专题 20.10 勾股定理与最短路径问题（知识梳理+题型精析+模拟真题）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.10 勾股定理与最短路径问题（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】勾股定理与最短路径 1 【考点一】平面图形中的最短路径 2 【题型1-1】将军饮马基础模型 2 【题型1-2】平面图形内最短路径（综合） 7 【题型 1-3】网格中的最短路径（基础题） 12 【考点二】立体图形表面的最短路径 19 【题型 2-1】长方体表面最短路径 19 【题型 2-2】圆柱侧面最短路径 24 【题型 2-3】圆锥侧面最短路径 28 【考点三】折叠与最短路径结合 30 【题型 3-1】平面折叠与最短路径 30 二.模拟真题 35 （一）单选题（6题） 35 （二）填空题（6题） 41 （三）解答题（2题） 47 一.知识梳理与题型精析 【知识要点】勾股定理与最短路径 最短路径问题的核心依据：两点之间，线段最短；勾股定理的应用关键：将平面、立体图形中的最短路径，转化为直角三角形的斜边，通过勾股定理计算长度。 核心原则：无论平面还是立体图形，最短路径本质是“线段”，需通过平移、展开、折叠等方式，构造直角三角形，再用勾股定理求解。 通用解题步骤： 判类型：判断是平面最短路径、立体表面最短路径，还是折叠与最短路径结合； 做转化：平面同侧→作对称点；立体表面→展开为平面；折叠问题→确定对应点； 构直角：找到最短路径所在的直角三角形，结合图形边长、展开图尺寸明确直角边的长度； 算长度：利用勾股定理计算最短路径长； 验答案：验证路径是否符合图形实际，立体图形需考虑不同展开方式的最短值。 【考点一】平面图形中的最短路径 【题型1-1】将军饮马基础模型 【例题1】如图，以一边为直角边构造，且，，，．      (1)求证：为直角三角形． (2)若点P为上一动点，连接，，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得； （2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N， 则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得． 【详解】（1）证明：根据题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴△ABC为直角三角形； （2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，    则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， 当B、P、M三点共线时，取最小值为， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于D，先根据，，分别求得，，，再求得，从而可用勾股定理求得，要使的周长最小，一定，则最小，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，点即为使最小的点，利用勾股定理求得即可求得周长的最小值． 【详解】解：作于D，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 要使的周长最小，一定， 则最小，    作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得：， 则， ∵点A关于y轴的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，两点之间线段最短，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题关键是掌握正确作出图形． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空： (1)画出关于直线轴对称的； (2)直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，存在，的最小值为． 【分析】本题考查轴对称图形的画法，最短路线的求法，能够正确作图是解题关键． （1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点即可； （2）直接利用轴对称求最短路线的方法，直接画出点即可，并结合勾股定理计算最短路径长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，与得交点，即为点． 直线是的垂直平分线， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，当为与的交点时，， 此时取得最小值，即的长度， 通过网格可知，到的水平距离为5个单位长度，垂直距离为4个单位长度，由勾股定理得：， 故的最小值为． 【题型1-2】平面图形内最短路径（综合） 【例题2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，边上的高，．E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（    ）    A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，，    在等边中，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴ 当三点共线时，有最小值， 此时， ∵等边中，， 又∵F是边的中点， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键． 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 .    【答案】 【分析】（）根据垂线段最短即可求出的最小值； （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，求出即可． 【详解】解：（）当时，最小，此时， ∵， ∴， 则， ∴； 故答案为：    （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，由（1）得，即， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称和最短路径，解题关键是明确垂线段最短和利用轴对称确定最短路径，能够熟练运用勾股定理求出线段长． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，作交于点D，连接，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作，交于点D，连接，如图： 则， ， 即最小值即为的长， ， ， ， 即最小值为， 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 【题型 1-3】网格中的最短路径（基础题） 【例题2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．    (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找出一点，使得的值最大，该最大值为 （保留作图痕迹并标上字母） (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与，两点构成以为底边的等腰三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，5 (3)4 【分析】本题主要考查作图——轴对称变换，掌握轴对称变换的特点，结合格点作图是解题的关键． （1）分别作出的顶点关于直线的对称点，顺次连接可得； （2）作射线，与直线l的交点即为点P； （3）利用格点作线段的中垂线，从而得出符合条件的格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如上图所示，点即为所求．的值最大，最大值为线段的长，， 故答案为：5； （3）解：如上图所示，在正方形网格中存在4个格点、与两点构成以为底边的等腰三角形， 故答案为：4． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，5 (3)5 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，延长交直线于点，利用对称的性质和两点之间线段最短可得到点满足条件，再利用勾股定理计算即可； （3）根据等腰三角形的定义找到符合条件的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，点为所作； 其中的最大值为；    （3）如图，存在5个格点，使得该格点与、两点构成以为腰的等腰三角形． 故答案为：5．    【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了等腰三角形的定义． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； ③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积， 设点到边的距离， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理． 【考点二】立体图形表面的最短路径 【题型 2-1】长方体表面最短路径 【例题4】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开一最短路径问题和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及利用展开图得出结论是解题关键． 利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 【变式3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可； （2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图， 将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，， 则为所求的彩带长， ， ， ， 答：彩带的长度是； （2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图， 此时； 由上可知小刚所需要的彩带最短是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想． 【题型 2-2】圆柱侧面最短路径 【例题5】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径，根据题意，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长得，然后运用勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，    ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴，， 根据勾股定理， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用、圆柱的侧面展开图，将圆柱侧面展开成矩形，彩带的长度就是三个矩形对角线长度之和． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，如下图所示， 圆柱的高为，底面周长为， ，， ， 彩带的长度为． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·月考）如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 【答案】蚂蚁爬过的最短路程为 【分析】将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，连接，则即为最短距离， ∵圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱内部距圆柱体上沿2cm的点B处有食物， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴蚂蚁爬过的最短路程为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【题型 2-3】圆锥侧面最短路径 【例题6】23-24八年级下·全国·课后作业）如图，一个圆锥的高，底面半径．的长是多少？ 【答案】2.5 【分析】根据勾股定理列式计算，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：∠AOB＝90°， 在中，， ∴AB的长为2.5． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2023·安徽合肥·三模）已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（　　） A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得底面半径，然后求得底面积即可． 【详解】解：∵直角三角形ABC的一条直角边、斜边， ∴， ∴底面积为， 故选：D． 【点睛】考查了圆锥的计算及勾股定理的知识，解题的关键是确定哪一条边是底面半径，难度不大． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·月考）在如图所示的圆锥中，，底面半径，则圆锥的高为（    ） A．1 B．1.2 C．1.3 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理直接求解即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：； 故选B． 【变式3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点爬行到点的最短路线长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．画出图形，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，线段的长为所求的最短路线长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【考点三】折叠与最短路径结合 【题型 3-1】平面折叠与最短路径 【例题7】（23-24九年级下·山东淄博·月考）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意判断的运动轨迹，再根据折叠性质得到，根据全等三角形的判定与性质推得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：依题得：点的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆， 当落在上时，取得最小值， 作延长线，交于点，如下图所示， ，是的中点， ， 根据折叠可知，， 中，，， 且， ，， ，， 和中， ， ， ， 中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的特征、勾股定理、两点之间线段最短的应用，解题关键是确定的位置． 【变式1】如图，中，，，在边上，且将沿着折叠，点刚好落在边上的点处，是直线上的一个动点，若，则的周长最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由折叠的性质可得垂直平分，即点与点关于直线对称，故当点和点重合时，的值最小，即的周长取最小值；然后利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图，    ∵三角形沿着折叠，点与点重合， ∴，，， ∴垂直平分，即点与点关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，即的周长取最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，， ∴的周长最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握折叠的性质是解题关键． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称性质转化线段，结合两点之间线段最短求解最小值是解题的关键． 本题是最短路径问题．根据折叠性质，点与点关于直线对称，因此的周长根据两点之间线段最短，当点位于与的交点时，取得最小值因此，周长的最小值为接下来需要利用直角三角形和折叠的性质，求出的长度． 【详解】解：连接、， ∵在中，，， ∴， ∵沿直线折叠得到， ∴，，， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴ ∴的周长 ∵当在与的交点时，最小，最小值为 ∴周长的最小值 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在长方形中，分别是上的点．现将四边形沿EF折叠，点的对应点分别为，且点恰好落在上．连接，过作，垂足为G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查胡不归问题，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， 、G、N三点共线， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 二.模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是等边三角形，，D是的中点，E是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短，解题关键是由锐角的正弦定义求出相关线段的长． 先利用正弦求出，再根据垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故选：C． 2．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是的中点， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，，上有一点，，根据图中尺规作图痕迹得到，点在上，点在上，连接、，则的最小值是（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查作角平分线，勾股定理，直角三角形的性质，在上取一点，使，连接，，过作于，由作图痕迹可得平分，即可证明得到，则，当，，共线时，最小，再根据垂线段最小可得最小值为，最后根据勾股定理和直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过作于， 由作图痕迹可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，共线时，最小， ∵， ∴根据垂线段最小可得最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴的最小值是， 故选：D． 4．（2024·福建泉州·二模）如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【详解】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 5．（2023·广东广州·模拟预测）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点． 【详解】解：过作， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵是等边三角形，，， ∴， 故选：D    【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点． 6．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，过B作并截取，过A作于E，过D作于F，证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值为，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作并截取，过A作于E，过D作于F， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：B． （二）填空题（6题） 7．（2023·广东佛山·三模）如图，在正方形中，分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质，设未知数，由勾股定理将用含的式子表示，再配方即可求出最小值． 【详解】 四边形是正方形，， ，， ， 设，则， 由勾股定理得， ， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、配方法等知识点，能够将用含的式子表示，并正确的配方是解决问题的关键． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在线段上．若为的中点，则的周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求得，根据垂线段最短得出的最小值为的长，求出的最小周长即可． 【详解】解：连接，，如图所示：    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，D为边的中点， ∴，， ∵，为定值， ∴当最小时，周长最小， ∴当最小时，最小， ∵，，， ∴ ∴的最小值为的长，即的最小值为12， ∴周长最小值为， 故答案为：17． 9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 10．（2025·四川宜宾·三模）如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，将问题进行转化是解题的关键；设，得出，，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴,， ∴， 即表示的点到和点的距离的和， 如图 ∴当在线段上时，取得最小值，最小值为的长为； 故答案为：． 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在梯形中，，，，对角线平分，点在上，且（），点是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识点，关键是能根据题意画出图形． 作E关于的对称点F正好落在上，连接，交于P，连接，得出此时最小，根据E和F关于对称推出，，在中，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴作E关于的对称点F正好落在上，连接，交于P，连接， 则此时最小， ∵E和F关于对称， ∴，， 在中，，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 12．（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． （三）解答题（2题） 13．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解，的最小值为 【分析】（1）作的角平分线，再过点作的垂线，根据角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，，则，所以，所以的最小值即为的值，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴先作的角平分线，交于点，再过点作的垂线，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴这三家农户所得土地的形状、大小相同； （2）如图所示， 根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小 值即为的值， 在中，，，， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，作垂线，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握尺规作图的方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.10 勾股定理与最短路径问题（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】勾股定理与最短路径 1 【考点一】平面图形中的最短路径 2 【题型1-1】将军饮马基础模型 2 【题型1-2】平面图形内最短路径（综合） 3 【题型 1-3】网格中的最短路径（基础题） 4 【考点二】立体图形表面的最短路径 7 【题型 2-1】长方体表面最短路径 7 【题型 2-2】圆柱侧面最短路径 8 【题型 2-3】圆锥侧面最短路径 9 【考点三】折叠与最短路径结合 10 【题型 3-1】平面折叠与最短路径 10 二.模拟真题 11 （一）单选题（6题） 11 （二）填空题（6题） 13 （三）解答题（2题） 14 一.知识梳理与题型精析 【知识要点】勾股定理与最短路径 最短路径问题的核心依据：两点之间，线段最短；勾股定理的应用关键：将平面、立体图形中的最短路径，转化为直角三角形的斜边，通过勾股定理计算长度。 核心原则：无论平面还是立体图形，最短路径本质是“线段”，需通过平移、展开、折叠等方式，构造直角三角形，再用勾股定理求解。 通用解题步骤： 判类型：判断是平面最短路径、立体表面最短路径，还是折叠与最短路径结合； 做转化：平面同侧→作对称点；立体表面→展开为平面；折叠问题→确定对应点； 构直角：找到最短路径所在的直角三角形，结合图形边长、展开图尺寸明确直角边的长度； 算长度：利用勾股定理计算最短路径长； 验答案：验证路径是否符合图形实际，立体图形需考虑不同展开方式的最短值。 【考点一】平面图形中的最短路径 【题型1-1】将军饮马基础模型 【例题1】如图，以一边为直角边构造，且，，，．      (1)求证：为直角三角形． (2)若点P为上一动点，连接，，求最小值． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空： (1)画出关于直线轴对称的； (2)直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值． 【题型1-2】平面图形内最短路径（综合） 【例题2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，边上的高，．E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（    ）    A．3 B．6 C． D． 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 .    【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．12 B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【题型 1-3】网格中的最短路径（基础题） 【例题2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．    (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找出一点，使得的值最大，该最大值为 （保留作图痕迹并标上字母） (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与，两点构成以为底边的等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【考点二】立体图形表面的最短路径 【题型 2-1】长方体表面最短路径 【例题4】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【变式3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【题型 2-2】圆柱侧面最短路径 【例题5】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 米． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·月考）如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 【题型 2-3】圆锥侧面最短路径 【例题6】23-24八年级下·全国·课后作业）如图，一个圆锥的高，底面半径．的长是多少？ 【变式1】（2023·安徽合肥·三模）已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（　　） A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·月考）在如图所示的圆锥中，，底面半径，则圆锥的高为（    ） A．1 B．1.2 C．1.3 D． 【变式3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点爬行到点的最短路线长为 cm． 【考点三】折叠与最短路径结合 【题型 3-1】平面折叠与最短路径 【例题7】（23-24九年级下·山东淄博·月考）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　）   A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，，在边上，且将沿着折叠，点刚好落在边上的点处，是直线上的一个动点，若，则的周长最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在长方形中，分别是上的点．现将四边形沿EF折叠，点的对应点分别为，且点恰好落在上．连接，过作，垂足为G，则的最小值为 ． 二.模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是等边三角形，，D是的中点，E是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，，上有一点，，根据图中尺规作图痕迹得到，点在上，点在上，连接、，则的最小值是（    ） A．6 B． C．3 D． 4．（2024·福建泉州·二模）如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023·广东广州·模拟预测）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 （二）填空题（6题） 7．（2023·广东佛山·三模）如图，在正方形中，分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．    8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在线段上．若为的中点，则的周长的最小值为 ．    9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 10．（2025·四川宜宾·三模）如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是 ． 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在梯形中，，，，对角线平分，点在上，且（），点是上的动点，则的最小值是 ． 12．（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是 ． （三）解答题（2题） 13．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 14．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $