8.1平行四边形的判定 同步作业（3～4课时）2025—2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形 第3课时 平行四边形判定1答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理可得答案． 【解答】解：保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了： 这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．已知平行四边形，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【解答】解：由甲的作法可知，， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故甲对； 由乙的作法可知平分交于点，平分交于点， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故乙对， 故选：． 3．如图，在△中，点是斜边的中点，过点作于点，连接，过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．8 【解答】解：△中，点是斜边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故选：． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，关键是判定四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得到． 4．如图，在△中，，，，△，△，△都是等边三角形，下列结论中： ①；②△△；③四边形是平行四边形；④；⑤． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：，，， ，， ， △是直角三角形，且， ， 故①正确； △，△，△都是等边三角形， ，，，， ，， 在△和△中，，△△，故②正确； ， 在△和△中，， △△， ， ，， 四边形是平行四边形， 故③正确； ，， ， 故④错误； 作于点，则，，， ，，，，故⑤错误， 故选：． 【点评】此题重点考勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、全等三角形的定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明△△及△△是解题的关键． 5．如图，已知△，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 ． 【分析】利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【解答】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 6．如图，两张宽度为的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为，重合部分构成的平行四边形的周长为，则该平行四边形的面积为 　　 ． 【解答】解：如图，过点作于点， 则， 两张宽度为的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为，重合部分构成的平行四边形的周长为， ，，，， ， ， ，， ， ， ， 平行四边形的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 7．如图，在中，和分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是 　6　． 【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为，，由，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 设与之间的距离为， 四边形的面积是3， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键． 8．如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，若小正方形的边长为1，则的长为 　3　． 【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得． 【解答】解：如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若，，求的长度． 【解答】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图所示： ，， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 10.将一把直尺如图放置，与的边、交于点、，连接、分别与、相交于、两点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若为直尺的宽，，且，则的面积为　18　 ． 【解答】（1）证明：点、与点、分别在直尺的对边上， ， 四边形是平行四边形，点、分别在、上， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点、分别在、上， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，为直尺的宽，则， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， 故答案为：18． 11．如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）选　①或②　 （填序号），求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求△的面积． 【解答】解：（1）选择①，证明：， ， ， 四边形为平行四边形； 选择②，证明：，， ， ， 四边形为平行四边形； 故答案为：①或②； （2）由（1）得，，，， △的面积． 12．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求和的长． 【解答】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）已知，四边形是平行四边形， ， 平分且，， ， ， 在△中，，， ，． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握判定方法和性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/11 10:59:27；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1.如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有　　对 A．5 B．2 C．3 D．4 【解答】解：四边形是平行四边形，，，． ，，，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， 是平行四边形的对角线，， 是平行四边形的对角线，． ，即， ，同理．即：，，． 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分三种情况画出图形，即可解决问题． 【解答】解：设以，，为顶点构造平行四边形的第四个顶点为，如图， ，，， ，，， 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 故选：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及分类讨论，正确画出图形是解题的关键． 3．如图，△中，，，△的周长为128，则△与△的周长和为　128　 ． 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导△与△的周长和与△周长的关系． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，； △的周长为，△的周长为， △与△的周长和为 ， 故答案为：128． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，．若，则 　25　 ． 【分析】先证明四边形是平行四边形，则，同理可得：，再由勾股定理即可解答． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ，， ， ； 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握平行四边形的判定和性质是解本题的关键． 5．如图，在四边形中，是的中点，，相交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，由三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由三角形中位线定理得，，则，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，则． 【解答】（1）证明：，相交于点，， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：是的中点，是的中点，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的定义、平行线的性质、勾股定理等知识，证明，是解题的关键． 6．如图，在△中，点在边上，是的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由是的中点，得，由，得，而，即可根据“”证明△△，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）解：作于点，则，因为，所以，则，由，求得，因为，所以，求得，则． 【解答】（1）证明：是的中点， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 四边形是平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三有形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【素养提升】 如图，已知垂直平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据平行四边形和菱形的性质分析，再根据勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， 是菱形， ， 设，则， 即 解得：，即， ， ． 【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/11 15:53:35；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 8.1平行四边形 第4课时 平行四边形判定2答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架 “轸” 为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为，，，，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 【分析】由题意得四边形对角线和交于点，且，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结果． 【解答】解：由题意可知：四边形对角线和交于点，，， 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 轮轴支架形成的四边形是平行四边形， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积是（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点作于点，过点作于点，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 【解答】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点， ，， ， ． 又， ， 四边形的面积 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 3．如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，交边于点，连接．若，，则四边形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【分析】根据作图可得是的垂直平分线，然后证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理计算出长，根据平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在△和△中， △△， ， 又， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，关键是掌握平行四边形对边平行，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．如图，在中，是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若．则下列命题：①四边形是平行四边形，②，③，④若，，则，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得到，再证明△△，根据全等三角形的对应边相等可证得，进而得出四边形是平行四边形，即可判断命题①正确；利用全等三角形的性质得出，证出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断命题②正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判断命题③正确；利用勾股定理求出，即可判断命题④正确． 【解答】解：①四边形是平行四边形， ，， 点为的延长线上的一点， ， ，， 为中点， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 四边形是平行四边形，故此命题正确，符合题意； ②由①知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，故此命题正确，符合题意； ③由②知，， ，故此命题正确，符合题意； ④，， ， ，， ，故此命题正确，符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形、勾股定理以及全等三角形的有关知识是解题的关键． 5．如图，平行四边形中，，为锐角，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是 　甲、乙、丙　． 甲：分别取、的中点、 乙：作、分别平分、 丙：分别作、垂直于点、 【分析】由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可． 【解答】解：方案甲，连接，如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ，， 、分别为、的中点， ，， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙，四边形是平行四边形， ，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙，，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故方案丙正确； 故答案为：甲、乙、丙． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为，如果四边形的面积为48，，那么 　　 ． 【分析】根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由，，，即可求解． 【解答】解：在四边形中，，，如图，连接，作， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 7．如图，在中，，，分别在边和上，，交于点．若，，，则的长为 　3　． 【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，由勾股定理求出，判定四边形是平行四边形，推出，即可求出． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，关键是由勾股定理求出的长，判定四边形是平行四边形． 8．如图，，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是 　50　 ． 【分析】由“”可证△△，可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作于，过点作直线于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， △△， ，， ，，， ， 即：． ，， ． 故答案为：50． 9．如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在△中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【解答】（1）证明：， ，． 是中点， ， 在△与△中， ， △△， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ，， ， ， 在△中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接交于点，连接，． （1）求证：是的平分线； （2）若平分，求证：四边形是平行四边形； （3）若，，，求平行四边形的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点，使得，所以，则，而，则，即可证明是的平分线； （2）由，平分，得，可证明△△，得，则四边形是平行四边形； （3），，则平分，则四边形是平行四边形，所以，由，得，则△是等边三角形，所以，求得，则． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 延长至点，使得， ， ， ， ， 是的平分线． （2）证明：，平分， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 四边形是平行四边形． （3）解：，， 平分， 由（2）得四边形是平行四边形， ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 11．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求线段长． 【分析】（1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出△△，，进而可证四边形是平行四边形． （2）根据勾股定理可得，利用面积公式求出，再根据勾股定理求出长即可． 【解答】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：由勾股定理得， ， 由勾股定理得： ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 12．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点，使． 【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则△是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【解答】解：（1）由题意知，，，， 四边形是平行四边形； 则连接，交于，做一条过的线段即可； （2）如图，取格点，连接交于，点即为所求； 证明：，，， △是等腰直角三角形， ， 即． 13．如图，在△中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：， ， 又，， △△， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，即的长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/20 19:01:02；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1．如图，在△中，，平分交于点，交于点，交于点，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：①，， 四边形是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形）． 故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． 平分， （角平分线的定义）， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 当时，， ， ，， ， ， ．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ， ．故③错误． 故选：． 2．如图，，分别是边，上的点，且，连接与相交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【解答】解：如图，连接． 四边形都是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， △的面积△的面积△的面积△的面积， 四边形的面积为12， 四边形的面积， ，， ， ， 四边形是平行四边形， △的面积， 阴影部分的面积△的面积△的面积． 故选：． 3．如图，△中，，，△的周长为128，则△与△的周长和为　128　 ． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，； △的周长为，△的周长为， △与△的周长和为 ， 故答案为：128． 4．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为．当　3或5　时，四边形是平行四边形． 【解答】解：设经过秒，四边形是平行四边形， 在上运动， ，即， 四边形是平行四边形， ， 分为以下情况：①点的运动路线是，方程为， 解得， ②点的运动路线是，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 5．如图，在△中，，为的中点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，且，求的长． 【解答】（1）证明：为的中点， ， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：，， ， 四边形为平行四边形，， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 在△ 中，，即，解得，． 6．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，四边形是平行四边形，连接，交于点， ，， ， ， ， ，互相平分， 四边形是平行四边形； （2）解：， △是直角三角形， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【素养提升】 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 【解答】（1）证明：，， ，， 则， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 延长交于， 由（1）可知，，， 四边形是平行四边形， ，， 则，． ， ， 即：椅子最高点到地面的距离为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/23 10:29:18；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平行四边形 第3课时 平行四边形判定1 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2．已知平行四边形，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 3．如图，在△中，点是斜边的中点，过点作于点，连接，过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．8 4．如图，在△中，，，，△，△，△都是等边三角形，下列结论中： ①；②△△；③四边形是平行四边形；④；⑤． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，已知△，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是 　　 ． 6．如图，两张宽度为的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为，重合部分构成的平行四边形的周长为，则该平行四边形的面积为 　　． 7．如图，在中，和分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是 　　． 8．如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，若小正方形的边长为1，则的长为 　　． 9．如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若，，求的长度． 10.将一把直尺如图放置，与的边、交于点、，连接、分别与、相交于、两点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若为直尺的宽，，且，则的面积为　18　 ． 11．如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）选　　 （填序号），求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求△的面积． 12．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求和的长． 【拓展延伸】 1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有　　对 A．5 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△中，，，△的周长为128，则△与△的周长和为　　 ． 4．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，．若，则 　　 ． 5．【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 （2）如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 6．如图，在△中，点在边上，是的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【素养提升】 如图，已知垂直平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 8.1平行四边形 第4课时 平行四边形判定2 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架 “轸” 为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为，，，，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 2．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积是（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 3．如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，交边于点，连接．若，，则四边形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 4．如图，在中，是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若．则下列命题：①四边形是平行四边形，②，③，④若，，则，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，平行四边形中，，为锐角，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是 　　． 甲：分别取、的中点、 乙：作、分别平分、 丙：分别作、垂直于点、 6．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为，如果四边形的面积为48，，那么 　　 ． 7．如图，在中，，，分别在边和上，，交于点．若，，，则的长为 　　． 8．如图，，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是 　　 ． 9．如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接交于点，连接，． （1）求证：是的平分线； （2）若平分，求证：四边形是平行四边形； （3）若，，，求平行四边形的面积． 11．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求线段长． 12．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点，使． 13．如图，在△中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 【拓展延伸】 1．如图，在△中，，平分交于点，交于点，交于点，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形；②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，，分别是边，上的点，且，连接与相交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 3．如图，△中，，，△的周长为128，则△与△的周长和为　　 ． 4．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为．当　　时，四边形是平行四边形． 5．如图，在△中，，为的中点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，且，求的长． 6．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【素养提升】 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 4 学科网（北京）股份有限公司 $