21.3 特殊的平行四边形 题型专练2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 21.3 特殊的平行四边形 题型专练（参考答案） 【题型1】用矩形性质求角度 【典例】如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 【答案】 130° 【解析】 解：延长HG交CD于M，如图所示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝40°，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FGH＝90°，∴∠FGM＝90°，∴∠CFG＝∠FGM＋∠2＝90°＋40°＝130°. 【强化训练1】如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠BEC＝________. 【答案】 115° 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BE＝CE，∵∠ADF＝25°，∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－25°＝65°，∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCA＝180°－∠CDF2＝180°－65°2＝115°2，∴∠BCE＝∠BCD－∠DCA＝90°－115°2＝65°2，∵BE＝CE，∴∠BEC＝180°－2∠BCE＝180°－65°＝115°， 【强化训练2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数． 【答案】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABD＝60°. 【强化训练3】（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？ 【答案】 解：如图，若∠AOB=50°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=DO=CO， ∴△AOB为等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB+∠OBA=180°-50°， ∴∠OAB=∠OBA=65°， ∴∠DAC=∠ACB=90°-65°=25°． 【题型2】用矩形性质求线段长或面积 【典例】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 【答案】A 【解析】 解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OA＝AC＝2.故选A. 【强化训练1】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，CF⊥BE，垂足为点F，若BF＝EF，AE＝1，则AB边的长为(　　) A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】 解：连接EC， ∵CF⊥BE，垂足为点F，BF＝EF， ∴BC＝EC， ∵E是AD边的中点，AE＝1， ∴AE＝ED＝1， ∴BC＝AD＝2， ∴AB＝DC＝＝. 故选C. 【强化训练2】如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE＝3，AD＝8，则对角线AC的长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠ADC＝90°，∵E是AD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴CD＝2OE＝6，∴AC＝＝＝10；故选D. 【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，已知a＝2b＝6c，其面积是__________．(用含c的代数式表示) 【答案】 10c2 【解析】 解：本题中空白部分的面积＝矩形ABCD的面积－阴影部分的面积．矩形ABCD的面积为a×b＝ab；阴影部分的面积为a×c＋b×c－c×c＝ac＋bc－c2；那么空白部分的面积为ab－ac－bc＋c2；因为a＝2b＝6c，所以ab－ac－bc＋c2＝6c·3c－6c·c－3c·c＋c2＝18c2－6c2－3c2＋c2＝10c2. 【强化训练4】如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB＝6，BC＝8，则四边形OECD的周长为________． 【答案】 18 【解析】 解：∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝10， ∵矩形ABCD的对角线AC的中点为O， ∴OD＝AC＝5，又∵OE⊥BC，∴OE∥AB， ∴CE＝BC＝4，OE＝AB＝3， ∵CD＝AB＝6， ∴四边形OECD的周长为5＋3＋4＋6＝18. 【强化训练5】（教材改编）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长. 【答案】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=BD， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO=AB=4， ∴BD=2BO=8． 【题型3】用矩形性质证明 【典例】如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为　　 ①；②；③是等边三角形；④． A.1个      B.2个      C.3个      D.4个 【答案】C 【解析】 解：，点是的中点，，，，，是等边三角形，故③正确；设，则，由勾股定理得，，为中点，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得，， 四边形是矩形，，，故①正确；，， ，故②错误；，，，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④，故选：C． 【强化训练1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【答案】B 【解析】 解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选B. 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 【答案】B 【解析】 解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE，可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC.又∵DE＝AD，∴△AFD≌△DCE(AAS)，故A正确； B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；C.由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，由矩形ABCD，可得AB＝CD，∴AB＝AF，故C正确； D.由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，由矩形ABCD，可得BC＝AD，又∵BE＝BC－EC，∴BE＝AD－DF，故D正确； 故选B. 【强化训练3】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【答案】B 【解析】 解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选B. 【强化训练4】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 【答案】B 【解析】 解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE，可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC.又∵DE＝AD，∴△AFD≌△DCE(AAS)，故A正确； B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；C.由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，由矩形ABCD，可得AB＝CD，∴AB＝AF，故C正确； D.由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，由矩形ABCD，可得BC＝AD，又∵BE＝BC－EC，∴BE＝AD－DF，故D正确； 故选B. 【强化训练5】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，连接OE，OF.求证：OE＝OF. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△DEO和△BFO中，DE=BF，∠EDO=∠FBO，DO=BO， ∴△DEO≌△BFO(SAS)， ∴OE＝OF. 【强化训练6】已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵点E是AO的中点，点F是OD的中点， ∴OE＝OA，OF＝OD， ∴OE＝OF， 在△OBE和△OCF中， OE=OF，∠BOE=∠COF，OB=OC. ∴△OBE≌△OCF(SAS)， ∴BE＝CF. 【题型4】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝54°，CD是斜边AB上的中线，则∠ACD的度数是(　　) A.18° B.36° C.54° D.72° 【答案】B 【解析】 解：∵∠ACB＝90°，∠B＝54°，∴∠A＝36°，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝36°，故选B. 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴AC＝AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD＝BD∴AC＝AD，∵∠A＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA＝60°. 【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为(　　) A.10 B.6 C.8 D.5 【答案】D 【解析】 解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴BD⊥DC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选D. 【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，BD为高，M为AB中点，且DM＝5，则△ABC的面积为____________． 【答案】 48 【解析】 解：过A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6， ∵BD⊥AC，M为AB中点，且DM＝5， ∴AB＝2DM＝10， ∴AD＝＝8， ∴S△ABC＝BC·AD＝48， 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数． 【答案】 解：∵ED⊥BC，∠E＝35°， ∴∠B＝55°. ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝BD. ∴∠BAD＝∠B＝55°. ∴∠BDA＝70°. 【题型5】添加一个条件成为矩形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】D 【解析】 解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D. 【强化训练1】如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AO＝BO C.∠1＝∠2 D.AC⊥BD 【答案】B 【解析】 解：A．根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； 故选B. 【强化训练2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形. A．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形不一定为矩形，故本选项正确； C．∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D．∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B. 【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形. A．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形不一定为矩形，故本选项正确； C．∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D．∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B. 【强化训练4】如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AO＝BO C.∠1＝∠2 D.AC⊥BD 【答案】B 【解析】 解：A．根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； 故选B. 【强化训练5】如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 A 【解析】 解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；(对角线相等的平行四边形是矩形)，∠ABC＝90°等(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，故答案为任意写出一个正确答案即可，如AC＝BD或∠ABC＝90°. 【强化训练6】如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F、要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________． 【答案】 ∠A＝90° 【解析】 解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形；∴当∠A＝90°时，四边形AFDE是矩形；(有一个角是直角的平行四边形是矩形)故在△ABC中，应添加的条件为∠A＝90°. 【强化训练7】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________． 【答案】 A 【解析】 解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD，因为∠BAD＝∠DCB，所以∠DAC＝∠BCA，所以AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等． 【强化训练8】如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 A 【解析】 解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；(对角线相等的平行四边形是矩形)，∠ABC＝90°等(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，故答案为任意写出一个正确答案即可，如AC＝BD或∠ABC＝90°. 【题型6】证明四边形是矩形 【典例】在数学活动课上，老师让同学判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟定方案，其中正确的是(　　) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否为直角 D.测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等 【答案】D 【解析】 解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形. A．根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； B．根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； C．根据一组对角是否为直角不能得出四边形是矩形，故本选项错误； D．根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；故选D. 【强化训练1】能够判定一个四边形是矩形的条件是(　　) A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 解：A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确； B．对角线互相垂直平分的是菱形，故错误； C．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误； D．对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选A. 【强化训练2】在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中， 可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：__________；______________. 【答案】 ①②⑥；③④⑥ 【解析】 解：①②⑥或③④⑥， 理由：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形， 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF. 求证： (1)证明：△ADE≌△CBF； (2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形． 【答案】 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS)． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF，∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 【题型7】综合利用矩形性质与判定计算或证明 【典例】如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】 解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∵AD＝3，AB＝2，∴四边形ABCD的面积为AD·AB＝2×3＝6，故选C. 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于(　　) A.120° B.135° C.150° D.以上都不对 【答案】C 【解析】 解：过A作AE⊥CD于E，∵AB⊥BC，AB∥DC，∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°，∵CD＝2＋2，∴DE＝2，由勾股定理，得AD＝4＝2AE，∴∠D＝30°，∠DAE＝60°，∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝90°＋60°＝150°，故选C. 【强化训练2】在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为__________． 【答案】 30 【解析】 解：∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．∴矩形ABCD的面积是5×6＝30. 【强化训练3】如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系． 【答案】 证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC.∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠PCH.∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF＝∠CPH.在△PHC和△CFP中，∠CPF=∠PCH，PC=CP，∠PCF=∠CPH，∴△PHC≌△CFP(ASA)． (2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠B＝90°.又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，HG∥BC，四边形ABCD为矩形，∴四边形AEPG和四边形PHCF也是矩形，∴S△ACD＝S△ABC，S△PHC＝S△PCF，S△AEP＝S△APG，∴S△ACD－S△PHC－S△AEP＝S△ABC－S△PCF－S△APG，即S矩形DEPH＝S矩形PGBF. 【强化训练4】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF＝AE，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是平行四边形．(2)解　∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，在Rt△ADE中，∵AE＝3，DE＝4，∴AD＝＝5，∴矩形的面积为20. 【题型8】矩形性质与判定的综合应用 【典例】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　) A.4.8 B.5 C.6 D.7.2 【答案】A 【解析】 解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10， ∴OA＝OD＝5， ∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24， ∴S△AOD＝S△ACD＝12， ∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF＝×5×PE＋×5×PF＝ (PE＋PF)＝12， 解得PE＋PF＝4.8.故选A. 【强化训练1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：连接BF， ∵BC＝6，点E为BC的中点， ∴BE＝3， 又∵AB＝4，∴AE＝＝5，又BF⊥AE， 根据△ABE的面积，×5BH=×3×4， ∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC， ∴∠BFC＝90°， ∴CF＝＝.故选D. 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，即∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.∵M是EF的中点，∴AM＝EF＝AP.因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，由三角形面积公式，得×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，∴AM的最小值是.故选D. 【强化训练3】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　) A.4.8 B.5 C.6 D.7.2 【答案】A 【解析】 解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10， ∴OA＝OD＝5， ∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24， ∴S△AOD＝S△ACD＝12， ∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF＝×5×PE＋×5×PF＝ (PE＋PF)＝12， 解得PE＋PF＝4.8.故选A. 【强化训练4】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A.米      B.米      C.2米    D.米 【答案】A 【解析】 解：如图，作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 【强化训练5】（教材改编）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【答案】 解：能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直． 方法：用一根绳子比较两对角线的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，因为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 【强化训练6】【综合与实践】 项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学“创新”小组，自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量 项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度； 步骤二：如图3，小新同学将绳子末端放置头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，用皮尺测出距离． 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出部分 1米 小新直立位置距旗杆底端的水平距离 8.4米 小新身高 1.8米 请根据表格所给信息，完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据“创新”小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高度． 【答案】 解：（1）由图2可知，旗杆的绳子长为； 由图3可知，旗杆的绳子长为； 绳子垂到地面多出部分米， ， 故答案为：； （2）由题意得， ， 过点作于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得，则，解得， 答：学校旗杆的高度为． 【题型9】用菱形性质求角度 【典例】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(　　) A.55° B.65° C.75° D.85° 【答案】C 【解析】 解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－70°＝110°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝35°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝110°－35°＝75°，∵在△BCF和△DCF中，BC=DC，∠BCF=∠DCF，CF=CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝75°，故选C. 【强化训练1】如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(　　) A.75° B.70° C.60° D.55° 【答案】A 【解析】 解：连接BD，BF， ∵∠BAD＝70°， ∴∠ADC＝110°， 又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， ∴AF＝BF，BF＝DF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝35°， ∴∠CDF＝110°－35°＝75°. 故选A. 【强化训练2】如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，∵AC⊥BD，DO＝OB，∠DAO＝∠BAO＝25°，∴∠ABO＝90°－∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴∠BDH＝90°－∠ABO＝25°，在Rt△DHB中，∵OD＝OB，∴OH＝OD＝OB，∴∠DHO＝∠HDB＝25°，故选B. 【强化训练3】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为____________． 【答案】 30°或60° 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°. 【强化训练4】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6，BO＝3.求AC的长及∠BAD的度数． 【答案】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2OA，AD＝AB＝6，BD＝2BO＝2×3＝6， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°； ∴OA＝＝3， ∴AC＝2OA＝6. 【强化训练5】如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点． (1)求证：△ABE≌△ADE； (2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠CAB＝∠CAD， 在△ABE和△ADE中， AB=AD，∠CAB=∠CAD，AE=AE， ∴△ABE≌△ADE(SAS)； (2)解：∵AB＝AE，∠BAE＝36°， ∴∠AEB＝∠ABE＝＝72°， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠AED＝∠AEB＝72°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAE＝36°， ∴∠CDE＝∠AED－∠DCA＝72°－36°＝36°. 【题型10】用菱形性质求线段长或面积 【典例】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】A 【解析】 解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，又∵BD＝2，∴菱形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×2×2＝2，故选A. 【强化训练1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为(　　) A.1 B.2 C.2－ D.2－2 【答案】C 【解析】 解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴根据勾股定理，得AE=BE＝，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴CB′＝2BE－BC＝2－2，∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2－.故选C. 【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________． 【答案】 6 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∴AB＝CD＝4，∵MN垂直平分AD，∴DN＝AN，∵△CND的周长是10，∴CD＋CN＋DN＝CD＋CN＋AN＝CD＋AC＝10，∴AC＝6， 【强化训练3】如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC，DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A，E，B，D在同一直线上，连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）已知BC＝6，若四边形AFDC是菱形，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵△ACB≌△DFE， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形AFDC是平行四边形. （2）解：连接CF交AD于O， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6， ∴AB=12，AC＝6， ∵四边形AFDC是菱形， ∴CF⊥AD，AD＝2AO， ∴∠AOC＝90°， ∴OC=3，AO＝9， ∴AD＝2AO＝18． 【强化训练4】（教材改编）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长. 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=BC，∠BCD=2∠ACD，∠ABC=∠ADC， ∴∠BCD=60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴∠ADC=∠ABC=120°， ∴∠BAD=∠BCD=60°. （2）如图，∵△BCD为等边三角形，BD=6， ∴BD=BC=DC=AB=6， ∴DO=BD=3， ∴在Rt△COD中，∠COD=90°， 由勾股定理，得 OC=， ∴AC=2CO=6． 【题型11】用菱形性质证明 【典例】如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(∠BAC除外)(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 解：∵在菱形ABCD中，EF∥AB， ∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB，∠DAC＝∠BAC＝∠DAB，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD， ∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝∠BAC，AB∥CD∥EF， ∴∠AGE＝∠CGF＝∠BAC. 故选C. 【强化训练1】下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 【答案】C 【解析】 解：A.对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； B.对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质； C.对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； D.邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．故选C. 【强化训练2】下列性质中，菱形对角线不具有的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线所在直线是对称轴 C.对角线相等 D.对角线互相平分 【答案】C 【解析】 解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，∴对角线所在直线是对称轴．故A，B，D正确，C错误．故选C. 【强化训练3】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是(　　) A.对边平行且相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角互补 【答案】C 【解析】 解：A．平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误； B．平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误； C．菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确； D．平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C. 【强化训练4】已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵点E、F分别为边CD、AD的中点， ∴AD＝2DF，CD＝2DE， ∴DE＝DF， 在△ADE和△CDF中，AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF， ∴△ADE≌△CDF(SAS)． 【强化训练5】如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由． 【答案】 解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，∠EA'D=∠C'EF，A'D=EF，∠A'DE=∠EFC'，∴△A′DE≌△EFC′. 【题型12】添加一个条件成为菱形 【典例】如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(　　) A.AM＝AN B.MN⊥AC C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD＝120° 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DCN，在△ABM和△CDN中，∠D=∠B，AB=CD，∠DCN=∠BAM，∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴AM＝CN，BM＝DN，∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A．∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B．∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C．∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠NAC＝∠ACM，∵AC平分∠MAN，∴∠NAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠MCA，∴AM＝MC，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D．根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选D. 【强化训练1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现在下列四种选法，其中都正确的是(　　) A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或④ 【答案】D 【解析】 解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； ③∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确，故选D. 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠BAC＝∠DAC 【答案】C 【解析】 解：A.根据菱形的定义可得，当AB＝AD时，▱ABCD是菱形；B．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D．∠BAC＝∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC＝∠DAC.故命题正确．故选C. 【强化训练3】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB∥CD 【答案】B 【解析】 解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B. 【强化训练4】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现在下列四种选法，其中都正确的是(　　) A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或④ 【答案】D 【解析】 解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； ③∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确，故选D. 【强化训练5】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，▱ABCD满足________________条件时，能判断四边形CODE是菱形． 【答案】 矩形 【解析】 解：当▱ABCD是矩形时，则BD＝AC，即DO＝CO，理由：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，又∵DO＝CO，∴平行四边形CODE是菱形． 【强化训练6】如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形． 【答案】 B 【解析】 解：添加条件BE＝BF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，在△ABE和△ADE中，AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴ED＝EB，同理：DF＝BF，∵EB＝FB，∴四边形BEDF是菱形． 【强化训练7】如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形． 【答案】 B 【解析】 解：添加条件BE＝BF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，在△ABE和△ADE中，AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴ED＝EB，同理：DF＝BF，∵EB＝FB，∴四边形BEDF是菱形． 【强化训练8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，▱ABCD满足________________条件时，能判断四边形CODE是菱形． 【答案】 矩形 【解析】 解：当▱ABCD是矩形时，则BD＝AC，即DO＝CO，理由：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，又∵DO＝CO，∴平行四边形CODE是菱形． 【题型13】证明四边形是菱形 【典例】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A.AB＝BC B.AC＝BC C.∠B＝60° D.∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】 解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC平行且等于ED，∴四边形ACDE为平行四边形，当AC＝BC时，则DE＝EC，∴平行四边形ACED是菱形．故选B. 【强化训练1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　) A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边 【答案】B 【解析】 解：∵四边形EFGH是菱形， ∴EH＝FG＝EF＝HG＝BD＝AC，故AC＝BD.故选B. 【强化训练2】在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 【答案】 C 【解析】 解：如图，连接DF、DE. 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．故答案是CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一)． 【强化训练3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.得到△ADE，连接BD，CE交于点F. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：四边形ABFE是菱形． 【答案】 证明：(1)∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝AE， 在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． (2)∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°. ∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°， ∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°， ∴∠BAE＝∠BFE， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形． 【强化训练4】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. (1)求∠AOD的度数； (2)求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】 (1)解：∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC， ∵AE∥BF， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， ∴∠BAC＋∠ABD＝ (∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°， ∴∠AOD＝90°； (2)证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA， ∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． 【题型14】综合利用菱形性质与判定计算或证明 【典例】下列说法正确的是(　　) A.对角线垂直的四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等且互相平分 D.菱形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】 解：A．对角线垂直的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误； B．对角线互相平分的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误； C．菱形的对角线相等且互相平分，根据菱形对角线垂直且互相平分，故此选项错误； D．菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确．故选D. 【强化训练1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是(　　) A.24 B.28 C.32 D.36 【答案】A 【解析】 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA. ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF为菱形． ∵AF＝6， ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24.故选A. 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF.若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为__________． 【答案】 26 【解析】 解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG＝GF＝DF＝BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得AC＝13，∵BD为△ACB的中线，∴BD＝AC＝，∴BG＝GF＝DF＝BD＝，故四边形BDFG的周长＝4GF＝26. 【强化训练3】如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长． 【答案】 (1)证明：∵∠ADE＝∠BAD， ∴AB∥DE， ∵AE⊥AC，BD⊥AC， ∴AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； (2)解：∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠BDA， ∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB＝5， 设BF＝x，则DF＝5－x， ∴AD2－DF2＝AB2－BF2， ∴62－(5－x)2＝52－x2，∴x＝， ∴AF＝＝， ∴AC＝2AF＝. 【强化训练4】如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△ABF和△CDE中，∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∠ABF＝∠CDE， ∴△ABF≌△CDE(ASA)， ∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED， ∴BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)解：连接BD交AC于G，如图所示： ∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BE＝BF＝6，EG＝FG，∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6， ∴AF＝＝10， ∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF， ∴BG＝＝， ∴EG＝＝， ∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝. 【题型15】菱形性质与判定的综合应用 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A.16 B.15 C.14 D.13 【答案】A 【解析】 解：连接EF，AE与BF交于点O，如图， ∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB， 同理：AF＝BE，又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝8， ∴AE＝2OA＝16.故选A. 【强化训练1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】 解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3， ∴假设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO＝∠ECO， ∵∠ECO＝∠ECB， ∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE， ∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得x＝1，∴CE＝2， 利用勾股定理得出：BC2＋BE2＝EC2， BC＝＝＝， 又∵AE＝AB－BE＝3－1＝2， 则菱形的面积是AE·BC＝2.故选C. 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(　　) A.四边形CEDF为菱形 B.DE＝DA C.DF⊥CB D.CD＝BD 【答案】A 【解析】 解：如图所示， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠FCG＝∠ECG，∵EF是线段CD的垂直平分线， ∴∠CGF＝∠CGE＝90°，CF＝DF，CE＝DE， 在△CGF和△CGE中，∠FCG=∠ECG，CG=CG，∠CGF=∠CGE， ∴△CGF≌△CGE(ASA)，∴CF＝CE， ∴CF＝CE＝DF＝DE， ∴四边形CEDF是菱形， ∴A正确，B、C、D不正确；故选A. 【强化训练3】如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________ cm. 【答案】 4 【解析】 解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2，∴AB·OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4 cm. 【强化训练4】如图所示，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是. (1)连接，当运动时间为2秒时，求线段的长． (2)连接、，在运动过程中，当运动时间为多少秒时, . 【答案】 （1）解：设点P、Q运动的时间为， 在矩形中，，， ∴， 当时，则． 过P作于H，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 答：当运动时间为2秒时，线段的长为； （2）设t秒后，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∴． ∵，， ∴， 解得：． ∴当时，． 【强化训练5】如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 当点Q的运动时，， 则， 当四边形是矩形时，则， 即， 解得：秒； （2）当点Q的运动时，， 当时， 即，解得：秒， 此时，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形， 故存在秒，使得四边形为菱形． 【题型16】用正方形性质求角度 【典例】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则的度数是　　 A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：如图， 在和中，， ， ，， ， 又，． 故选：D． 【强化训练1】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是(　　) A.45° B.22.5° C.67.5° D.75° 【答案】B 【解析】 解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BCA＝45°，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°，∴∠ACP＝∠BCP－∠BCA＝67.5°－45°＝22.5°.故选B. 【强化训练2】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接BE交AC于点F，则∠BFC＝　    　°． 【答案】 60 【解析】 解：由正方形ABCD，等边△ADE， 得AB＝AE，∠BAC＝45°， 得∠BAE＝90°+60°＝150°， 得∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°， 得∠BFC＝15°+45°＝60°． 【强化训练3】如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE＝BF. (1)求证：DE＝AF； (2)求∠AOE的度数． 【答案】 (1)证明：在△ABE和△BCF中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC＝CD， 在△ABE和△BCF中，AB=CB，AE=BF， ∴△ABE≌△BCF(HL)， ∴BE＝CF，∵BC＝CD，∴EC＝DF， 在△ADF和△DCE中，AD=BC，∠ADF=∠BCF，DF=CF， ∴△ADF≌△DCE， ∴DE＝AF. (2)∵∠AOE是平角， ∴∠AOE＝180°. 【强化训练4】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED. (1)试说明△BEC≌△DEC； (2)延长BE，交AD于F，∠BED＝120°时，求∠EFD的度数． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°， 在△ECB和△ECD中，CB=CD，∠ECB=∠ECD，CE=CE， ∴△BEC≌△DEC. (2)∵△BEC≌△DEC， ∴∠CEB＝∠CED， ∵∠BED＝120°， ∴∠CEB＝60°， ∴∠EBC＝180°－∠ECB－∠BEC＝75°， ∵DF∥BC， ∴∠DFE＋∠EBC＝180°， ∴∠DFE＝105°. 【题型17】用正方形性质求线段长或面积 【典例】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(　　) A. B.3 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠EAF＝45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝3，∵△EFC的周长为12，∴FC＝12－3－EC＝9－EC，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋FC2，∴EC2＝9＋(9－EC)2，解得EC＝5. 【强化训练1】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为(　　) A.2 B.2 C.＋1 D.2＋1 【答案】B 【解析】 解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE＝BC＝，CF＝CD＝，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CE＝，∴正方形EFGH的周长＝4EF＝4×＝2；故选B. 【强化训练2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】 解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠EAF′＝45°，在△FAE和△EAF′中，AF=AF'，∠FAE=∠EAF'，AE=AE，∴△FAE≌△EAF′(SAS)，∴EF＝EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2.故选A. 【强化训练3】已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝____________. 【答案】 2n＋1 【解析】 解：∵∠MON＝45°，∴△OA1B1是等腰直角三角形，∵OA1＝1，∴正方形A1B1C1A2的边长为1，∵B1C1∥OA2，∴∠B2B1C1＝∠MON＝45°，∴△B1C1B2是等腰直角三角形，∴正方形A2B2C2A3的边长为1＋1＝2，同理，第3个正方形A3B3C3A4的边长为2＋2＝22，其周长为4×22＝24，第4个正方形A4B4C4A5的边长为4＋4＝23，其周长为4×23＝25，第5个正方形A5B5C5A6的边长为8＋8＝24，其周长为4×24＝26，则第n个正方形的周长为2n＋1. 【强化训练4】如图，在正方形ABCD中，点E(与点B、C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF. (1)求证：△ABE≌△EGF； (2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE. 【答案】 (1)证明：∵EP⊥AE， ∴∠AEB＋∠GEF＝90°， 又∵∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴∠GEF＝∠BAE， 又∵FG⊥BC， ∴∠ABE＝∠EGF＝90°， 在△ABE与△EGF中， ∠ABE=∠EGF，∠BAE=∠GEF，AE=EF， ∴△ABE≌△EGF(AAS)； (2)解：∵△ABE≌△EGF，AB＝2， ∴AB＝EG＝2，S△ABE＝S△EGF， ∵S△ABE＝2S△ECF， ∴S△EGF＝2S△ECF， ∴EC＝CG＝1， ∵四边形ABCD是正方形， ∵BC＝AB＝2， ∴BE＝2－1＝1. 【题型18】用正方形性质证明 【典例】如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE＝CF＝AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ＝EF，则这样的直线PQ(不同于EF)有________条． 【答案】 3 【解析】 解：这样的直线PQ(不同于EF)有3条，①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，则PQ＝EF；②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ＝EF；③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ＝EF. 【强化训练1】如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP，其中正确的结论是____________(请填序号) 【答案】 ①②④ 【解析】 解：如图，∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，∴PA＝PC，∠C＝90°，∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∴PA＝EF，故②正确，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，∵∠PFC＝∠C＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝45°，∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，在△PAB和△PCB中，AB=CB，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP＝∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP.故④正确，∵点P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误， 【强化训练2】如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)判断△CEF的形状，并说明理由． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°， ∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°， ∴BE＝BF， ∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF， ∴∠ABF＝∠CBE. 在△ABF和△CBE中，有AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE， ∴△ABF≌△CBE(SAS)． (2)解：△CEF是直角三角形．理由如下： ∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°， ∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°， 又∵△ABF≌△CBE， ∴∠CEB＝∠AFB＝135°， ∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°， ∴△CEF是直角三角形． 【强化训练3】（教材改编）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F. （1）求证：OE=OF; （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB延长线于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE=OF”成立吗？请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA． 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO． 在△BOE和△AOF中， ， ∴△BOE≌△AOF（AAS）, ∴OE=OF． （2）OE=OF成立． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA． 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF=90°， ∠E+∠OBE=90°， 又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E． 在△BOE和△AOF中， ∴△BOE≌△AOF(AAS), ∴OE=OF． 【题型19】正方形与折叠问题 【典例】如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A.2    B.      C.    D.1 【答案】A 【解析】 解：设，则，， ∴中，， 又∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【强化训练1】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ） A.3    B.4    C.4.5    D.5 【答案】B 【解析】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵沿对折至， ∴，， ∴，， 又是公共边， ∴， ∵G刚好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理列方程：， 解得：． 所以的长是4， 故选：B． 【强化训练2】如图所示，将一张长方形纸片分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在（在C的右侧），若，则的度数为（　　） A.76°    B.90°    C.73°    D.88° 【答案】A 【解析】 解：根据折叠的性质有：，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【强化训练3】如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长等于（ ）． A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：四边形为矩形，，， ，，，， 由折叠可知，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 【强化训练4】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ） A.3    B.4    C.4.5    D.5 【答案】B 【解析】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵沿对折至， ∴，， ∴，， 又是公共边， ∴， ∵G刚好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理列方程：， 解得：． 所以的长是4， 故选：B． 【题型20】对正方形性质的理解 【典例】正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【答案】B 【解析】 解：菱形的性质有①菱形的对边互相平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，邻角互补，③菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质(①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等)，A．菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误； B．菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确； C．菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误； D．菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；故选B. 【强化训练1】正方形具有而矩形不具有的性质是(　　) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 解：因为正方形的对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线好像垂直．故选D. 【强化训练2】矩形和正方形都具有的性质是（ ） A.对角线互相平分且相等    B.对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直平分且相等    D.对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 解：∵矩形的对角线互相平分且相等，正方形的对角线互相平分且相等， ∴矩形和正方形都具有的性质是对角线互相平分且相等， 故选：A． 【强化训练3】学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ） A.平行四边形，正方形    B.正方形，菱形    C.正方形，矩形    D.矩形，菱形 【答案】B 【解析】 解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形， ∴是正方形，是菱形， 故选：B 【强化训练4】下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，对角线一定相等的是(　　) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 【答案】B 【解析】 解：根据矩形的性质，矩形的对角线把矩形分为两个直角三角形，根据勾股定理，对角线相等，正方形属于特殊的矩形，对角线相等，故选B. 【题型21】添加一个条件成为正方形 【典例】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：__________，使得▱ABCD为正方形． 【答案】 ∠BAD＝90° 【解析】 解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形． 【强化训练1】四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是____________． 【答案】 A 【解析】 解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵有一组邻边相等的矩形是正方形，∴可填AB＝BC. 【强化训练2】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 【答案】 解：(1)∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB， ∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得：OC＝OF，∴OE＝OF； (2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形； 理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF(已证)， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG， ∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG， ∴∠ACE＋∠ACF＝ (∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形； (3)当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形； 理由：由(2)得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB＝45°， ∴∠OEC＝∠ECB＝45°， ∴∠EOC＝90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． (3)在(2)问下当△ABC再满足一个什么条件，四边形ADCF为正方形． 【答案】 (1)证明：连接DF， ∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠DEB，AE=DE， ∴△AFE≌△DBE(AAS)， ∴EF＝BE， ∵AE＝DE， ∴四边形AFDB是平行四边形， ∴BD＝AF， ∵AD为中线，∴DC＝BD，∴AF＝DC； (2)解：四边形ADCF的形状是菱形， 理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°， ∵AD为中线，∴AD＝BC＝DC， ∴平行四边形ADCF是菱形； (3)解：当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形， 理由如下：∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD为中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∵四边形ADCF是菱形， ∴四边形ADCF是正方形． 【题型22】证明四边形是正方形 【典例】四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是(　　) A.AB＝BC＝CD＝DA B.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C.AC＝BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D.AB＝BC，CD＝DA 【答案】C 【解析】 解：A．错误，只能判定为菱形； B．错误，只能判定为菱形； C．正确，AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC＝BD判定为正方形； D．错误，可以判定为筝形，但筝形不是正方形；故选C. 【强化训练1】下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是(　　) A.对角线相等且互相垂直 B.一组邻边相等且有一个角是直角 C.对角线相等且一组邻边相等 D.对角线互相平分且有一个角是直角 【答案】D 【解析】 解：A.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项错误； B．一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故本选项错误； C．对角线相等且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，故本选项错误； D．对角线互相平分且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，故本选项正确；故选D. 【强化训练2】如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　　) A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA＝BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABFE为正方形．故用的判定定理是邻边相等的矩形是正方形．故选A. 【强化训练3】如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝__________时，四边形AECF是正方形． 【答案】 90° 【解析】 解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF＝90°.∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠ECH，∵∠ECH＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO，∴OE＝OC.同理，OC＝OF，∴OE＝OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA＝OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB＝90°，则CE＝CF，∴四边形AECF为正方形． 【强化训练4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF. (1)求证：AD＝AF； (2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】 (1)证明：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠EDB， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEB中， ∠EAF=∠EDB，AE=DE，∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB(ASA)， ∴AF＝BD， ∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线， ∴AD＝BD＝DC＝BC， ∴AD＝AF； (2)解：四边形ADCF是正方形． ∵AF＝BD＝DC，AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC， ∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形． 【题型23】综合利用正方形性质与判定计算或证明 【典例】如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】 解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠FCD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4.故选C. 【强化训练1】△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为(　　) A.2cm,2cm,2cm B.3cm,3cm,3cm C.4cm,4cm,4cm D.2cm,3cm,5cm 【答案】A 【解析】 解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF，又∵∠C＝90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点，∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB、AC、BC的距离＝CD，∴AB＝8－CD＋6－CD＝－2CD＋14，又根据勾股定理可得：AB＝10，即－2CD＋14＝10，∴CD＝2，即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm.故选A. 【强化训练2】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为__________． 【答案】 【解析】 解：作∠DCH＝∠ACB，并过D作DH⊥CH于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示：设∠DCH＝∠ACB＝x，∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝x＋45°，∴∠ACD＝180°－2(x＋45°)＝90°－2x，∴∠BCH＝90°，在△ABC和△DHC中，∠ACB=∠DCH，∠B=∠DHC=90°，AC=DC，∴△ABC≌△DHC(AAS)，∴BC＝HC，AB＝DH，∴四边形BCHK是正方形，∴∠K＝90°，BK＝HK，∴AK＝DK＝BC－AB＝，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD＝＝. 【强化训练3】现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是____________(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是____________ cm. 【答案】 正方形；82 【解析】 解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，∴△ABC为直角边长为8 cm的等腰直角三角形，∴AB＝2AC＝82，∴阴影正方形的边长＝AB＝82 cm. 