20.2 勾股定理逆定理及其应用 同步练习-2025-2026学年八年级下册数学人教版

20.2 勾股定理逆定理及其应用 一、选择题（共10小题） 1．（2025秋•普宁市期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．4、5、8 2．（2025秋•南京期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，视下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 3．（2025秋•莲湖区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A． B．7，24，25 C．2，3，4 D． 4．（2025秋•崂山区期末）下列各组数，能构成直角三角形的一组是（　　） A．2，3，4 B．2，， C．6，8，11 D．4，6， 5．（2025秋•渠县期末）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13 6．（2025秋•二七区校级期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．5，12，13 C．，4，7 D．9，15，17 7．（2025秋•衡阳县期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2： 8．（2025秋•青羊区校级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的三条边长，不能构成直角三角形边长的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．8，12，16 9．（2025秋•龙泉驿区期末）下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．12，18，22 D．7，8，9 10．（2025秋•澧县期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．a2＝3，b2＝4，c2＝5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a2＝c2﹣b2 二、填空题（共10小题） 11．（2025秋•调兵山市月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　 　 ． 12．（2024秋•榆林期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　 ． 13．（2025秋•苏州期中）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…根据上面的规律，第6个勾股数组为　 　 ． 14．（2025秋•晋江市期末）在△ABC中，，BC＝3，AC＝2，则∠ACB的度数为　 　 ． 15．（2025秋•聊城期末）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 16．（2025秋•松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　 　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 17．（2025秋•紫金县期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　 ． 18．（2025秋•莱西市期末）如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝　 　 ． 19．（2025秋•大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　 　 三角形． 20．（2025秋•浦东新区校级期末）下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③∠A＝90°﹣∠B；④b2＝（a+c）（a﹣c）；⑤∠A＝2∠B＝3∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　 （填序号）． 三、解答题（共5小题） 21．（2025秋•朝阳区校级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 　 　 三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？ 22．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 23．（2025秋•金凤区校级期末）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC＝9m； ②在AC的一侧选点D，使BD＝12m，CD＝15m； ③测得AD＝20m． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 24．（2025秋•红古区期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均在格点上．猜想△ABC的形状，并说明理由． 25．（2025春•泗阳县期末）已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值． （1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有 　 　 ． ①5 ②25 ③49 （2）求A（65）﹣A（20）的值． （3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为，求m的值． 参考答案 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】根据勾股定理即可判断． 【解答】解：A、62+72≠102，不符合题意； B、122+162＝202，符合题意； C、12+22≠32，不符合题意； D、42+52≠82，不符合题意． 故选：B． 2．【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且满足勾股定理a2+b2＝c2（其中c最大），按照勾股数定义逐项判断即可得到答案． 【解答】解：A：、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B：0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C：2，3，4均为正整数，但22+32≠42，2，3，4不是勾股数，不符合题意； D：7，24，25均为正整数，且72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；故选：D． 3．【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理逐项计算判断即可． 【解答】解：A、∵，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、∵72+242＝252，能构成直角三角形，故符合题意； C、∵22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、∵（）2+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 4．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：A、∵22+32≠42， ∴长为2，3，4的一组数不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵（）2+（）2≠22， ∴长为2，，的一组数不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵62+82≠112， ∴长为6，8，11的一组数不能构成直角三角形，不符合题意； D、∵42+（2）2＝62， ∴长为4，6，2的一组数能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解． 【解答】解：∵22+32≠42，（），42+62≠92，52+122＝132， ∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长， 故选：D． 6．【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵52+122＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵（）2+42＝19，72＝49， ∴（）2+42≠72， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵92+152＝306，172＝289， ∴92+152≠172， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 7．【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可． 【解答】解：A、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形； B、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形． C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形； D、正确，12+（）2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立； 故选：B． 8．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、82+122≠162，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 9．【答案】B 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 【解答】解：A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵122+182＝144+324＝468，222＝484， ∴122+182≠222， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵72+82＝49+64＝113，92＝81， ∴72+82≠92， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵a2+b2＝3+4＝7，c2＝5， ∴a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝5，b＝12，c＝13， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】13，84，85． 【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 12．【答案】25 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 13．【答案】（13，84，85）． 【分析】观察勾股数组的规律，第n个数组的第一个数为2n+1，第二个数为2n（n+1），第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【解答】解：观察勾股数组的规律，第n个数组的第一个数为2n+1，第二个数为2n（n+1），第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数a＝2×6+1＝13， 第二个数b＝2×6×（6+1）＝12×7＝84， 第三个数c＝84+1＝85， 所以根据上面的规律，第6个勾股数组为（13，84，85）． 故答案为：（13，84，85）． 14．【答案】90°． 【分析】根据勾股定理逆定理求解即可． 【解答】解：∵，BC＝3，AC＝2， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故答案为：90°． 15．【答案】1． 【分析】根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1， ∴BC， ∵AB＝3，AC＝2， ∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC1， 故答案为：1． 16．【答案】①②③． 【分析】根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°， 由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ④a＝1，，c＝3，∵， ∴a+b＜c， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：①②③． 17．【答案】45°． 【分析】连接AC，先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，故可得出∠ABC＝45°，则∠ABE+∠2＝45°，再根据平行线的性质得出∠1＝∠ABE即可得出结论． 【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 18．【答案】45°． 【分析】连接AC，利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，由AC＝BC即可求解． 【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴AC，BC，AB， ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， 故答案为：45°． 19．【答案】等腰直角． 【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， ∴a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b，且a2+b2＝c2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 20．【答案】①③④． 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为90°或满足两边平方和等于第三边的平方． 【解答】解：根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项分析判断如下： ①由条件可知2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故①符合题意； ②设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°， 解得k＝15°， ∴∠C＝75°≠90°， ∴△ABC不是直角三角形，故②不符合题意； ③由条件可知∠A+∠B＝90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故③符合题意； ④∵b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，满足勾股定理的逆定理， ∴△ABC是直角三角形，故④符合题意； ⑤设∠C＝k，则∠A＝3k，∠B＝1.5k， 由条件可知3k+1.5k+k＝5.5k＝180°， 解得， ∴， ∴△ABC不是直角三角形． 故能确定△ABC是直角三角形的条件有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）锐角； （2）x＝17或． 【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可； （2）分为两种情况，12为最长边或x为最长边，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81， ∴92＜72+82， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）当最长边是15时，x； 当最长边是x时，x17， 即x＝17或这个三角形是直角三角形． 22．【答案】（1）； （2）14． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于△ABC与△ADC的面积之和，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴． 则AC的长为2； （2）∵，，， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD ＝14． 则四边形ABCD的面积为14． 23．【答案】16m． 【分析】由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：∵CD2＝225，BC2＝81，BD2＝144， ∴BC2+BD2＝CD2＝225， ∴△BCD为直角三角形， ∴∠CBD＝∠ABD＝90°， ， 所以池塘两端A、B之间的距离16m． 24．【答案】△ABC是直角三角形，理由如下： 根据图知，AC2，BC，AB5， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 【分析】利用勾股定理求出△ABC的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形． 【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下： 根据图知，AC2，BC，AB5， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 25．【答案】（1）①； （2）20或0； （3）m的值是29或45． 【分析】（1）根据“可媲美勾股数”的定义即可判断； （2）先确定65＝42+72，20＝22+42，从而计算A（65）和A（20）的值，相减即可，当65＝12+82时，同理可解答； （3）先根据新定义可得m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy，则（x﹣y）2＝9，可得x﹣y＝±3，结合18＜m＜60，即可解答． 【解答】解：（1）①5＝22+12，则5是一个“可媲美勾股数”； ②25＝32+42，则25是一个“可媲美勾股数”； ③49＝72，则49不是一个“可媲美勾股数”； 故答案为：①②； （2）∵20＝22+42， 当65＝42+72时， ∴A（65）＝4×7＝28，A（20）＝2×4＝8， ∵A（65）﹣A（20）＝28﹣8＝20； 当65＝12+82时， ∴A（65）＝1×8＝8，A（20）＝2×4＝8， ∵A（65）﹣A（20）＝8﹣8＝0； 综上，A（65）﹣A（20）的值是20或0； （3）由题意得：m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝m﹣29， ∴x﹣y＝±3， ∴m＝（y+3）2+y2， ∵18＜m＜60， ∴当y＝2时，m＝52+22＝29， 当y＝3时，m＝62+32＝45， 综上，m的值是29或45． 学科网（北京）股份有限公司 $