠ABC+∠DCB=180°， 又.AM=DM,BM=CM, .△ABM≌△DCM,∠MBC=∠MCB, ∴.∠ABM=∠DCM, .∠ABM+∠MBC=∠DCM+∠MCB,即∠ABC=∠DCB, .∠ABC=∠DCB=90°， .四边形ABCD是矩形 5.答案：(1)证明见解析 (2)2V7 解析：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB//CD,AB=CD,AD=BC, ,延长AB至点E,使AB=BE, ∴.BE//CD,BE=CD, .四边形BDCE是平行四边形， AD DE, ∴.BC=DE, 四边形BDCE是矩形； (2)如图，连接AC,则点A和点C之间的距离即为线段AC的长度 B 刀 E AD=DE,DE=4, .AD=4, 由(1)可得∠DBA=90°， .在Rt△ABD中，DB=VAD2-AB2=V√42-22=2√5 四边形BDCE是矩形， .DB=CE=23, .AB BE,AB=2, .BE=2,则AE=4, 由(1)可得∠BEC=90°， 小在Rt△AEC中，AC=VAE2+CE=V42+25=2万， ∴.点A和点C之间的距离为2√万」 6.答案：(1)证明见解析 (2)BF的长是2V5 解析：(1).∠ACB=90°， .AC⊥BC, DE⊥BC, ∴.ACIDE, 四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， .AD//CE, .四边形ACED是平行四边形， .∠ACE=90°， .四边形ACED是矩形； (2)·四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， .AE=CD=AB,AF EF,AD=CE=CB=2, .∠ABC=60°， “△ABC是等边三角形， :BF⊥AE,AB=AE=BE=2CE=2×2=4, :∠AFB=90°，AF=1AE=x4=2, BF=VAB2-AF2=V42-22=2V5, BF的长是2V5. 7.答案：(1)见解析 (2)30° 解析：(1)证明：F是BC的中点， 1 .BF-CF-BC. BC=2AD, .AD=CF, AD/IBC, .四边形FCD是平行四边形， ,DC⊥BC, .四边形AFCD是矩形： (2).·四边形AFCD是矩形， ∴.AF⊥CF, ∴.∠AFB=90°， E是AB的中点， AE=EF=BE-LAB, 2 ∠BAF=∠AFE, :∠B=60°， .∠BAF=30°， .∠AFE=30° 8.答案：(1)5： (2)BE2+DF2=EF2;证明见解析； (3)AF的最小值为2 解析：(1)，四边形ABCD为矩形， ∴.AO=CO=BO=DO, ∠BCD=∠CDA=∠BAD=∠ABC=90°， E是线段BC中点， ∴.OE⊥BC,CE=BE=4, .∠OEC=90°， .OF⊥OE, ∴.∠EOF=90°， .四边形OECF为矩形， ∴.∠OFC=90°， ∴.OF⊥CD, .OC=OD, .'CF=DF=3, 根据勾股定理得：EF=VCE2+CF2=V32+4?=5; (2)BE2+DF2=EF2;理由如下： 延长DA,EO交于点G,连接GF,如图所示： G- D B .四边形ABCD为矩形， .AD//BC,OA=OC,AD=BC, ∴.∠AGO=∠CEO,∠GAO=∠ECO, .△AOG≌△COE(AAS), ∴.OE=OG,CE=AG, ∴.BC+CE=AD+AG, 即BE=DG, .'∠FOE=∠FOG=90°，OF=FO, ∴.△EOF≌△GOF(SAS), ∴.GF=EF, .'∠GDF=180°-90°=90°， .根据勾股定理得：GF2=DF2+DG2, 即BE2+DF2=EF2 (3)过点A作GA⊥CE,过点B作GB⊥BD,GA与BG交于点G,连接CG交AB于点O,连 接DO,并延长交AG的延长线于点H,连接EH,OF,如图所示： 则∠GAC=∠GBC=∠ACB=90°， 四边形ACBG为矩形， :.AO=BO=-AB,CO=OG,AG//BC,AG=BC, ∴.∠GAO=∠CDO,∠HGO=∠DCO, ∴.△GOH≌△COD, ∴.OD=OH,GH=CD, ..AG+GH=BC+CD, ∴.AH=BD, .∠HAE=180°-90°=90°， .根据勾股定理得：HE2=AH2+AE2=BD2+AE2, .AE2+BD2=DE2, ∴.HE2=DE2, ∴.HE=CE, .OE=OE, ∴.△OEH≌△OED, ∴.∠EOH=∠EOD, .∠EOH+∠EOD=180°， ∴.∠EOH=∠EOD=90°， 点F为DE的中点， 0r-E, AF≥OF-OA,且当O、A、F三点共线时，等号成立， .AF≥DE-AB, 2 .DE-AB=4, AF≥DE-AB)=2, 2 .AF的最小值为2.