【强化训练4】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE. (1)求证：AE＝CE； (2)若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°， 在△ABE和△CBE中，AB=CB，∠ABE=∠CBE，BE=BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE. (2)解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形； 理由如下：由折叠的性质，得∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE， ∵∠BAD＝90°，E是BD的中点， ∴AE＝BD＝BE＝DE，∵AE＝CE， ∴AE＝BE＝CE＝DE＝AF＝BF， ∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点， ∴AE⊥BD，∴∠AEB＝90°， ∴四边形AFBE是正方形． 【强化训练5】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. (1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明； (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 【答案】 解：(1)PB＝PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ； (2)PB＝PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ. 【题型24】综合利用正方形性质与判定求面积 【典例】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【答案】A 【解析】 解：如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7.故选A. 【强化训练1】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)(　　) A.40 B.25 C.26 D.36 【答案】B 【解析】 解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab＋a(b－a)＝24，①由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得(b－a)2＝a2－3，②将①②联立解方程组可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25.故选B. 【强化训练2】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【答案】A 【解析】 解：如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7.故选A. 【强化训练3】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)(　　) A.40 B.25 C.26 D.36 【答案】B 【解析】 解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab＋a(b－a)＝24，①由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得(b－a)2＝a2－3，②将①②联立解方程组可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25.故选B. 【题型25】中点四边形 【典例】如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A.四边形一定是平行四边形 B.当时，四边形为矩形 C.当时，四边形为菱形 D.当时，四边形为矩形． 【答案】B 【解析】 解：连接， 分别为四边形各边的中点， ， 且， ， 且， 故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时， ， ， 故四边形为矩形，D正确； 故选：B． 【强化训练1】一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（ ） A.矩形    B.菱形    C.正方形    D.对角线相等 【答案】D 【解析】 解：如图， 在四边形ABCD中，点E、F、G、H是四边形四边上的中点，连接， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴原四边形的对角线相等． 故选：D． 【强化训练2】如图，在方格纸中，顺次连接四个格点A、B、C、D得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是（ ） A.平行四边形    B.菱形 C.正方形    D.矩形 【答案】C 【解析】 解：如图，连接四个格点A、B、C、D得到四边形， 设的中点分别为E，F，G，H， 则，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故选C． 【强化训练3】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为          ． 【答案】 【解析】 解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【强化训练4】若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件      ． 【答案】 【解析】 解：，，，分别是边，，，的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 一组邻边相等的四边形是菱形， 若， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【强化训练5】如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点． （1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件） 【答案】 解：（1）四边形EFGH是菱形， 理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点， ∴GH∥AD，GH=AD， 同理，EF∥AD，EF=AD， ∴GH∥EF，GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点， ∴EH=BC， ∵AD=BC， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形； （2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形， 理由如下：∵EH∥BC， ∴∠AEH=∠ABC， 同理，∠BEF=∠BAD， ∴∠AEH+∠BEF=90°， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为正方形， 故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一． 【强化训练6】如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断并证明四边形EFGH的形状． （2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积． 【答案】 解：（1）四边形EFGH为矩形． 理由如下：连接BD，如图， ∵△ABC≌△ADC， ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF＝AC，EF∥AC，HG＝AC，HG∥AC，EH∥BD，EH＝BD， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH为矩形． （2）在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝3， ∴AB＝BC＝， ∵∠DAC＝∠BAC＝30°，AB＝AD， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝， ∴EH＝BD＝， ∵EF＝AC＝3， ∴四边形EFGH的面积＝EH•EF＝×3＝． 【题型26】动点问题 【典例】如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ） A.2    B.3    C.2或      D.2或 【答案】D 【解析】 解：设运动时间为， 由题意得：，，则， ①若，则，， ，， ，； ②若，则，， ，， 解得：， ， 解得：a＝， 综上，a的值为2或． 故选：D． 【强化训练1】如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：，，，， ，，即， 经过秒钟时，与在处相遇， 接下来两个点走的路程为的倍数时，两点相遇， 第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在 第五次相遇在， 第六次相遇在点 每五次相遇点重合一次， ， 即第次相遇点的坐标与第一次相遇点的坐标重合，即． 故选：B． 【强化训练2】在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为              时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】 s或4s 【解析】 解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=4-2t， 解得：t=； ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=2t-4， 解得：t=4， 综上所述，t=s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：s或4s． 【强化训练3】如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为        秒时，直线在四边形内部截出一个平行四边形． 【答案】 5或6 【解析】 解：设点P、Q运动的时间为t秒根据题意可得：CQ = t ，AP =2t， 则BQ=BC－CQ =15－t，PD= AD－AP =18－2t，则有以下情况： ①当BQ = AP时，四边形APQB是平行四边形，则15－t =2t，解得 t =5； ②当CQ = PD时，四边形CQPD是平行四边形，则t =18-2t，解t =6； 综上可得，答案为5或6秒． 【强化训练4】如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 解：（1）四边形是正方形， ， 由题意得：，，，， 故答案为：；；；； （2），， ， ， 则， 即：， 解得：， 他们出发秒后； （3）不存在，理由如下： 由题意得：， 解得： （不符合，舍去）； 不存在这样的时刻，使得． 【题型27】其他问题 【典例】四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A.1    B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图：延长交AD于E ∵菱形 ∴ ∵ ∴ ∴AE=AD 又∵正方形ABCD ∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半 ∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2． ∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是． 故答案为B． 【强化训练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 【答案】C 【解析】 解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形， ∴∠ADC=∠F=90°， ∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN， ∴∠1=∠2， 又∵AF＝AD， ∴， ∴CD=NF=2，AC=AN， 又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ANMC是正方形， ∵NP＝HP，PG∥HE， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x， ∵在中，, 在中，， ∴在中，+=，即：， ∴， ∴= ==4+6=10． 故选C． 【强化训练2】四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形的内角，变为菱形，若，则阴影部分的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：设BC与C′D′交点为E， ∵在正方形ABCD和菱形，ABC′D′中， ∴C′D′= C′B=AB=2， ∴BE⊥C′D′， ∵∠C′＝∠D′AB＝45°， ∴C′E＝BE， 设C′E=BC=x， 则在Rt△C′EB中 ，解得： ， ∴C′E=BC ∴D′E＝C′D′-C′E=2−， ∴梯形D′EBA面积为： S′＝（D′E＋AB）×BE×＝2 −1， 阴影面积为：S＝ −S′＝2×2−（2 −1）＝5−2． 故选：D． 【强化训练3】如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ） A.S1＞S2    B.S1=S2 C.S1＜S2    D.无法确定 【答案】B 【解析】 ∵由图可得，正方形的面积， 又∵， 即， 故选：． 【强化训练4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 【答案】C 【解析】 解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形， ∴∠ADC=∠F=90°， ∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN， ∴∠1=∠2， 又∵AF＝AD， ∴， ∴CD=NF=2，AC=AN， 又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ANMC是正方形， ∵NP＝HP，PG∥HE， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x， ∵在中，, 在中，， ∴在中，+=，即：， ∴， ∴= ==4+6=10． 故选C． 【强化训练5】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．可以用如下方法画出黄金矩形： ①作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF： ②以点F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G； ③作，交AD的延长线于点H． （1）则图中的黄金矩形是           ； （2）若，则正方形ABCD的面积为          ． 【答案】 矩形ABGH和矩形DCGH； 【解析】 解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1， 在直角三角形DCF中， ， ∴FG= ， ∴CG= ， ∴ ， ∴矩形DCGH为黄金矩形， 同理：∵BG=BF+FG= ，AB=2， ∴， ∴矩形ABGH为黄金矩形， 故答案为：矩形ABGH和矩形DCGH． （2）∵，， ∴ ， ∴正方形ABCD的面积为：， 故答案为：． 【强化训练6】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 【答案】 【解析】 解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【强化训练7】2022年是中国农历壬寅年，小阳同学利用一副七巧板拼出如图所示的“老虎”．已知七巧板拼成的正方形边长是4，则点A到直线的距离为            ． 【答案】 【解析】 解：∵大正方形的边长为4， ∴大等腰直角三角形斜边的边长为4，小正方形的对角线长为2，右下角等腰直角三角形的直角边为2， 连接AF，过D作DM⊥AF于点M，过点G作GH⊥BC于点H，如图所示： ∴， ∴，，， 点A到直线的距离为：， 故答案为：． 【强化训练8】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 【答案】 【解析】 解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 21.3 特殊的平行四边形 题型专练 【题型1】用矩形性质求角度 【典例】如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 【强化训练1】如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠BEC＝________. 【强化训练2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数． 【强化训练3】（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？ 【题型2】用矩形性质求线段长或面积 【典例】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 【强化训练1】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，CF⊥BE，垂足为点F，若BF＝EF，AE＝1，则AB边的长为(　　) A.1 B.2 C. D. 【强化训练2】如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE＝3，AD＝8，则对角线AC的长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，已知a＝2b＝6c，其面积是__________．(用含c的代数式表示) 【强化训练4】如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB＝6，BC＝8，则四边形OECD的周长为________． 【强化训练5】（教材改编）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长. 【题型3】用矩形性质证明 【典例】如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为　　 ①；②；③是等边三角形；④． A.1个      B.2个      C.3个      D.4个 【强化训练1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 【强化训练3】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【强化训练4】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 【强化训练5】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，连接OE，OF.求证：OE＝OF. 【强化训练6】已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF. 【题型4】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝54°，CD是斜边AB上的中线，则∠ACD的度数是(　　) A.18° B.36° C.54° D.72° 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为(　　) A.10 B.6 C.8 D.5 【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，BD为高，M为AB中点，且DM＝5，则△ABC的面积为____________． 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数． 【题型5】添加一个条件成为矩形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 【强化训练1】如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AO＝BO C.∠1＝∠2 D.AC⊥BD 【强化训练2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【强化训练4】如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AO＝BO C.∠1＝∠2 D.AC⊥BD 【强化训练5】如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【强化训练6】如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F、要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________． 【强化训练7】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________． 【强化训练8】如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【题型6】证明四边形是矩形 【典例】在数学活动课上，老师让同学判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟定方案，其中正确的是(　　) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否为直角 D.测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等 【强化训练1】能够判定一个四边形是矩形的条件是(　　) A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直 【强化训练2】在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中， 可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：__________；______________. 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF. 求证： (1)证明：△ADE≌△CBF； (2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形． 【题型7】综合利用矩形性质与判定计算或证明 【典例】如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于(　　) A.120° B.135° C.150° D.以上都不对 【强化训练2】在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为__________． 【强化训练3】如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系． 【强化训练4】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 【题型8】矩形性质与判定的综合应用 【典例】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　) A.4.8 B.5 C.6 D.7.2 【强化训练1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为(　　) A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(　　) A. B. C. D. 【强化训练3】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　) A.4.8 B.5 C.6 D.7.2 【强化训练4】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A.米      B.米      C.2米    D.米 【强化训练5】（教材改编）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【强化训练6】【综合与实践】 项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学“创新”小组，自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量 项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度； 步骤二：如图3，小新同学将绳子末端放置头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，用皮尺测出距离． 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出部分 1米 小新直立位置距旗杆底端的水平距离 8.4米 小新身高 1.8米 请根据表格所给信息，完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据“创新”小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高度． 【题型9】用菱形性质求角度 【典例】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(　　) A.55° B.65° C.75° D.85° 【强化训练1】如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(　　) A.75° B.70° C.60° D.55° 【强化训练2】如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 【强化训练3】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为____________． 【强化训练4】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6，BO＝3.求AC的长及∠BAD的度数． 【强化训练5】如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点． (1)求证：△ABE≌△ADE； (2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数． 【题型10】用菱形性质求线段长或面积 【典例】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【强化训练1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为(　　) A.1 B.2 C.2－ D.2－2 【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________． 【强化训练3】如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC，DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A，E，B，D在同一直线上，连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）已知BC＝6，若四边形AFDC是菱形，求AD的长． 【强化训练4】（教材改编）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长. 【题型11】用菱形性质证明 【典例】如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(∠BAC除外)(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【强化训练1】下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 【强化训练2】下列性质中，菱形对角线不具有的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线所在直线是对称轴 C.对角线相等 D.对角线互相平分 【强化训练3】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是(　　) A.对边平行且相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角互补 【强化训练4】已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF. 【强化训练5】如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由． 【题型12】添加一个条件成为菱形 【典例】如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(　　) A.AM＝AN B.MN⊥AC C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD＝120° 【强化训练1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现在下列四种选法，其中都正确的是(　　) A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或④ 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠BAC＝∠DAC 【强化训练3】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB∥CD 【强化训练4】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现在下列四种选法，其中都正确的是(　　) A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或④ 【强化训练5】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，▱ABCD满足________________条件时，能判断四边形CODE是菱形． 【强化训练6】如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形． 【强化训练7】如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形． 【强化训练8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，▱ABCD满足________________条件时，能判断四边形CODE是菱形． 【题型13】证明四边形是菱形 【典例】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A.AB＝BC B.AC＝BC C.∠B＝60° D.∠ACB＝60° 【强化训练1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　) A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边 【强化训练2】在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 【强化训练3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.得到△ADE，连接BD，CE交于点F. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：四边形ABFE是菱形． 【强化训练4】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. (1)求∠AOD的度数； (2)求证：四边形ABCD是菱形． 【题型14】综合利用菱形性质与判定计算或证明 【典例】下列说法正确的是(　　) A.对角线垂直的四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等且互相平分 D.菱形的对角线互相垂直且平分 【强化训练1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是(　　) A.24 B.28 C.32 D.36 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF.若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为__________． 【强化训练3】如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长． 【强化训练4】如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长． 【题型15】菱形性质与判定的综合应用 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A.16 B.15 C.14 D.13 【强化训练1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(　　) A.四边形CEDF为菱形 B.DE＝DA C.DF⊥CB D.CD＝BD 【强化训练3】如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________ cm. 【强化训练4】如图所示，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是. (1)连接，当运动时间为2秒时，求线段的长． (2)连接、，在运动过程中，当运动时间为多少秒时, . 【强化训练5】如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型16】用正方形性质求角度 【典例】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则的度数是　　 A.      B.      C.      D. 【强化训练1】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是(　　) A.45° B.22.5° C.67.5° D.75° 【强化训练2】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接BE交AC于点F，则∠BFC＝　    　°． 【强化训练3】如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE＝BF. (1)求证：DE＝AF； (2)求∠AOE的度数． 【强化训练4】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED. (1)试说明△BEC≌△DEC； (2)延长BE，交AD于F，∠BED＝120°时，求∠EFD的度数． 【题型17】用正方形性质求线段长或面积 【典例】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(　　) A. B.3 C.5 D.6 【强化训练1】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为(　　) A.2 B.2 C.＋1 D.2＋1 【强化训练2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【强化训练3】已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝____________. 【强化训练4】如图，在正方形ABCD中，点E(与点B、C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF. (1)求证：△ABE≌△EGF； (2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE. 【题型18】用正方形性质证明 【典例】如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE＝CF＝AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ＝EF，则这样的直线PQ(不同于EF)有________条． 【强化训练1】如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP，其中正确的结论是____________(请填序号) 【强化训练2】如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)判断△CEF的形状，并说明理由． 【强化训练3】（教材改编）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F. （1）求证：OE=OF; （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB延长线于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE=OF”成立吗？请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【题型19】正方形与折叠问题 【典例】如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A.2    B.      C.    D.1 【强化训练1】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ） A.3    B.4    C.4.5    D.5 【强化训练2】如图所示，将一张长方形纸片分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在（在C的右侧），若，则的度数为（　　） A.76°    B.90°    C.73°    D.88° 【强化训练3】如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长等于（ ）． A.      B.      C.      D. 【强化训练4】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ） A.3    B.4    C.4.5    D.5 【题型20】对正方形性质的理解 【典例】正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【强化训练1】正方形具有而矩形不具有的性质是(　　) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直 【强化训练2】矩形和正方形都具有的性质是（ ） A.对角线互相平分且相等    B.对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直平分且相等    D.对角线平分一组对角 【强化训练3】学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ） A.平行四边形，正方形    B.正方形，菱形    C.正方形，矩形    D.矩形，菱形 【强化训练4】下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，对角线一定相等的是(　　) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 【题型21】添加一个条件成为正方形 【典例】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：__________，使得▱ABCD为正方形． 【强化训练1】四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是____________． 【强化训练2】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． (3)在(2)问下当△ABC再满足一个什么条件，四边形ADCF为正方形． 【题型22】证明四边形是正方形 【典例】四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是(　　) A.AB＝BC＝CD＝DA B.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C.AC＝BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D.AB＝BC，CD＝DA 【强化训练1】下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是(　　) A.对角线相等且互相垂直 B.一组邻边相等且有一个角是直角 C.对角线相等且一组邻边相等 D.对角线互相平分且有一个角是直角 【强化训练2】如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　　) A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 【强化训练3】如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝__________时，四边形AECF是正方形． 【强化训练4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF. (1)求证：AD＝AF； (2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【题型23】综合利用正方形性质与判定计算或证明 【典例】如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 【强化训练1】△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为(　　) A.2cm,2cm,2cm B.3cm,3cm,3cm C.4cm,4cm,4cm D.2cm,3cm,5cm 【强化训练2】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为__________． 【强化训练3】现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是____________(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是____________ cm. 【强化训练4】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE. (1)求证：AE＝CE； (2)若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论． 【强化训练5】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. (1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明； (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 【题型24】综合利用正方形性质与判定求面积 【典例】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【强化训练1】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)(　　) A.40 B.25 C.26 D.36 【强化训练2】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【强化训练3】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)(　　) A.40 B.25 C.26 D.36 【题型25】中点四边形 【典例】如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A.四边形一定是平行四边形 B.当时，四边形为矩形 C.当时，四边形为菱形 D.当时，四边形为矩形． 【强化训练1】一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（ ） A.矩形    B.菱形    C.正方形    D.对角线相等 【强化训练2】如图，在方格纸中，顺次连接四个格点A、B、C、D得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是（ ） A.平行四边形    B.菱形 C.正方形    D.矩形 【强化训练3】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为          ． 【强化训练4】若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件      ． 【强化训练5】如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点． （1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件） 【强化训练6】如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断并证明四边形EFGH的形状． （2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积． 【题型26】动点问题 【典例】如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ） A.2    B.3    C.2或      D.2或 【强化训练1】如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（ ） A.      B.      C.      D. 【强化训练2】在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为              时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【强化训练3】如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为        秒时，直线在四边形内部截出一个平行四边形． 【强化训练4】如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 【题型27】其他问题 【典例】四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A.1    B.      C.      D. 【强化训练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 【强化训练2】四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形的内角，变为菱形，若，则阴影部分的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 【强化训练3】如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ） A.S1＞S2    B.S1=S2 C.S1＜S2    D.无法确定 【强化训练4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 【强化训练5】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．可以用如下方法画出黄金矩形： ①作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF： ②以点F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G； ③作，交AD的延长线于点H． （1）则图中的黄金矩形是           ； （2）若，则正方形ABCD的面积为          ． 【强化训练6】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 【强化训练7】2022年是中国农历壬寅年，小阳同学利用一副七巧板拼出如图所示的“老虎”．已知七巧板拼成的正方形边长是4，则点A到直线的距离为            ． 【强化训练8】如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 学科网（北京）股份有限公司 $