6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第6章 平面向量 §6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示【导学】 §6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示【导学】[解析] 【导学目标】 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系. 2.会两个向量的和差的坐标运算. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 【知识要点】 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j， 取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj， 我们把有序实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）， 此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示 即以原点为起点的向量与实数对是唯一对应的． 平面向量加、减运算的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点， 则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， ＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)， 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【典型例题】 题型一 平面向量的正交分解 【例1-1】给出下列几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【例1-2】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为（ ） A. B.  C. D. 【答案】C 题型二 平面向量的坐标表示 【例2-1】已知向量则=（ ） A．(-3，2) B．(3，－2) C．(3,0) D．(9，2) 【答案】B 【例2-2】已知点 A(3,−1)，B(3,2)，O 为坐标原点，(λ∈R),若点 P 在 x 轴上，则 λ 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. −2 【答案】D 【例2-3】已知点 A(−1,2)，B(2,3)，C(3,−1)，且 ，则点 D 的坐标为（ ） A. (2,16) B. (−2,−16) C. (4,16) D. (2,0) 【答案】A 题型三 平面向量加、减运算的坐标运算 【例3-1】已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为________． 【答案】(2,0) 【例3-2】(衔接教材P30L5)已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)， 求(1)顶点D的坐标; (2)写出向量的坐标. 【答案】(1)顶点D的坐标(2,2); (2); 【例3-3】若向量，则＝(　　) A．(2,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(1,2) 【答案】D 【例3-4】已知向量的坐标分别是(2,1)，(-3，-2)，则的坐标为 ． 【答案】（19，11） 题型四 平面向量共线的坐标表示 【例4-1】已知向量，若，则k=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【例4-2】已知向量,若非零向量与共线，其中, 则的值为 . 【答案】 【例4-3】平面上有A(2,－1)，B(1,4)，C(4,－3)三点，点C在直线AB上，且,连接DC并延长至点E,使,则点E的坐标为 . 【答案】 【例4-4】（多选）已知向量,则下列向量中与平行的向量有（ ） A. B. C. (-2,1) D.(1,2) 【答案】AD ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第6章 平面向量 §6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示【导学】 §6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示【导学】 【导学目标】 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系. 2.会两个向量的和差的坐标运算. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 【知识要点】 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j， 取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj， 我们把有序实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）， 此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示 即以原点为起点的向量与实数对是唯一对应的． 平面向量加、减运算的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点， 则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， ＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)， 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【典型例题】 题型一 平面向量的正交分解 【例1-1】给出下列几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例1-2】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为（ ） A. B.  C. D. 题型二 平面向量的坐标表示 【例2-1】已知向量则=（ ） A．(-3，2) B．(3，－2) C．(3,0) D．(9，2) 【例2-2】已知点 A(3,−1)，B(3,2)，O 为坐标原点，(λ∈R),若点 P 在 x 轴上，则 λ 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. −2 【例2-3】已知点 A(−1,2)，B(2,3)，C(3,−1)，且 ，则点 D 的坐标为（ ） A. (2,16) B. (−2,−16) C. (4,16) D. (2,0) 题型三 平面向量加、减运算的坐标运算 【例3-1】已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为________． 【例3-2】(衔接教材P30L5)已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)， 求(1)顶点D的坐标; (2)写出向量的坐标. 【例3-3】若向量，则＝(　　) A．(2,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(1,2) 【例3-4】已知向量的坐标分别是(2,1)，(-3，-2)，则的坐标为 ． 题型四 平面向量共线的坐标表示 【例4-1】已知向量，若，则k=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【例4-2】已知向量,若非零向量与共线，其中, 则的值为 . 【例4-3】平面上有A(2,－1)，B(1,4)，C(4,－3)三点，点C在直线AB上，且,连接DC并延长至点E,使,则点E的坐标为 . 【例4-4】（多选）已知向量,则下列向量中与平行的向量有（ ） A. B. C. (-2,1) D.(1,2) ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $