8.2 菱形的性质和判定 同步作业（7～8课时）2025—2026学年苏科版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形 第7课时 菱形的性质答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际 用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025秋•邵阳期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【解答】解：菱形中，对角线，相交于点，，， ，，， ， ． 故选：． 2．（2025秋•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是菱形， ，， 轴， 轴， ，， ，， ， ， ， 的坐标为． 故选：． 3．（2025秋•梅县区期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 故选：． 4．（2025秋•济宁校级期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　） A．4 B．8 C．6 D． 【解答】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 5．（2025秋•都江堰市期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④，则图③中的度数是　120　 ． 【解答】解：由题意得到， 由菱形的性质得到：， ， ， ， ． 故答案为：120． 6．（2025秋•肃南县校级期末）如图，在菱形中，点在对角线上，且，若，则的度数为 ． 【解答】解：四边形是菱形， 判定平分， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2025秋•临渭区校级期末）已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为 ． 【解答】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ， 在△中，由勾股定理得：， 如图，四边形是菱形，点是对角线的中点，连接， 点是与的交点，且， ， ， 又， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 8．（2025秋•东河区期末）如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为 ． 【解答】解：四边形为菱形，，， ，，， 在△中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 9．（2025秋•遵义校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 【解答】（1）证明：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形，，， ，， ， ． 10．（2025秋•南昌期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点． （1）求，两点的坐标； （2）求菱形的面积． 【解答】解：（1）菱形的对角线交于坐标原点．点的坐标为，点的坐标为， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， ，； （2），，，， ，， 菱形的面积． 11．（2025•中山市三模）如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【解答】解：（1）如图所示； （2）设，交于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积． 12．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形是菱形，，以点为圆心，为半径画弧线，分别交，于点，，连接，，，． （1）求度数； （2）求证：． 【解答】（1）解：四边形是菱形， ，，， 由题意得到， ， ， 同理：， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 【拓展延伸】 1．（2025秋•贵阳期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，连接，若，，则的长是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【解答】解：在菱形中，，， ． 在直角△中，根据勾股定理知：． ，， ． 故选：． 2．（2025秋•城阳区校级月考）如图，菱形的对角线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D．9 【解答】解：四边形是菱形，，， ，， ， ， ， 菱形的面积， 故选：． 3．（2025秋•明水县期末）如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【解答】解：连接，过点作于点， ，，，，， ， 四边形是菱形， ， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025秋•双流区校级期末）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得过点作，，垂足为，若，则对角线的长为　10　 ． 【解答】解：如图，连接交于点， 由菱形的性质得，，， 又， ， ， ， ， 又四边形是菱形， 平分， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 故答案为：10． 5．（2025春•乳山市期末）如图，四边形和均为菱形，为的中点，点在的延长线上，连接，为的中点，连接．，，求的长． 【解答】连接，．作于点， 四边形和均为菱形， ，， ． ， ， ， ， ， ． 同理可求：， 点为的中点， ． 6．（2025秋•宝安区校级期中）图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【解答】解：（1）如图，四边形是菱形，连接，交于点．， 平分，，，， 当时，△是等边三角形， ； （2）当时， 平分，， ． 在△中，， 由勾股定理得：， ， 千斤顶升高了． 【素养提升】 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:47:34；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 （2025春•海港区期末）如图，在△中，，，，、、分别为、、上的点，四边形为菱形． （1）请尺规作图画出、、点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求菱形的边长． 【解答】解：（1）作平分线交于点； 作垂直平分线交于点，交于点， 四边形即为所求； （2）如图，过作于点， 由（1）可得， 在△中，，，， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 设菱形边长为，则， 在△中，由勾股定理得， ， 解得， 菱形的边长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/23 14:37:06；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 8.2特殊的平行四边形 第8课时 菱形的判定答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际 用时： 分钟 )【基础训练】 1．（2025秋•禅城区校级月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接， 如图所示宽为的蓝丝带，则，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是菱形， 在△中，， △为等腰直角三角形， ， ， ． 即重叠部分图形的面积是． 故选：． 2．（2025春•阳东区期末）如图，，是射线，上的点，，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点．连接，，，，与交于点．若，四边形的面积为．则的长为（　　） A． B．4 C． D．8 【解答】解：由作法得， 四边形是菱形， ，， ，四边形的面积为， ， ，，故选：． 3．（2025春•汾阳市期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（　　） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【解答】解：连接， 由图可知，， 四边形是菱形， 线段与线段的垂直平分线． 故选：． 4．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：连接． 在直角三角形中，，，根据勾股定理，得． ，平分， ， 垂直平分，． ． ，，， ，，四边形是菱形， 由勾股定理得出， ，故选：． 5．（2025•黄埔区校级二模）如图，矩形的对角线交于点，点是矩形外一点，，，，连接交于点、连接．若，则线段的长为　　． 【解答】解：（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形； ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 6．（2025秋•市北区校级期末）如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．若，，则四边形的面积为 　　． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，在中，，， 在中，，， 四边形的面积为：．故答案为：． 7．（2024•无锡二模）如图，在四边形中，，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，，则为 　　． 【解答】解：， ， 点为的中点， ， 在与中，，，， ，四边形为平行四边形，又，平行四边形是菱形， ，，，， ， 故答案为：． 8．（2024春•宿豫区期中）如图（1），将两张全等的矩形重叠而得到的四边形是菱形，已知矩形的长是8，宽是4，当这两张纸片叠合成如图（2）所示时，菱形的面积最大，此时，菱形面积为 　20　． 【解答】解：如图（2），设，则，， 在中，，，解得， ．故答案为：20． 9．（2025秋•烟台期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】（1）证明：连接交于，四边形是平行四边形，， 在△与△中，，△△，， ，四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，，，，，，四边形的面积． 10．（2025•五华区校级模拟）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图，其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：， △是直角三角形， 为的中点， ． 四边形是菱形， ， ， △是等边三角形， ， 又． ． ， ． 四边形为菱形． ． 在△中，， （负值舍去）． 四边形为菱形， 菱形的周长为． 11．（2025秋•横山区期末）如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，求菱形的面积． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积． 12．（2025春•雨花区校级期末）如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/24 10:45:08；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1．（2025秋•无锡月考）如图，在四边形中，，，点从点出发，沿折线方向移动到点停止．在△形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B．直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D．等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 【解答】解：如图，连接、， ， 四边形是菱形， ， △和△都是等边三角形， ， 当点到达的中点时，，此时△为直角三角形； 当点到达点处时，此时△为等边三角形； 当点到达的中点时，， ， △为直角三角形； 当点与点重合时，此时△为等腰三角形； 综上所述，在△形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形， 故选：． 2．（2025•北京模拟）如图，在菱形中，对角线、相交于点，延长至使，连接，下列结论①；②；③四边形为菱形；④中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形是菱形， ，，， 又， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形，故③不正确， ， ，故①正确； 四边形是平行四边形，四边形是菱形， ，， ， 即，故②正确； 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，故④正确； 正确的结论个数有3个， 故选：． 3．（2025秋•禅城区校级月考）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为，，则在墙上悬挂晾衣加的两个铁钉，之间的距离为　15　 ． 【解答】解：如图，，， △是等边三角形， 菱形的周长为， ， 同法可证， ． 故答案为：15． 4．（2025•沂南县二模）如图1，矩形纸片中，，，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案： 甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形． 乙：如图3，沿矩形的对角线折出，的方法得到四边形． 下列说法正确的是 　①④　（只填序号）． ①甲折出的四边形是菱形；②乙折出的四边形不是菱形；③甲、乙折出的四边形面积一样大；④乙折出的四边形面积大． 【解答】解：①点，，，分别是矩形四个边的中点， ，，， ， ， 四边形是菱形，故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②错误； ③矩形中，，， 矩形的面积， ， ， 菱形的面积； 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 解得， ， 菱形的面积， 菱形的面积菱形的面积， 故③错误，④正确． 综上所述：说法正确的是①④． 故答案为：①④． 5．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△中，，是的中点，是的中点，延长至点，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 【解答】（1）证明：是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， 四边形是菱形； （2）解：在△中，， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 四边形的周长为． 6．（2025秋•南山区校级期末）如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，的长为 　　． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【素养提升】 （2025秋•旌阳区校级期末）如图，在△中，，点、分别是、的中点．将△绕点旋转得△．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． 【解答】（1）证明：点是的中点， ，， 又， ， 将△绕点旋转得△， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：如图，令和的交点为， ， ， 设，，则， 由（1）得四边形是菱形， ，，， ， ， 整理得，， 又， ， ， 四边形的面积为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/24 14:24:25；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:47:34；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第1页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形 第7课时 菱形的性质 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际 用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025秋•邵阳期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 2．（2025秋•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•梅县区期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•济宁校级期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　） A．4 B．8 C．6 D． 5．（2025秋•都江堰市期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④，则图③中的度数是　　． 6．（2025秋•肃南县校级期末）如图，在菱形中，点在对角线上，且，若，则的度数为　　 ． 7．（2025秋•临渭区校级期末）已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为　　 ． 8．（2025秋•东河区期末）如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为　　 ． 9．（2025秋•遵义校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 10．（2025秋•南昌期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点． （1）求，两点的坐标； （2）求菱形的面积． 11．（2025•中山市三模）如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 12．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形是菱形，，以点为圆心，为半径画弧线，分别交，于点，，连接，，，． （1）求度数； （2）求证：． 【拓展延伸】 1．（2025秋•贵阳期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，连接，若，，则的长是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 2．（2025秋•城阳区校级月考）如图，菱形的对角线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D．9 3．（2025秋•明水县期末）如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为　　 ． 4．（2025秋•双流区校级期末）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得过点作，，垂足为，若，则对角线的长为　　 ． 5．（2025春•乳山市期末）如图，四边形和均为菱形，为的中点，点在的延长线上，连接，为的中点，连接．，，求的长． 6．（2025秋•宝安区校级期中）图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【素养提升】 （2025春•海港区期末）如图，在△中，，，，、、分别为、、上的点，四边形为菱形． （1）请尺规作图画出、、点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求菱形的边长． 8.2特殊的平行四边形 第8课时 菱形的判定 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025秋•禅城区校级月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•阳东区期末）如图，，是射线，上的点，，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点．连接，，，，与交于点．若，四边形的面积为．则的长为（　　） A． B．4 C． D．8 3．（2025春•汾阳市期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（　　） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 4．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 5．（2025•黄埔区校级二模）如图，矩形的对角线交于点，点是矩形外一点，，，，连接交于点、连接．若，则线段的长为　　． 6．（2025秋•市北区校级期末）如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．若，，则四边形的面积为 　　． 7．（2024•无锡二模）如图，在四边形中，，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，，则为 　　． 8．（2024春•宿豫区期中）如图（1），将两张全等的矩形重叠而得到的四边形是菱形，已知矩形的长是8，宽是4，当这两张纸片叠合成如图（2）所示时，菱形的面积最大，此时，菱形面积为 　　． 9．（2025秋•烟台期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 10．（2025•五华区校级模拟）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图，其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 11．（2025秋•横山区期末）如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，求菱形的面积． 12．（2025春•雨花区校级期末）如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 【拓展延伸】 1．（2025秋•无锡月考）如图，在四边形中，，，点从点出发，沿折线方向移动到点停止．在△形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B．直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D．等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 2．（2025•北京模拟）如图，在菱形中，对角线、相交于点，延长至使，连接，下列结论①；②；③四边形为菱形；④中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025秋•禅城区校级月考）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为，，则在墙上悬挂晾衣加的两个铁钉，之间的距离为　　． 4．（2025•沂南县二模）如图1，矩形纸片中，，，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案： 甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形． 乙：如图3，沿矩形的对角线折出，的方法得到四边形． 下列说法正确的是 　　（只填序号）． ①甲折出的四边形是菱形；②乙折出的四边形不是菱形；③甲、乙折出的四边形面积一样大；④乙折出的四边形面积大． 5．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△中，，是的中点，是的中点，延长至点，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 6．（2025秋•南山区校级期末）如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，的长为 　　． 【素养提升】 （2025秋•旌阳区校级期末）如图，在△中，，点、分别是、的中点．将△绕点旋转得△．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $