8.1平行四边形的概念与性质 同步作业（1～2课时）2025—2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形 第1课时 平行四边形性质1 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025秋•朝阳区校级月考）在中，的值可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•济宁校级期末）如图，在中，于点，若，则为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•钢城区期末）如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 4．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 5．（2025春•北京校级期中）如图，在中，是边上一点，，，若，则的度数为 　　 ． 6．（2025秋•万州区校级期中）如图中△的面积是30平方厘米，是平行四边形面积的2倍，图中阴影部分的面积是　　 平方厘米． 7．（2025春•武威期末）如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为 　　 ． 8．（2025秋•龙岗区校级期中）如图，在平行四边形中，过作且交于，以为对称轴将△对称至△，，已知，，则　　 ． 9．（2025春•曹县期末）如图，在中，对角线，，为边的中点，连接，，求平行四边形的面积． 10．（2025春•大荔县校级期末）如图，在中，，的平分线，分别交于点，，且交于点． （1）求证：； （2）过点作交于点，交于点，若，求的长． 11．（2025春•新都区期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求及的长度． 12．（2025秋•集美区校级月考）如图，四边形为平行四边形，连接，． （1）在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【拓展延伸】 1．（2025秋•桓台县期末）如图，是内任一点．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（2025秋•桓台县期末）如图，在中，过点作于点，连接，过点作于点，且，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D． 3．（2025秋•博山区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是　　 ． 4．（2025•河南一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当　　 时，线段． 5．（2025春•杜尔伯特县期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？ 6．（2025春•乐亭县期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是 　　 ； （2）求证：； （3）若，，，直接写出△的面积． 【素养提升】 （2025春•大荔县期末）如图，在中，是边上一点，且、分别平分、，若，，求的面积． 第1课时 平行四边形性质2 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则△的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 3．如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则△的周长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，，那么图中阴影部分的面积为 　　 ． 6．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为　　 ． 7．如图，平行四边形的对角线相交于点，且，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为　　 ． 8．如图，在中，，点在上，且，以，为邻边作平行四边形，若，，则四边形的面积为 　　． 三．解答题（共4小题） 9．已知：如图，在中，点为边上，点在边上，，与对角线相交于点． （1）求证：是的中点． （2）若，的周长为24，连结，则△的周长为 　　 ． 10．如图，在中，对角线与相交于点，，，．求的长度及的面积． 11．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点、在对角线上，若 　　 ，则△△． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 12．已知：中，对角线、相交于点，、分别是△和△的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，于点，直接写出长度等于长度的倍的所有线段． 【拓展延伸】 1．如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．0.6 2．如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，且，对角线平分，若，，则的长为 　　 ． 4．如图，△中，，，点在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是　　 ． 5．如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且△的周长比△的周长小4． （1）求边和的长； （2）若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 6．如图，在中，，，对角线，相交于点． （1）若，求的面积； （2）若，，直接写出，间满足的数量关系，不需要说明理由． 【素养提升】 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． 任务： （1）证明过程中的“依据”是指：　　． （2）请你补全小明的证明过程． （3）如图2，在中，，，，则的周长为 　　． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平行四边形 第1课时 平行四边形性质1答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际 用时： 分钟 ) 【基础训练】 1．（2025秋•朝阳区校级月考）在中，的值可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，，，，， 即和的度数相等，和的度数相等，且， 故选：． 2．（2025秋•济宁校级期末）如图，在中，于点，若，则为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， 故选：． 3．（2025秋•钢城区期末）如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【解答】解：四边形是平行四边形，，，平分， ．又，，， ， ， ， ． 故选：． 4．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 【解答】解：，， ． ，， ． 四边形是平行四边形， ． ， ， ． 故选：． 5．（2025春•北京校级期中）如图，在中，是边上一点，，，若，则的度数为 　　 ． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ，（两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025秋•万州区校级期中）如图中△的面积是30平方厘米，是平行四边形面积的2倍，图中阴影部分的面积是　7.5　 平方厘米． 【解答】解： （平方厘米）， 阴影部分的面积是7.5平方厘米． 故答案为：7.5． 7．（2025春•武威期末）如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为 　6　 ． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ，， △的面积， ，，， ， ． 故答案为：6． 8．（2025秋•龙岗区校级期中）如图，在平行四边形中，过作且交于，以为对称轴将△对称至△，，已知，，则 ． 【解答】解：， ， 由轴对称可知：， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025春•曹县期末）如图，在中，对角线，，为边的中点，连接，，求平行四边形的面积． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 为边的中点，， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积是． 10．（2025春•大荔县校级期末）如图，在中，，的平分线，分别交于点，，且交于点． （1）求证：； （2）过点作交于点，交于点，若，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分、平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 11．（2025春•新都区期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求及的长度． 【解答】（1）证明：的平分线交的延长线于点，交于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． （2）解：，， ，， ，， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 的长度为，的长度为2． 12．（2025秋•集美区校级月考）如图，四边形为平行四边形，连接，． （1）在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【解答】解：（1）到的距离等于的点，如图1即为所求； （2）如图2，延长交于点，若，，过点作，垂足为， 又，平分， ，，， 在△和△中， ， △△， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 设，则， ， △是直角三角形， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/26 14:53:44；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【拓展延伸】 1．（2025秋•桓台县期末）如图，是内任一点．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【解答】解：设两个阴影部分三角形的高为、， 则为平行四边形的高，． 故选：． 2．（2025秋•桓台县期末）如图，在中，过点作于点，连接，过点作于点，且，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：． 3．（2025秋•博山区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是或或 ． 【解答】解：如图所示： ，， ， ①，时， ， ； ②，， ， ； ③，， ，，， ， 故点坐标为或或， 故答案为：或或． 4．（2025•河南一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当　或3　 时，线段． 【解答】解：如图1，，且与不平行，作交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 四边形是平行四边形， ，， △是等边三角形， ， ， ， ， 解得； 如图2，，且，则四边形是平行四边形， ， ， 解得， 故答案为：或3． 5．（2025春•杜尔伯特县期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？ 【解答】解：当时，，理由如下： 当时，四边形是平行四边形， 此时，，， ， ， 当时，． 6．（2025春•乐亭县期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是 　　 ； （2）求证：； （3）若，，，直接写出△的面积． 【解答】（1）解：由作图可知平分， ． 故答案为：； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交的延长线于点． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △的面积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/26 15:14:41；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【素养提升】 （2025春•大荔县期末）如图，在中，是边上一点，且、分别平分、，若，，求的面积． 【解答】解：在平行四边形中，，，，， ，，， 和分别平分和， ，， ，，， ，，， 则， ， 在△中，由勾股定理得：， 如图，过点作交于点， ， ， ， ． 第1课时 平行四边形性质2答案 【适用版本：苏科版新教材，内容分为基础训练、拓展延伸、素养提升三部分】 ( 建议用时： 70 分钟 实际 用时： 分钟 ) 1．如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形得到，，，再由平行线的性质得到，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 故、、正确，不符合题意，不一定成立，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则△的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 【分析】由平行四边形的性质可得，，，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形，，，， ， ， △的周长， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线的性质是解题的关键． 3．如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则△的周长为（　　） A． B． C． D． 【分析】要求周长，就要求出三角形的三边，利用垂直平分线的性质即可求出，所以△的周长． 【解答】解：，相交于点，为的中点，， ，△的周长，△的周长为． 故选：． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是将三角形的三边长转为平行四边形的一组邻边的长． 4．如图，在中，，，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 由勾股定理得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，由勾股定理求出是解决问题的关键． 5．如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，，那么图中阴影部分的面积为 　7　 ． 【分析】过点作于点，勾股定理求得，证明△△，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形的对角线和相交于点， ，， ， 又， △△ 同理： 阴影部分面积面积， 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为　8　 ． 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【解答】解：的对角线，相交于点，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的周长， 故答案为：8． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 7．如图，平行四边形的对角线相交于点，且，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为 ． 【分析】由平行四边形的性质得，则点与点关于原点对称，由点的坐标为，点的坐标为，得，且，求得，，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点， ， 点与点关于原点对称， 点的坐标为，点的坐标为， ，且， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，推导出点与点关于原点对称是解题的关键． 8．如图，在中，，点在上，且，以，为邻边作平行四边形，若，，则四边形的面积为 　22　． 【分析】根据勾股定理先求出的长，再设，则，．根据勾股定理列式计算得的值，进而可以求出四边形的面积． 【解答】解：四边形是平行四边形． ，， ， 在中，由勾股定理得， ． 设，则， ． 在中，由勾股定理得，， ． 解得． ， ． 故答案为：22． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是熟练运用勾股定理． 9．已知：如图，在中，点为边上，点在边上，，与对角线相交于点． （1）求证：是的中点． （2）若，的周长为24，连结，则△的周长为 　12　 ． 【分析】（1）由已知条件容易证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，与互相平分，所以是的中点． （2）根据线段的垂直平分线的性质，可知，推出△的周长即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接、， 四边形是平行四边形． ，，， ． 又，， ． 四边形是平行四边形． ． 即是的中点． （2）解：，， ， △的周长． 故答案为：12． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在中，对角线与相交于点，，，．求的长度及的面积． 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再由平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：，，， ．四边形是平行四边形， ，． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键． 11．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点、在对角线上，若 　　 ，则△△． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【解答】解：选择为条件，使结论成立，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在△和△中，， △△．故答案为：． 12．已知：中，对角线、相交于点，、分别是△和△的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，于点，直接写出长度等于长度的倍的所有线段． 【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，，， ，、分别是△和△的角平分线， ，在△和△中，，△△， ； （2）解：，， ， 、分别是△和△的角平分线， ， ， ， ， ， △，△都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， △，△都是等腰直角三角形，，， ，， △△， ， ， ， 长度等于长度的倍的所有线段有，，． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全到呢个三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【拓展延伸】 声明： 1．如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．0.6 【分析】由平行四边形的性质并结合题意可得，，，，由勾股定理计算得出，连接，求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【解答】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ， ， ， ， ， 如图，连接， 点是中点，，，， ，故选：． 2．如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过作交延长线于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， △△， ，， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于、关系式． 3．如图，在中，点在边上，且，对角线平分，若，，则的长为 　4　 ． 【分析】利用勾股定理的逆定理证明，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 4．如图，△中，，，点在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是 ． 【分析】要求最小值，则可求最小值，过作于点，根据垂线段最短可知时最小，此时点与点重合，进而求解即可． 【解答】解：过作于点， 在中，，， 要求最小值，则可求最小值， 根据垂线段最短可知时最小，此时点与点重合， ，， ，，在△中，， ，此时； 故答案为：． 5．如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且△的周长比△的周长小4． （1）求边和的长； （2）若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，，， 的周长为20， ， ， △的周长比△的周长小4， ， ， ， ，， 边和的长分别为3和7． （2）作于点， 在△和△中， ， △△，，于点，且， ， ， ， ， 和之间的距离为． 6．如图，在中，，，对角线，相交于点． （1）若，求的面积； （2）若，，直接写出，间满足的数量关系，不需要说明理由． 【分析】（1）作，垂足为，设，，利用勾股定理建立方程，，求出，，继而求出平行四边形的面积即可； （2）利用（1）的条件，设，，则，，根据勾股定理得到，①，②③，再用①②即可得到． 【解答】解：（1）如图所示，作，垂足为， 设， 在△中，， 在△ 中，， ，，， ， ，， 解得，， ， ； （2）如图所示，作，作交延长线于点，，， 由题意可知，，，， 设，，则，， 在△中，，① 在△中，，② 在△中，，③ ①②得：， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 【素养提升】 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． 任务： （1）证明过程中的“依据”是指：　平行四边形的对边相等　． （2）请你补全小明的证明过程． （3）如图2，在中，，，，则的周长为 　　． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求解； （2）根据平行四边形的性质及勾股定理证明； （3）根据（2）的结论及平行四边形的周长公式求解． 【解答】解：（1）证明过程中的“依据”是指：平行四边形的对边相等， 故答案为：平行四边形的对边相等； （2）证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， ，，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，， 由辅助线得：，，，四边形为矩形，，， 在中，， ． （3）设，则，由（2）得：， 解得：或（不合题意，舍去），的周长为：， 故答案为：． 第2页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $