1.1 多边形的内角和与外角和（第3课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦多边形外角和定理推导、内角和与外角和综合应用及正多边形计算。通过回顾内角和公式、正多边形计算、邻补角等旧知，结合生活情境（如小明散步转过角度）搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于以“整体减部分”思想推导外角和定理，对比内角和与外角和特征强化理解，一题多解（如正多边形边数计算）培养优化意识。生活情境激发数学眼光，推导过程发展推理能力，综合应用中列方程体现模型意识，助力学生提升逻辑思维与解题能力，为教师提供清晰教学路径与分层练习设计。

6.3多边形的内角和与外角和（第二课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课为北师大版八年级下册第六章平行四边形第三节第二课时，核心内容为多边形外角和定理的推导、内角和公式与外角和定理的综合应用，同时深化正多边形的相关计算。具体包括理解多边形外角和的定义，掌握任意多边形外角和为360°的推导过程，能灵活运用内角和公式(n−2)×180 °和外角和定理解决多边形边数、内角度数、外角度数的综合计算问题，掌握正多边形内、外角的关联计算方法。 （二）教学内容解析 本节课是在学生掌握多边形内角和公式、三角形内角和、平角定义的基础上展开的，是多边形知识的深化与综合应用，也是平面几何中 “定值规律” 的重要体现，起到衔接多边形单一性质应用到综合性质应用的作用，为后续学习平面镶嵌、圆内接多边形等知识奠定核心基础。 多边形外角和定理的推导核心依托内角和公式与平角定义，通过 “n个内角与外角的和（n×180°）减去内角和(n−2)×180 °” 得出外角和为360° ，这一过程既巩固了内角和公式的应用，又让学生体会 “整体减部分” 的数学思想，同时发现多边形外角和为定值的重要规律，与内角和随边数变化形成鲜明对比。 本节课的重点是内角和与外角和的综合应用，要求学生能根据题目条件快速判断适用公式，实现 “内角和求边数、外角和求边数、正多边形内 / 外角互求” 的灵活转换，该过程能有效提升学生的几何逻辑推理、代数方程求解和综合分析问题的能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形外角和定理的推导与掌握；内角和公式与外角和定理的综合应用；正多边形内、外角的关联计算。教学难点：多边形外角和定理的推导逻辑理解；根据题目条件灵活选择内角和公式或外角和定理解决综合问题；利用外角和定理简化正多边形的相关计算。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）理解多边形外角和的定义，能准确识别多边形的外角，掌握任意多边形外角和为360∘的推导过程，明确外角和为定值的特征。 （2）能灵活运用多边形内角和公式和外角和定理，解决多边形边数、内角度数、外角度数的综合计算问题，掌握 “用外角和定理简化正多边形计算” 的方法。 （3）经历外角和定理的推导和综合应用的过程，提升代数方程求解、几何综合分析的能力，体会 “整体减部分”“化繁为简” 的数学思想。 （4）感受多边形外角和的定值规律，培养几何探究意识和综合运用知识解决问题的能力，体会数学知识的内在联系。 （二）教学目标解析 （1）学生能准确表述多边形外角和的定义：在多边形的每个顶点处取一个与内角互为邻补角的外角，所有这样的外角的和叫做多边形的外角和；能从图形中准确识别多边形的外角，明确 “每个顶点只取一个外角”“外角与内角互为邻补角（和为180°）” 的核心特征；能自主推导多边形外角和定理，理解推导的逻辑链，明确任意多边形外角和为360°，与边数无关。 （2）学生能根据已知条件，快速判断使用内角和公式还是外角和定理：已知内角和求边数用内角和公式，已知外角度数求正多边形边数用外角和定理（更简便）；能实现正多边形 “单个外角→边数→单个内角” 的互求，能解决 “内角和与外角和的数量关系求边数” 的综合问题；解题过程中能规范设未知数、列方程，做到计算准确、步骤完整。 （3）学生能在推导外角和定理的过程中，掌握 “n个平角和减内角和” 的推导方法，体会 “整体减部分” 的数学思想；在综合应用中，能梳理题目中的数量关系，选择最优解题方法，提升几何与代数结合的解题能力。 （4）学生能理解内角和与外角和的内在联系，感受外角和 “定值” 的数学规律；在综合解题中，体会多边形知识与三角形、方程知识的关联，培养综合运用知识的意识和能力。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已熟练掌握多边形内角和公式(n−2)×180°，能进行内角和、边数的基本计算；已掌握平角定义（180°），理解邻补角的数量关系，为外角和定理的推导奠定基础；已掌握正多边形的定义（各边相等、各角相等），能进行正多边形单个内角的基本计算；已具备熟练的一元一次方程求解能力，能解决几何中的代数计算问题；已理解 “转化思想”“特殊到一般思想”，能适应几何定理的推导和综合应用。 （二）认知发展特点 八年级学生的抽象逻辑思维、综合分析能力已逐步提升，能在教师引导下完成外角和定理的推导，理解 “定值” 规律；能进行单一公式的应用，但面对综合问题时，快速判断并选择最优公式（内角和 / 外角和）的能力仍需锻炼；能解决基础的正多边形计算，但利用外角和定理简化计算的意识较弱；能梳理简单的数量关系，但 处理 “内角和与外角和的数量关系”的综合问题时，仍需教师引导厘清逻辑。 （三）潜在学习困难 概念模糊：对多边形外角的定义理解不透彻，易将外角与内角的对顶角混淆，忽略 “每个顶点只取一个外角” 的条件。 推导困惑：对 “n个平角和减内角和” 的推导方法理解不清晰，无法自主梳理外角和定理的推导逻辑。 应用僵化：面对综合问题时，只会机械使用内角和公式，缺乏利用外角和定理简化计算的意识，如求正多边形边数时，仍用内角和公式而非更简便的外角和定理。 逻辑混乱：解决 “内角和是外角和的几倍”“单个内角比单个外角大多少度” 等综合问题时，无法准确梳理数量关系，列方程时易出现错误。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“推导探究法 + 对比辨析法 + 综合示范法”为主，结合 “讲练结合法”“错题分析法”“一题多解法” 开展教学。通过复习内角和公式和邻补角关系，引导学生自主推导外角和定理，体会 “整体减部分” 的思想；通过对比内角和（随边数变化）与外角和（定值）的特征，强化定理记忆；通过典型综合例题示范，引导学生梳理数量关系、选择最优公式，规范解题步骤；通过一题多解（如正多边形边数的计算，分别用内角和、外角和求解），让学生体会外角和定理的便捷性；通过讲练结合和错题分析，解决学生应用僵化、逻辑混乱的问题。 （二）学习方法指导 引导学生采用 “推导梳理法”“对比记忆法”“数形结合综合法” 进行学习。通过 “梳理邻补角关系→推导外角和定理→总结定值规律” 的推导梳理法，掌握定理的推导逻辑和核心特征；采用 “内角和（变，(n−2)×180°）与外角和（不变，360°）对比” 的记忆法，强化公式区分；采用 “数形结合识别条件→梳理数量关系→选择最优公式→列方程求解” 的综合法，解决内角和与外角和的综合应用问题，提升综合解题能力。 （三）教学手段 借助多媒体课件、多边形纸片（四边形、五边形、正六边形）、学习任务单等教具辅助教学。利用课件演示多边形的内角与外角的位置关系，明确邻补角特征；利用课件动态演示外角和定理的推导过程，清晰展示 “n个平角和减内角和” 的逻辑；利用多边形纸片让学生动手标注外角，直观感知外角和；利用学习任务单设计分层练习，兼顾不同层次学生；利用课件展示一题多解的解题过程，对比不同方法的优劣；利用课件展示典型错题，分析错误原因，强化解题规范。 五、教学过程分析 （一）情境引入 核心旧知回顾：以 “提问 + 口答 + 简单计算” 的形式梳理基础知识点，为新知铺垫：① 多边形内角和公式是什么？（n边形内角和=(n−2)×180°，n≥3且为整数）；② 正多边形的单个内角如何计算？（单个内角=(n−2)×180°÷n）；③ 什么是邻补角？邻补角的和是多少度？（互为邻补角的两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°）；④ 快速计算：正六边形的内角和是多少？单个内角是多少度？（内角和720°，单个内角120°）。 生活情境驱动：课件展示生活实例：小明沿正五边形广场的边逆时针散步，从一个顶点出发，走完一圈回到起点，他的身体转过的角度总和是多少？提问：“小明转过的角度就是正五边形的外角和，那正五边形的外角和是多少？任意多边形的外角和是否有通用规律？” 揭示课题，明确目标：教师总结：“今天我们就来探究多边形的外角和规律，推导外角和定理，并结合内角和公式进行综合应用，解决更复杂的多边形计算问题。” 明确本节课课题 ——《多边形的内角和与外角和（第二课时）》，并呈现学习目标：理解多边形外角和定义，推导并掌握外角和定理，能综合运用内角和与外角和知识解决计算问题。 设计意图：复习旧知既夯实了内角和公式、正多边形计算、邻补角关系的基础，又为外角和定理的推导做好知识和方法铺垫；生活情境让学生感受外角和的实际意义，激发探究兴趣；明确学习目标，让学生带着问题开展学习，提升学习针对性。 （二）主动参与、感悟新知 探究：成都大运会的胜利召开极大地激发了全民健身跑步的热情，八年级的小刚和小明也相约到公园跑步。小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. 小刚每从一条小路转到下一条小路时， 跑步方向改变的角是哪个角？ 他每跑完一圈，身体转过的角度 之和是多少？ 在下图中，你能求出1+2+3+4+5 的结果吗？你是怎样得到的？ 小亮是这样思考的：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．[来源:Z。xx。k.Com] 这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° 问题引申： （1）如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？ （2）如果广场的形状是八边形呢？ 目的： 通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫。 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的 外角 (exterior angle)。 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫 作这个多边形的外角和。 可以发现： 五边形、 六 边形、 八边形的外角和都等于360°。 定理：多边形外角和为360°。 例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为 （n-2）﹒180°，外角和为360°。 则根据题意， 得（n-2）﹒180°=3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形。 例2：如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 　4　． 解：设多边形的边数为n，根据题意得， （n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°． 例3：一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数是n， 由题意得（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°， 解得 n＝5， 答：这个多边形的边数是5． 【点评】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键． 例4：如图所示，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数． :解：∠P＝180°∠ACD∠CDB ＝180°（∠ACD+∠CDB） ＝180°（360°﹣∠A﹣∠B） ＝180°（360°﹣150°） ＝75°． 【点评】解题技巧：∠A+∠B+∠ACD+∠CDB＝360°，整体代入法求∠ACD+∠CDB度数． （三）课堂总结 （1）知识梳理：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识，整合多边形的内角和与外角和知识体系：多边形的内角和与外角和（第二课时）→外角和：定义（每个顶点取一个外角）、推导（n×180°−内角和）、定理（任意多边形为360°，定值）→综合应用：正多边形内 / 外角互求（优先外角和）、单个内 / 外角求边数、内角和与外角和数量关系求边数→公式选择：优先外角和定理，简化计算。 （2）方法与思想总结：总结本节课的核心学习方法和数学思想： 推导方法：整体减部分法（n个平角和减内角和）； 解题方法：一题多解法、公式优选法、数形结合法、方程法； 数学思想：化繁为简思想（用外角和简化计算）、方程思想（几何问题代数化）、对比思想（内角和与外角和对比）。 （3）易错点重点提醒：再次强调本节课的核心易错点，让学生在后续解题中规避：① 多边形外角的定义：是邻边的反向延长线组成的角，不是对顶角；② 每个顶点只取一个外角，避免重复计算；③ 综合问题认真审题，准确梳理内角和与外角和的数量关系；④ 正多边形计算，优先用外角和定理，简化过程。 （4）知识延伸：教师提问：“我们知道了多边形的内角和与外角和，那这些知识能解决生活中的什么问题呢？比如为什么地砖一般是正方形、正六边形，而不是正五边形？” 为后续平面镶嵌的学习埋下伏笔，让学生感受数学与生活的联系。 设计意图：思维导图梳理知识，让学生形成完整的多边形内角和与外角和知识体系，厘清知识间的内在联系；方法与思想总结让学生提炼本节课的核心方法，提升自主学习和综合解题能力；易错点提醒帮助学生规避解题误区，提升解题准确率；知识延伸激发学生的探究兴趣，让学生感受数学的实际应用价值。 （四）布置作业、巩固提高 1.从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为　八　边形． 解：设多边形有n条边，则n﹣2＝6， 解得：n＝8， 故多边形是八边形． 故答案为：八． 【点评】本题考查了多边形的性质，掌握多边形的性质是解题的关键． 2.已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的3倍． （1）这个多边形是几边形？ （2）求这个多边形的内角和． 解：（1）设这个多边形的每个外角都为x°，则与它相邻的内角为3x°，由题意得： x+3x＝180， 4x＝180， x＝45， ∴这个多边形的边数为：360÷45＝8， ∴这个多边形是八边形； （2）由（1）可知这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为： （8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和为360°． 3.已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数为n，根据题意得： （n﹣2）×180°﹣360°＝（10﹣2）×180°， 解得：n＝12． 答：这个多边形的边数为12． 【点评】本题考查了多边形的内角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $