专题05 相似三角形的判定与性质（4大考点，84题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 相似三角形的判定与性质（4大考点，84题） 4大考点概览 考点01相似三角形的性质 考点02相似三角形的判定 考点03相似三角形实际应用 考点04相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的性质 考点1 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个三角形的相似比为． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为． 故选：A． 2．（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 4．（2026·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，根据可推出，则可证明得到，据此可判断A；根据和可证明得到，据此可判断B；同理可判断C；由无法证明，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故A选项不符合题意， B、∵， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， C、同理由可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意， D、由无法证明，故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 1．（2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 2．（2026·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，通过面积比求相似比，再得周长比即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为0.25，即， ∴相似比为， ∴周长比为，即． 故答案为：． 3．（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是 ． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 4．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么 ． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 6．（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2026·上海虹口·一模）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 8．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如果两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比直接得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比， 周长之比为， 相似比为． 故答案为：． 10．（2026·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故答案为：3 ． 11．（2026·上海徐汇·一模）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 【答案】 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比． 三、解答题 1．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，从而可得，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再求得，然后证明，从而可求得与的面积之比； （2）先得出，再求得，，从而可求得，再求得即可． 【详解】（1）解：作于点E，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； （2）解：作于点L，则，    ∴， ， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用相似三角形的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 相似三角形的判定 考点2 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，结合线段比例关系与相似三角形判定来推导平行关系．关键是利用“两边对应成比例且夹角相等，则三角形相似”，进而推出同位角相等，判定两直线平行． 【详解】解：∵， ∴． ∵点、分别在、的反向延长线上， ∴． 已知，则，若要判定，还需满足边的关系是． 选项A中，不满足比例关系，不合题意； 选项B中∵， ∴， ∴，满足题意； 选项C中，推得，不合题意； 选项D中仅为线段长度比，无夹角相等条件，无法判定相似与平行． 故选：B． 2．（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 3．（（2026·上海崇明·一模））在和中，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定，核心是利用等腰三角形的底角相等，结合相似三角形的“两角对应相等，两三角形相似”判定定理进行分析． 【详解】解：已知中，故；中，故． A选项：，因、，该比例恒成立，但仅两边成比例且无夹角相等，无法判定相似，故A错误； B选项：，由可得，结合仅能说明为等边三角形，无法推出与相似，故B错误； C选项：，是的底角，是的顶角，无法推出两组角对应相等，故C错误； D选项：，结合等腰三角形性质，可得，即两组角对应相等，根据“两角对应相等，两三角形相似”，可判定，故D正确． 故选：D． 4．（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 5．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 6．（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 二、解答题 1．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是锐角，，垂足为E，对角线垂直平分线交于点M，交的延长线于点N，交于点P．已知． (1)在中， ①写出与一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与不一定相似的三角形，如果它与相似，求出它们的相似比． (2)如果，求的正弦值． 【答案】(1)与不一定相似，相似比为或 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质和平行线定理得，利用等量代换得，，即可证明；②由题意得与不一定相似，当时，得，结合勾股定理得，求得，进而求得，由相似三角形的性质和等量代换得，求得，进而求得，再由，求得，即可求解；当时，由相似三角形的性质和等腰三角形的判定可得，进而得，再由等腰三角形的性质和勾股定理求得，由，得，进而求解即可； （2）连接，根据垂直平分线的性质得，由等边三角形的性质得，设，则，利用勾股定理求得，进而得，利用勾股定理列方程求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②与不一定相似，当时， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相似，如果它与相似，相似比为或； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， 当时，，不合题意， 当时，， ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质、解一元二次方程、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 相似三角形实际应用 考点3 一、单选题 1．（2026·上海静安·一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【答案】A 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（   ） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题 1．（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是 米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 2．（2026·上海金山·一模）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆 听． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意，易得两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵形状相同的两个三角形绿化标牌， ∴两个三角形相似， ∵两块标牌对应边的长度比为， ∴两块标牌的面积比为， ∵小标牌涂满漆用了半听环保漆， ∴大标牌涂满漆需要环保漆听环保漆； 故答案为：2 3．（2026·上海闵行·一模）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的 （填“几分之几”）． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．（2026·上海金山·一模）某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设为岛的顶点，过点的铅垂线与地面的交点为，则岛的高度即为．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点较近的点处，从点处透过测量杆的上端望岛顶的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点．第二次，把测量杆竖直立在距离点较远的点处三点在一条直线上），同样地，从点处透过测量杆的上端望岛顶（即测量线）的连线延长后交地面于点．连接并延长交于点． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点作的平行线．．．．．．； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． (1)求证：； (2)求证：①； (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设是矩形的对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点，直线分别与边交于点，那么矩形的面积等于矩形的面积．说理如下：如果把图形看作由移置到处，同时、各移到、，那么依据出入相补原理，得（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，合比的性质，等比的性质； （1）利用得，再利用合比的性质可将转化为； （2）由（1）可得，再利用等比的性质可得； （3）在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，由出入相补原理得：，得出，，进而得出，再由等比的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴由等比的性质得：． （3）证明：如图所示，在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形， 由出入相补原理得：，， ∴，， 将上述等积式写成比例式得：，， ∵，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴由等比的性质得：． 二、单选题 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，点分别在的边上，下列条件中一定能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由，能得到，故选项符合题意； B、由，不能得到，故选项不符合题意； C、由，不能得到，故选项不符合题意； D、由，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（2026·上海闵行·一模）如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先结合，得出，，，，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，则，故该选项不符合题意； B、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意； C、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ，， 则不一定相等， 则不一定相等，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，，证明，整理得，又因为，，求出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026·上海松江·一模）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②． 【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是上的点，且， ∴都是等腰三角形， 此时满足，但是和不相似， ∴命题①是假命题； 当两个三角形都为锐角三角形时， 如图2所示，中，，中， ， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴； 同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似， 综上所述，命题②是真命题； 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，点D在边上，点E、F在边上，．下列条件中，不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据相似三角形的性质与判定，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， 选项A：∵，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 选项B：∵，∴，不能得到，符合题意； 选项C：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，不符合题意； 选项D：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 故选：B． 6．（2026·上海松江·一模）已知四边形的对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，向量的相关知识，若两个非零向量满足（其中k是实数，且），那么，且，则，证明得到，据此可判断A、B；可证明与不平行，与不平行，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确，B不正确， ∵四边形的对角线交于点， ∴与不平行， ∴，故C不正确； ∵， ∴四边形不是平行四边形， ∴与不平行， ∴，故D不正确； 故选：A。 7．（2026·上海徐汇·一模）如图，矩形中，点E在边上，点F在边的延长线上，，与对角线交于点I，与对角线交于点G，与边交于点H．则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质并根据已知条件逐一分析各选项的三角形是否相似即可． 【详解】解：在矩形中， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故D项成立， ∴， ∵， ∴， ∴，故C项成立， ∵，， ∴，故A项成立， ∴不一定成立的是， 故选：B． 8．（2026·上海嘉定·一模）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上，作于H，交于P，已知．下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，根据正方形的性质得出，，，则可证明，根据相似三角形的性质得出，结合，可得，证明四边形是平行四边形，得出，然后根据相似三角形的性质可得出，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，即，故选项A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故选项B正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故选项D正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C错误， 故选：C． 相似三角形的判定与性质综合 考点4 一、填空题 1．（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 2．（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在中，点D、E分别在边、上，．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 先证明，可得，再利用，从而可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 4．（2026·上海静安·一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到的值是解题的关键． 根据题意可证，得到，由题意设，则，由此列式得，解得，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 5．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理等，证明，可得，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知，，， 设，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 6．（（2026·上海崇明·一模））如图，已知在四边形中，，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关性质的应用是解题的关键． 作的平分线，交于点，进而证得，得到，进而可得，再根据相似比求即可． 【详解】解：作的平分线，交于点， ， 又， ， ， ，且， ， ， 即，解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 8．（2026·上海金山·一模）在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 通过作平行线构造相似三角形，列出比例式求解，结合点F的运动路径求解即可得出k取值范围． 【详解】解：过点C作交的延长线于点G，连接交于点O， 则， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以， 而， 所以， 因为以为斜边作直角三角形， 所以点F在以为直径的圆上运动， 当点F与点E重合时，P与F重合，此时，但不存在直角三角形， 故， 综上所述，． 因为， 所以， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知四边形对角线与交于点O，，．如果，那么 度． 【答案】68 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点是做题的关键﹒由条件，，可得，同理可得，再根据角之间的关系，即可求出的度数﹒ 【详解】解：如图， ，（对顶角相等）， ， ﹒ 同理可得，， ﹒ 设，则， ﹒ 因为，即， 解得， 又， ﹒ 故答案为：68﹒ 10．（2026·上海闵行·一模）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，由黄金分割的定义可得，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 点是 的黄金分割点，且， ∴ ， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．连接，在格点上取、、、，使得，，得到，，推出，证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，在格点取、、、，使得，， 由图可知，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例，根据题意得，，得，得，设，，列比例方程求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵、分别平分、，， ∴，， ∴，，， ∴； 设，， ∵，，，则，，， 解得， ∴， 故答案为． 13．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，重心，相似三角形的判定与性质，先根据点和分别是和的重心，得，，证明，因为，得，整理得，所以，故，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于点， ∵点和分别是和的重心． ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，由沿翻折至，得，，，证明，由的面积是面积的，即，故有，即，设，则，由，得，解得：，所以，再证明，得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿翻折至， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 由，得，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，正方形DEFG的顶点均在的边上，，，BC边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是利用正方形的对边平行，得到，再根据相似三角形的高与对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设边上的高为． ∵正方形的边， ∴． ∵，，的高为， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 16．（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，根据，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为： 17．（2026·上海松江·一模）如图，已知，与交于点，，，，那么的长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，求出，进而得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：18． 18．（2026·上海嘉定·一模）如图，点是正方形边上一点，且，点是边的中点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等，根据和是的中点，可以求得，即可求证，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， 又是的中点， ， ． 又， ， ， 故答案为：． 19．（2026·上海徐汇·一模）如图，线段与相交于点O，已知，已知，当 时，． 【答案】 【详解】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件可推断出，证得，利用相似三角形的性质得出，进而证得，再根据相似三角形对应边成比例求得的值，最终求得结果． 解：当，时， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：6． 20．（2022九年级·上海·专题练习）如图，梯形中，，对角线相交于点O，如果的面积是面积的2倍，那么与的面积之比是 . 【答案】 【分析】过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N，根据已知易得，再根据，从而可得，然后再证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，从而可得，最后根据与的高相等，即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的高相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2026·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 22．（2026·上海静安·一模）如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由，，，得，，，所以，，，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题 1．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 2．（（2026·上海崇明·一模））如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点．    (1)当时，求的长； (2)设，请用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算，涉及相似三角形的对应边成比例、向量的分解与数乘等知识点． （1）通过证明三角形相似，利用相似比结合已知线段长度求解； （2）先将对角线向量用已知向量表示，再结合相似比得到目标向量的表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵且， ∴， ∵，且， ∴， 由（1）知，即， ∴． 3．（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 4．（2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数，梯形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再根据角的关系可得，进而得到即可证明； （2）由勾股定理得，，再证，得到，进而得到，，再利用代入计算即可． 【详解】（1）证明：设相交于点， ，则可设，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：根据题意，， ， ， ， ， ，即， ， 解得， ， 解得，， 由（1）知，即， ． 5．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 6．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过对已知条件变形得到比例式，结合公共角证明，利用相似三角形对应角相等及等腰三角形的性质，推导得出； （2）先利用第（1）问的相似结论得到角相等，结合等腰三角形的性质推导出角相等，再通过三角形外角性质与角的代换，证明新的相似三角形，最终利用相似三角形对应边成比例完成等积式的证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即； （2）证明：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例． 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． (1)设，试用的线性组合表示向量； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了向量的线性运算，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先表示出，再由四边形法则求解即可； （2）先解求出，然后证明四边形为平行四边形，再由求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知菱形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明得到，证明，得到，则可得到，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，由相似三角形的性质得到，则，则可证明，即，再由三线合一定理可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 又∵是的中点， ∴，即． 9．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点E、F分别在边上，与交于点G，的延长线与的延长线交于点． (1)求； (2)设，那么 ， ．（用向量表示） 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，向量的线性运算，熟知相似三角形的性质与判定定理和向量的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，由平行四边形的性质可得，证明推出，据此根据线段的和差关系求解即可； （2）可证明，根据，可得，则；证明，得到，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点，且，． (1)求证：； (2)连接．如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，全等三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，推出，得到，证明，得到；由相似三角形的性质可得，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）由，，求出，得到，由，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，点在边上，、的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明， 结合已知的， 证明，得到 ，通过角的等量代换证明，根据平行线的性质得到，从而可证； （2）证明，得到，结合平行四边形的对应边相等，即，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 14．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，已知，点E是的中点，连接交于点G． (1)如果的面积等于5，求的面积； (2)设，，求向量关于向量、的分解式． 【答案】(1)45 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可； （2）作，证明，推出，，证明四边形为平行四边形，得到，再根据三角形法则，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5， ∴的面积为； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 15．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，证明，得到，则，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 16．（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出，进而推出，证明，即可得证； （2）证明，得到，等角的余角相等结合对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明，结合可证明； （2）根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·上海徐汇·一模）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，得到，，可证明，则可证明； （2）证明，则可证明，推出，证明，得到，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 19．（2026·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得到，则，即，如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理可得，，，根据三角函数的计算得到，在中，，，，可求出，， 则，在中，由勾股定理可得，所以有，由此即可求解； （4）由（3）可知，分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， 如图所示，连接，过点作于点， ∵，是中点，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴. （4）解：由（3）可知， 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数解析式的计算，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． 20．（2026·上海静安·一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 21．（2026·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，中，点D在边上，． (1)设，，那么______．（用含有向量和表示） (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了向量的运算和相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算法则和相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意可推出，则有，再根据计算即可解答； （2）根据题意易证，得到，结合，，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 23．（2026·上海静安·一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【答案】(1)③，错误原因见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）由三角形一边的平行线的判定方法错误可得答案； （2）如图，在上截取，过点G作交于点H．证明，证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：第③步出现错误；错用三角形一边的平行线的判定定理； （2）证明：如图，在上截取，过点G作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 在与中，，，       ∴． ∵， ∴． ∴． 试卷第88页，共88页 试卷第87页，共88页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05相似三角形的判定与性质(4大考点，84题) ☆4大考点概览 考点01相似E角形的性质 考点02相似三角形的判定 考点03相似以三角形实际应用 考点04相似三角形的判定与性质综合 考点1 相似三角形的性质 一、 单选题 1.（25-26九年级上·上海崇明·期末)如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的 比为() A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 2.(2026上海松江一模)已知ABC与aDEF相似，LA=40°，LD=60°，那么∠C的度数可能是() A.40° B.50° C.809 D.100° 3.(25-26九年级上·上海奉贤.期末)一个三角形框架模型的边长分别为20cm,30cm,40cm,工人师傅要 利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两 段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是() A.80cm B.67.5cm C.60cm D.52.5cm 4.(2026·上海嘉定一模)在ABC中，点M、N分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中不能推得 MN∥BC的是() A. AM AN B. AB。AC C.BM_CN AM MN D. BM CN AM AN AB AC AB BC 二、填空题 1.(2026上海闵行一模)如果两个相似三角形的面积之比为16：9，那么它们的周长之比是 2.(2026上海长宁.一模)如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 3.(2026上海黄浦一模)已知4BC与DEF相似，相似比为，如果DEF的面积是36，那么ABC的 面积是 4.(2026上海虹口一模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格 点上，连接AB、CD交于点E,那么CE的值是 DE 试卷第87页，共88页 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026上海闵行一模)如图，在ABC中，点M、N分别是AB、BC的中点，连接AN、CM交于点G, GF∥AC交BC于点F,那么SNGF:S.GAc= 6.(2026上海长宁.一模)如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点A、B的线段交网格 线于M、N两点，那么AM:MN:BN=_ 7.(2026上海虹口一模)己知两个相似三角形的相似比为2：3，且这两个三角形的周长之和为25，那么其 中较小三角形的周长是 8.(2026上海松江·一模)已知ABC中，∠ACB=90°，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACQ与 PO BPQ相似，且△APO是等腰三角形，那么A 的值是」 9.(25-26九年级上·上海青浦·期末)如果两个相似三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的相似比 是 10.(2026·上海静安.一模)把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的9倍，那 么它的周长扩大为原来的倍。 11.(2026上海徐汇一模)如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 三、解答题 1.(2026上海徐汇一模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O ·己知AB=2,AD=8,BC=10. 试卷第88页，共88页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (I)求AOB与△COD的面积之比； (②)求∠DBC的正弦值， 考点2 相似三角形的判定 一、单选题 1.(25-26九年级上上海崇明·期末)如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知 AC=2AE,下列条件中能判定DE∥BC的是() B A.D、1 AB 3 B. BD 3 C02 BD 3 D.21 BC2 2.(2026上海长宁，一模)在三角形纸片ABC中，AB=10,BC=12,AC=6,那么按图中数据沿虚线剪下 的阴影部分三角形与ABC相似的是() B B B3D C D. D3C 3.(2026·上海崇明·一模)在ABC和aDEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断 ABC和ADEF相似的是() A是B祭 C.∠B=∠D D.ZC=ZE 4.(2026上海虹口一模)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA、BC,分别交直线DE于点M 、N,如果添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,那么这个条件是() 试卷第87页，共88页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A E 4 3 B A.∠2=∠3 B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠B+∠1=180 5.(25-26九年级上·上海青浦·期末)己知BD是四边形ABCD的对角线，∠BDC=∠A,下列补充的条件中， 不能判定△ABD和△BCD相似的是() A.∠ABD=∠CBD B.∠ADB=∠C C.AB·DC=AD·DB D.BD2=AD·CD 6.(2026上海闵行·一模)下列各组图形中不一定是相似图形的是() A.两个等腰直角三角形 B.两个等边三角形 C.两个正方形 D.两个直角三角形 7.(2026上海徐汇一模)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁， 其中互为相似形的是() 甲 乙 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.甲和丁 D.丙和丁 二、解答题 1.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如图，在口ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC,垂足为E,对角线AC垂 直平分线MN交AD于点M,交AE的延长线于点N,交AC于点P.已知AD=8,CD=5. M D B E (I)在△ABE,△AEC,△APN中， ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由； 试卷第88页，共88页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比. (②)如果AE=EN,求∠B的正弦值 2.(25-26九年级上·上海普陀·期末)已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F, ∠AED=∠B,AE2=AF·AC. B E (I)求证：△ABE∽△ECF; (2)如果D AC EC ,求证：DE·AC=AE,BC. 考点3 相似三角形实际应用 一、单选题 1.(2026·上海静安一模)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆 的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的() A.图形的相似 B.图形的平移 C.图形的旋转 D.图形的翻折 2.(25-26九年级上·上海宝山·期末)我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象.墨子曾 进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒 立的人像.己知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的 长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是() 暗室 小孔 A.人向暗室后退2米 B.人向暗室前进2米 C.人向暗室后退4米 D.人向暗室前进4米 二、填空题 1.(2026上海松江一模)如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD=2.7米，标杆 与旗杆的水平距离BD=16米，人的眼晴与地面的距离EF=1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆 CD的水平距离DF=2米，那么旗杆AB的高度是 米. 试卷第87页，共88页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 2.(2026上海金山一模)为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆 大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂 满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆听 3.(2026上海闵行一模)如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的.如 图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段.在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与 手的距离为1米.在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原 来的 (填“几分之几”). 手 影 光源 墙 (图①) (图②) 三、解答题 1.(2026上海金山一模)某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究. 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法.最早见于《周髀算经》.刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、 测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也.”如图1，“日去地”减去表高与表高之比 CE或南戴日下与南影之比 BE CM 等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比 CD-CM 后者 MK DA-MK 是两个差数，故有“重差”的称谓.下面作简要介绍. 如图1，为了测量海岛的高度，设B为岛的顶点，过点B的铅垂线与地面的交点为C,则岛的高度即为BC,接 下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点 C较近的点M处，从点M处透过测量杆的上端Q望岛顶B,BQ的连线（把它叫做测量线）延长后交地面 于点K.第二次，把测量杆竖直立在距离点C较远的点D处(M、D、C三点在一条直线上)，同样地，从点 D处透过测量杆的上端P望岛顶B,BP(即测量线)的连线延长后交地面于点A.连接PQ并延长交BC于 点E. 求：E阳0微8份-议® 试卷第88页，共88页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 日(B) Ⅲ 入 O I 表高 K I 地(C) M南影D北影 R 图1 图2 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明E-CM CE MK 和①或②成立.大家分别提 出了自己的分析或证明思路， 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质 有关知识加以解决： 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记∠BKC=,∠A=B; 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点P作BK的平行线. 请根据同学们提出的分析或思路完成(1)和(2). (1)求证： BE CM CE MK (2)求证： BE_CD-CMD: CE DA-MK (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设O是矩形FGHN的对角线FH上任意一点，过 点O分别作一组邻边的平行线TW、SR,直线TW分别与边FN、GH交于点T、W,直线RS分别与边 FG、NH交于点R、S,那么矩形TOSN的面积等于矩形ROWG的面积.说理如下：如果把图形看作由 △FHN移置到△FHG处，同时I、Ⅱ各移到'、IP,那么依据出入相补原理，得Ⅲ=Ⅲ'（指面积相等）.请 利用这个结论证明①成立 二、单选题 1.(25-26九年级上·上海浦东新期末)如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，下列条件中一定能判 定DE∥BC的是() D 试卷第87页，共88页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. AD AB B. DE AD C. AD AE D. AEAB AE AC BC AB AC AB EC BD 2.(2026上海闵行一模)如图，己知ABC,直线I与边AB、AC分别相交于点D、E,直线马与边 AB,AC分别相交于点F、G,I∥I∥BC,那么下列比例式一定正确的是() A. AD DE B. AD AE C.FG"BC DE FG D. DF GC DF GF BF GC BF EG 3.(2026上海虹口一模)如图，在ABC中，AB=2AC,点D在边AB上，且∠ACD=∠B,如果AD=2, 那么BD的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2026上海松江一模)已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是() A.①和②都是真命题 B.①和②都是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 5.(25-26九年级上·上海普陀期末)如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC ·下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是() DE DF EF FC B. BF BC C.FC"BC EF DF D. CF EF AC AF 试卷第88页，共88页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026上海松江·一模)己知四边形ABCD的对角线交于点0，如果AB=2DC,那么下列结论正确的是() A.AO=20C B.BO=2D0 C.AC=BD D.AD=BC 7.(2026上海徐汇一模)如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE, DE与对角线AC交于点I,EF与对角线AC交于点G,与边DC交于点H.则下列结论不一定成立的是() A.△DFH∽△GAE B.△ADE∽△DCA C.△DAI∽△GEI D.△DFH∽aGCH 8.(2026·上海嘉定一模)如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边 AB、AC上，作AH⊥BC于H,交DG于P,已知BC=AH.下列结论中不正确的是() D P B HF A.△ABC∽△ADG B.ADAP 2 AB AH C.S。ADG= S.ABC D.AP=PH 考点4 相似三角形的判定与性质综合 一、填空题 1.(2026上海松江一模)如图，已知ABC,点D、E分别在边BC、AC的延长线上，∠B=∠E, AC=3,BC=4,CD=1.5,那么CE=· B 2.(2026上海松江一模)如图，点G是ABC的重心，EF经过点G,且EF∥BC,那么△AEF与 ABC面积的比值是一 试卷第87页，共88页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(25-26九年级上·上海奉贤期末)在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEIBC,如果 AD:BD=2,那么DE:BC的值是_ 4.(2026·上海静安一模)在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD,如果 AB、AD分别在两条直角边上（如图所示），AD:AB=I:2,那么矩形ABCD的面积是一 D B 20 5.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2√2，E是边AD的中点，连接BE, AC,如果BE⊥AC,那么BE的长为 E 6.(2026·上海崇明·一模)如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABD=∠C,如果 AD=3,BD=4,那么BC=_ A D B 7.(2026上海黄浦一模)如图，在ABC中，∠B=2LC,AB=4,AC=6,那么边BC的长是 8.(2026上海金山一模)在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD,垂足为E,以CE为斜边作直角三角形 试卷第88页，共88页