6.3平面向量基本定理及坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理 及坐标表示 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 学习目标 1、理解平面向量基本定理及其意义，掌握基底的概念。 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，能写出给定向量的坐标，知道点的坐标与向量坐标的区别与联系。 3、能运用定理和坐标表示进行向量的加、减、数乘、数量积运算，初步体会坐标法解决几何问题的思路。 4、发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养，体会将几何问题代数化的基本思想（坐标思想）。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 物理情境：如图，一个物体所受合力为，我们知道，它可以分解成与斜面平行的力和垂直于斜面的力，那么同学们，这种分解是唯一的吗？ 那么在数学中，如果给定一个向量，我们能否用两个确定的不共线的向量，来表示呢？如果能表示，这种表示方式是唯一的吗？这就是本课要解决的问题—平面向量基本定理。 很显然，并不唯一。我们也可以将合力分解为水平向右的力和竖直向上的力。 02 新知探究 新知探究 ■1、平面向量基本定理 如图，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量。在平面内任取一点，作， ，，将按的方向分解，你有什么发现？ 根据平行四边形法则， 由与共线， 与共线可得，存在实数，，使得， ，所以。 新知探究 ■1、平面向量基本定理 平面向量基本定理： 如果， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量， 有且只有一对实数， ，使。 若， 不共线，那么为表示这一平面内所有向量的一个基底 随堂练习 1、如图，，不共线，且，,用，表示。 解：因为， 所以。 随堂练习 2、如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。 解：如图，设，， 则，，于是. 因为，所以 因为， ，所以， 因此，于是是直角三角形。 向量的数量积是否为0是判断两条直线是否垂直的重要方法之一。 新知探究 ■2、平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量作正交分解。 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？ 在平面直角坐标系中，设与、方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底，那么对于平面内任一向量，根据平面向量基本定理，有且只有一对实数，使得，我们把有序实数对叫做的坐标，记作。 向量的坐标表示 显然， ， 新知探究 ■2、平面向量的正交分解及坐标表示 在平面直角坐标系中，以原点为起点作，设， 则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标 也就是向量的坐标。即。 随堂练习 如图，分别用基底向量表示向量，，，，并求出它们的坐标。 解： ，所以 同理， 新知探究 ■3、平面向量加、减运算的坐标表示 已知，求， 的坐标。 ， ， 即. ， 即. 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 新知探究 ■3、平面向量加、减运算的坐标表示 如图，已知，，求的坐标。 因为，， 所以，， 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 随堂练习 1、已知向量，，求， 的坐标。 解： ，。 2、已知两点的坐标，求向量的坐标。 （1） （2） 解： （1），（2）。 新知探究 ■4、平面向量数乘运算的坐标表示 已知，求的坐标。 ，即。 实数与向量积的坐标分别等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 设 ，，其中，那么向量共线的充要条件是存在实数，使得，用坐标进行表示为： ，则得到，消去得。 向量共线的充要条件是。 随堂练习 2、已知向量，，且，求。 解： 因为，所以，解得。 1、已知向量，，求， 的坐标。 解： 新知探究 ■5、平面向量数量积运算的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 已知，，求。 ， 因为， ， ， 所以。 结论： （1）若，则或 （2）设为非零向量， ，，则 （3）设为非零向量， ，，是的夹角， 则 随堂练习 设向量，，求及 的夹角。 解： 。 利用计算工具可得。 03 讲练互动 讲练互动 1、如图，，，是的三条中线，，，用，表示，，，。 解： 考查知识点：平面向量基本定理 讲练互动 2、已知，若向量的终点坐标为，则的起点坐标为（ ）。 A. B. C. D. 解：C. 设的起点坐标为，因为向量的终点坐标为， 所以， 所以有，解得， 所以的起点坐标为。 考查知识点：平面向量的正交分解及坐标表示 讲练互动 考查知识点：向量加、减运算的坐标表示 3、已知向量，的坐标，分别求， 的坐标。 （1） ， （2） ， 解： （1）， 。 （2）， 。 讲练互动 考查知识点：向量数乘运算的坐标表示 4、当为何值时，向量，共线？ 解： 要使得，共线， 则，解得。 所以当时， ，共线。 讲练互动 考查知识点：向量数量积运算的坐标表示 5、已知向量，，， 求，，，。 解： 讲练互动 6、已知点，，，向量，当时，分别求点的坐标。 答案： 因为，，，所以， 当时， ，此时点的坐标为； 当时， ，此时点的坐标为； 当时， ，此时点的坐标为； 当时， ，此时点的坐标为； 综合考查 讲练互动 7、求证：以，，，为顶点的四边形是矩形。 证明： 因为，，，， 所以， ， 由于，所以。 因为， ，所以 所以四边形为平行四边形。 又， ， 所以 ， 所以，故四边形为矩形。 综合考查 04 本课小结 本课小结 平面向量基本定理： 如果， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量， 有且只有一对实数， ，使 把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量作正交分解 ，记作，这是的坐标表示 向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标，也就是向量的坐标。即 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 实数与向量积的坐标分别等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量共线的充要条件是 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 作业布置：教材36页第3、6、7、9、10题 THANK YOU 主讲人：XXX EV录屏5.4.5软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $