8.2正方形的性质和判定同步作业 2025—2026学年苏科新版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形 第10课时 正方形的性质与判定1答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 声 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:54:59；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【基础训练】 1．（2025秋•莱芜区期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 、添加，，能判定是菱形，但不能判定是正方形，故符合题意； 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 故选：． 2．（2025秋•桥西区期末）如图，在△中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则△的面积为（　　） A． B． C．24 D．36 【解答】解：，，△是直角三角形，， 是△的斜边的中线，， 在△中，，由勾股定理得：， ．故选：． 3．（2025秋•新城区期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在△中，， 是的中点，． 故选：． 4．（2025秋•杜尔伯特县期末）如图，在正方形的外侧，作等边△，连接、，相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形， ，． 又， △△． ． △是等边三角形， ，． 又， ，且， ． ． ． 故选：． 5．（2024秋•高新区期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点，，则的度数为 　22.5　 ． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：22.5． 6．（2025秋•宝山区校级期中）如图，正方形与正方形的边长分别为，，若△的面积为4，阴影部分的面积为38，则　10　 ． 【解答】解：正方形与正方形的边长分别为，，△的面积为4， ， ， 阴影部分的面积为38， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：10． 7．（2025秋•西安校级期中）如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为　49　 ． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：49． 8．（2025秋•深圳校级期中）已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数 ． 【解答】解：过作交于， 四边形为正方形， ，且， ， △△， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025春•防城区期中）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【解答】解：（1）正方形， ， 由题意可得， ， ； （2）正方形，， ， ， ． 10．（2025秋•即墨区期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：在菱形中，对角线、相交于点， ，，． ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形； （2）解：四边形是菱形， ， △是直角三角形． 由勾股定理得：． 又四边形是正方形，，且、互相平分， ， 在△中，由勾股定理得：． 11．（2025秋•秦都区月考）如图，在正方形和正方形中，，连接，，若，求的度数． 【解答】解：在正方形和正方形中，， ，， ， ， △是等边三角形， ，， ， ． 12．（2025春•新昌县期末）如图，在正方形中，是对角线上的一点（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ，， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； （2）解：连接，如图所示： 在正方形中，，， 在△和△中， ， △△， ， 四边形是矩形，， ，， ， △是等腰直角三角形， ， ， 在△中，由勾股定理得：， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/25 15:21:53；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1．（2025秋•张家川县校级期末）如图，四边形是正方形，△是等边三角形，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形，△是等边三角形， ，，， ， ， 同理，， ， 故选：． 2．（2025春•田阳区期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　） A． B． C．6 D．7 【解答】解：四边形是正方形，边长为， ，， ， ， ， 在△和△中，，△△，， ，， ，解得，即的值为．故选：． 3．（2025春•昆明期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，则　90　 ． 【解答】解：设正方形的边长为， 为的中点，是上一点，且， ， ， ，，， ， △是直角三角形， ， 故答案为：90． 4．（2025•榕城区一模）在△中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为 　6　． 【解答】解：将△绕点顺时针旋转，得到△， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 阴影部分面积 ． 故答案为：6． 5．（2025春•迭部县期末）在△中，，的平分线交于点，过点作交的平分线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形． 【解答】（1）证明：，平分， ，， 是△的外角平分线， ， ， ，即， ， ， ， 又，， 四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下： ，平分，， ， ， 又四边形是矩形， 矩形为正方形． 6．（2025春•乌拉特前旗校级月考）如图，，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若正方形边长为，，求菱形的周长． 【解答】（1）证明：，是正方形的对角线上的两点，且．如图，连接，交于点， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：正方形边长为，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，，，， ，在直角三角形中，由勾股定理得：， 菱形的周长为． 【素养提升】 （2025秋•武侯区期中）如图，在正方形中，，为的中点，，连接，，． （1）证明：△是直角三角形； （2）过点作交于点，交于点，求的长； （3）在（2）的情况下，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，，为的中点，， ，， ，， ，，， ，， ， △是直角三角形． （2）解：由（1）得△是直角三角形，且，，，， 交于点，交于点， ， ， 的长为2． （3）解：连接， ，，， ，， 在△和△中，，△△，， ， 在△和△中，，△△， ，，且，，， ，解得，的长是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/25 15:37:32；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 8.2特殊的平行四边形 第10课时 正方形的性质与判定2答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 声 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:54:59；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【基础训练】 1．（2025•正阳县二模）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形，， 正方形的面积，， 由题意知， 四边形是菱形， ， 过点于， ， ， 菱形的面积， 正方形的面积菱形的面积， 四边形的面积减少了． 故选：． 2．（2025秋•碑林区校级月考）顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【解答】解：如图所示，、、、分别是正方形四条边的中点， ，，，分别是△，△，△，△的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， 由正方形的性质可得，， ，且， 四边形是正方形， 故选：． 3．（2025春•任泽区期末）在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是， 故选：． 4．（2024春•海安市期末）如图，点，，，分别是正方形四条边上的点，，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 【解答】解：四边形是正方形， ，，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在△中，由勾股定理得，， 四边形与四边形的面积之和为16， 故选：． 5．（2025春•江海区期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线 ，则图1中对角线的长为 　　 ． 【解答】解：如图1，2中，连接． 在图2中，四边形是正方形， ，， ， ， 在图1中，，， △是等边三角形， ， 故答案为：． 6．（2025秋•渝中区校级月考）如图，在△中，，，过点的直线，是边中点，延长交于点，点在上且恰好满足平分，已知，则 ． 【解答】解：，过点的直线， ， 如图，，过作于点，则四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ，过点的直线， ， 在△和△中， ，△△，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 平分， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 故答案为：． 7．（2025秋•万州区期末）如图，正方形的对角线交于点，以为边向外作，，连接，，，则另一直角边的长为　10　． 【解答】解：过点作于点，作，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ，即， 正方形的对角线交于点， ，即，， ， 在和中，， ， ， 则四边形是正方形， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 8．（2025春•长汀县期中）如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有　①②③④　 ． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 于点，于点， ， 四边形是矩形，，， ，， 为的中点， ， ， 四边形是正方形， 故①正确； 连接， 四边形是矩形， ， 在△与△中， ， △△， ， ， 故②正确； ， ， 四边形是矩形， ， ， 即的值为定值4，故③正确； ， 当最小时，最小， 当时，最小， 在△中，， ， ， ， 线段的最小值为， 故④正确； 正确的有①②③④ 9．（2025秋•肃南县校级期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）解：四边形分式正方形， ，， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，， ， ， △是等腰直角三角形， ． 10．（2025秋•吉安月考）在等腰△中，，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）证明：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 【解答】（1）证明：， ， 在△和△中，，△△， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，，是的中点， ，， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知，，， 在△中，， ． 11．（2025秋•咸阳校级月考）如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗？请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【解答】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， △△， ． 四边形是正方形． （2），， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 12．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）如图，作于，于， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在△和△中，，△△，， 四边形是矩形，矩形是正方形； （2）的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形，，， ，，在△和△中，， △△，， 是定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/27 17:16:43；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1．（2025秋•汉中期末）如图，四边形是正方形，△是等边三角形，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， △是等边三角形， ，， ，， ， ． 故选：． 2．（2025秋•山丹县校级期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出△的面积，只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，，又， ， 若要求出△的面积，只需知道的长． 故选：． 3．（2025秋•秦都区期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 　67.5　 ． 【解答】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， ， ， ，在△中，， ， ， ， ．故答案为：67.5． 4．（2025春•碑林区校级月考）如图，，点、分别在，上，与的角平分线交于点，于，若，则　　． 【解答】解：过点作于，于， ， 四边形为矩形， 平分，，， ， 同理可得：， ， 矩形为正方形， ， ， 故答案为：． 5．（2025秋•枞阳县期末）如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连接，试判断与面积之间的关系，并说明理由． 【解答】解：和的面积相等． 理由：过作于，过作交延长线于，则， ， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， 和的面积相等． 6．（2025秋•漳州期末）如图，，正方形的顶点、分别在、上，为上一点，且，直线与交于． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，即． 又， 在△中，． ； （2）；理由如下： 四边形是正方形， 平分，， ． 在△和△中，，△△， ，， ， 又，， ， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/28 10:32:13；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【素养提升】 （2025春•霸州市期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【解答】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形； （2）证明：平分， ， 在△和△中， ， △△， ； （3）解：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， 平分， ，， 四边形是正方形； ， △△， ， ，， ， ， ， ． ． 第1页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形 第9课时 正方形的性质与判定1 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 )【基础训练】 1．（2025秋•莱芜区期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2025秋•桥西区期末）如图，在△中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则△的面积为（　　） A． B． C．24 D．36 3．（2025秋•新城区期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•杜尔伯特县期末）如图，在正方形的外侧，作等边△，连接、，相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•高新区期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点，，则的度数为 　　． 6．（2025秋•宝山区校级期中）如图，正方形与正方形的边长分别为，，若△的面积为4，阴影部分的面积为38，则　　 ． 7．（2025秋•西安校级期中）如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为　　 ． 8．（2025秋•深圳校级期中）已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数　　 ． 9．（2025春•防城区期中）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 10．（2025秋•即墨区期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 11．（2025秋•秦都区月考）如图，在正方形和正方形中，，连接，，若 ，求的度数． 12．（2025春•新昌县期末）如图，在正方形中，是对角线上的一点（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 【拓展延伸】 1．（2025秋•张家川县校级期末）如图，四边形是正方形，△是等边三角形，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•田阳区期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　） A． B． C．6 D．7 3．（2025春•昆明期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，则　　 ． 4．（2025•榕城区一模）在△中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为 　　． 5．（2025春•迭部县期末）在△中，，的平分线交于点，过点作交的平分线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形． 6．（2025春•乌拉特前旗校级月考）如图，，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若正方形边长为，，求菱形的周长． 【素养提升】 （2025秋•武侯区期中）如图，在正方形中，，为的中点，，连接，，． （1）证明：△是直角三角形； （2）过点作交于点，交于点，求的长； （3）在（2）的情况下，求的长． 8.2特殊的平行四边形 第10课时 正方形的性质与判定2 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025•正阳县二模）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•碑林区校级月考）顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3．（2025春•任泽区期末）在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•海安市期末）如图，点，，，分别是正方形四条边上的点，，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 5．（2025春•江海区期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线 ，则图1中对角线的长为 　　． 6．（2025秋•渝中区校级月考）如图，在△中，，，过点的直线，是边中点，延长交于点，点在上且恰好满足平分，已知，则　　 ． 7．（2025秋•万州区期末）如图，正方形的对角线交于点，以为边向外作，，连接，，，则另一直角边的长为　　． 8．（2025春•长汀县期中）如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有　　 ． 9．（2025秋•肃南县校级期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 10．（2025秋•吉安月考）在等腰△中，，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）证明：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 11．（2025秋•咸阳校级月考）如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗？请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 12．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 1．（2025秋•汉中期末）如图，四边形是正方形，△是等边三角形，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•山丹县校级期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出△的面积，只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．（2025秋•秦都区期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 　　． 4．（2025春•碑林区校级月考）如图，，点、分别在，上，与的角平分线交于点，于，若，则　　． 5．（2025秋•枞阳县期末）如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连接，试判断与面积之间的关系，并说明理由． 6．（2025秋•漳州期末）如图，，正方形的顶点、分别在、上，为上一点，且，直线与交于． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【素养提升】 （2025春•霸州市期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $