专题03 向量及其运算（3大考点，38题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 向量及其运算（3大考点，38题） 3大考点概览 考点01向量的相关概念 考点02实数与向量相乘 考点03向量的线性运算 向量的相关概念 考点1 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期末）设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误的是（　　） A． B．与方向相反 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据非零向量、、，有，，即可推出，然后逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵，且， ∴， 对于 A：∵，∴，正确； 对于 B：∵ ，∴ 与 方向相反，正确； 对于 C：，正确； 对于 D：，错误； 故选 D． 2．（2026·上海长宁·一模）已知一个单位向量，设都是非零向量，那么下列等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的性质一一判断即可，熟练掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：∵是单位向量， ∴， 、，该选项成立，符合题意； 、与的模长相等，但方向不一定相同，该选项不成立，不符合题意； 与，但与的模长不一定相等，该选项不成立，不符合题意； 、与，仅当与平行时成立，否则不成立，该选项不成立，不符合题意； 故选：． 3．（2026·上海闵行·一模）下列说法中，一定正确的是（） A．如果、是非零向量，且，那么 B．如果是单位向量，那么 C．向量与是相等向量 D．如果是非零向量，那么 【答案】A 【分析】本题考查向量，根据向量的基本概念和平行向量的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：∵选项A中, 且非零， ∴是的标量倍数，方向相反， ∴，故A正确； ∵选项B中，单位向量的模为1，但向量不等于标量1，故B错误； ∵选项C中，向量与方向相反，不是相等向量，故C错误； ∵选项D中，当时,是零向量，但等式中“0”可能表示标量，向量不等于标量，故D错误； 故选： A． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果都是非零向量，且，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的定义，两个非零向量平行意味着存在一个非零实数使一个向量是另一个的倍数． 本题考查平面向量的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 且 , , ∴ 存在实数 ，使得 ． 选项A正确；选项B、C、D不一定成立． 故选：A． 5．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知实数及非零向量，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，根据向量模的性质，标量乘法后的模等于标量的绝对值乘以向量的模． 【详解】解：A、对于任意实数和非零向量，有，故此选项正确，符合题意； B、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； C、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； D、选项中当时，，故不成立，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 6．（2026·上海嘉定·一模）下列说法中不正确的是（   ） A．如果是一个实数，是向量，那么与的方向相同： B．如果与非零平行，那么存在唯一的实数，使： C．如果是单位向量，那么； D．如果是实数，那么． 【答案】A 【分析】本题主要考查了向量的相关知识，当时，与的方向相反，据此可判断A；与非零平行，若它们的方向相同，则m等于的模长除以的模长，若方向相反，则m等于的模长除以的模长的相反数，据此可判断B；单位向量的模长为1，据此可判断C；根据向量与实数的运算法则可判断D． 【详解】解：A、如果是一个实数，是向量，那么当时，与的方向相反，原说法错误，符合题意； B、如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使，原说法正确，不符合题意； C、如果是单位向量，那么，原说法正确，不符合题意； D、如果是实数，那么，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26九年级上·上海崇明·期末）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量相等的条件、单位向量的定义、平行向量的判定以及向量数乘的结果． 【详解】解：A选项：向量相等需要模相等且方向相同，仅只能说明长度相等，方向不一定相同，故A错误； B选项：单位向量的模都为1，但方向可以不同，因此单位向量不一定相等，故错误； C选项：若，则与是相反向量，相反向量属于平行向量(共线向量)，故正确； D选项：当或时，(零向量)，而不是数字，故错误． 故选：C． 8．（25-26九年级上·上海宝山·期末）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果（为非零向量），那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果与互为相反向量，那么 【答案】B 【分析】本题考查向量的基本概念，包括零向量、单位向量、平行向量和相反向量，若，则可为任意数，据此可判断A；根据平行向量的定义可判断B；单位向量的模为1，据此可判断C；根据相反向量的定义可判断D． 【详解】解：A、若，则可为任意数，不一定有，原说法错误，不符合题意； B、如果（为非零向量），那么，原说法正确，符合题意； C、如果是单位向量，那么，原说法错误，不符合题意； D、如果与互为相反向量，那么，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 9．（2026·上海金山·一模）下列命题中真命题是（    ） A．如果，那么 B．如果两个相等的向量相减，那么结果为0 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的平行、相等、单位向量和模长 【详解】对于A: ∵， ∴ 与 平行，命题真； 对于B: ∵ 两个相等向量相减结果为零向量（），而不是数量0，假命题； 对于C: ∵ 单位向量模长均为1但方向可能不同， ∴ 与 不一定相等，命题假； 对于D: ∵ 只表示模长相等方向可能不同， ∴ 与 不一定相等，命题假． ∴ 真命题是A． 故选：A． 10．（2026·上海松江·一模）已知四边形的对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，向量的相关知识，若两个非零向量满足（其中k是实数，且），那么，且，则，证明得到，据此可判断A、B；可证明与不平行，与不平行，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确，B不正确， ∵四边形的对角线交于点， ∴与不平行， ∴，故C不正确； ∵， ∴四边形不是平行四边形， ∴与不平行， ∴，故D不正确； 故选：A。 11．（2026·上海徐汇·一模）已知，，且是非零向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行向量的定义，向量的模长，向量的线性运算，是两个非零向量，若满足，那么这两个向量平行，且，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，且是非零向量， ∴，原说法正确，不符合题意； B、∵，，且是非零向量， ∴，， ∴，原说法正确，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴，原说法正确，不符合题意； D、∵，， ∴，原说法错误，符合题意； 故选：D． 二、解答题 1．（2026·上海闵行·一模）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设．    (1)填空：向量___________，向量___________． （注：本题结果用含向量的式子表示） (2)作出向量分别在方向上的分向量． （注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查平面向量、三角形中位线定理、平行四边形的性质、作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得．由平行四边形的性质得，，可得，则,．由题意得，则可得,． （2）结合平面向量的分向量的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴ （2）解：在上的分向量为，在上的分向量为    2．（2026·上海徐汇·一模）如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)见详解 【分析】本题考查线性向量的计算和平行四边形的性质，正确掌握向量的基本运算是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和向量的和差关系即可求解； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）解：如图所示,，即为在方向上的分向量． 实数与向量相乘 考点2 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中向量的线性运算，掌握向量坐标的加减和数乘规则是解题的关键． 根据向量坐标运算规则，直接计算的表达式即可． 【详解】根据题意， 则， ∴ 点的坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知点C在线段上，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键. 根据向量减法和线段比例关系求解 【详解】∵ C在线段上，且，如图， ∴， ， 则． 故选：D． 3．（2026·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题 1．（2026·上海虹口·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，根据向量的数乘和加法运算法则，先运用分配律将括号展开，再合并同类向量即可得到答案． 【详解】解：． .故答案为：． 2．（2026·上海闵行·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的运算，先根据向量的数乘分配律去括号，再合并同类向量． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性运算，需先运用数乘的分配律去括号，再合并同类向量． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．（2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的线性运算，核心是通过去括号、合并同类向量来化简表达式． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算法则，根据向量的运算法则，应用向量的标量乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线性向量、向量的加减等知识点，掌握数的运算律同样适用于向量是解题的关键． 先用分配律计算，再合并同类向量即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量反向的定义是解题的关键． 根据单位向量的定义和向量方向相反的条件，结合模长关系求解． 【详解】∵ 向量 与单位向量 方向相反，且 ，， ∴ ． 故答案为：． 二、解答题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段与交于点O，点E、F分别在和上，，射线与交于点G，，． (1)求的长； (2)连接，设，，那么___________，___________．（用向量、表示） 【答案】(1)4 (2)， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平面向量的加减运算； （1）由题意得，，，求得，，列比例方程求解即可； （2）由题意得，，，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴，； ∴，即， 解得， ∴． （2）解：如图所示： ∵，， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，． 向量的线性运算 考点3 一、填空题 1．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，重心，相似三角形的判定与性质，先根据点和分别是和的重心，得，，证明，因为，得，整理得，所以，故，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于点， ∵点和分别是和的重心． ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2026·上海黄浦·一模）如图，正方形中，、分别为边、的中点，与交于点．设，，那么 ．（用向量、表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 依题意，设，得到，再由，化简可得，进而得到，解方程组即可． 【详解】解：设， 正方形中，为边的中点， ， ， 为边的中点， ， 、、三点共线， 存在实数，， ， ，解得， ． 故答案为：． 3．（2026·上海长宁·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的线性运算，先通过分配律去括号，再合并同类项向量，即可求解． 【详解】原式. 故答案为． 4．（2026·上海金山·一模）在中，设，点是的边的中点，如果用的线性组合表示向量，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平面向量的简单计算问题，熟练掌握平面向量的简单计算是解题的关键． 点是边的中点，根据中点公式，向量可以表示为向量和的线性组合，且系数之和为1． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 因此，， ∴， 故答案为：1． 5．（2026·上海静安·一模）如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2026·上海嘉定·一模）如图，点是的重心，连接并延长交边于点．如果，那么 （用含向量的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质，向量的线性运算，根据重心的定义和性质得到，求出，则可求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2026·上海松江·一模）如果向量、和满足，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的运算． 利用等式性质解向量方程即可． 【详解】解：由， 得， 移项，得， 所以． 故答案为：． 二、解答题 1．（2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点．    (1)当时，求的长； (2)设，请用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算，涉及相似三角形的对应边成比例、向量的分解与数乘等知识点． （1）通过证明三角形相似，利用相似比结合已知线段长度求解； （2）先将对角线向量用已知向量表示，再结合相似比得到目标向量的表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵且， ∴， ∵，且， ∴， 由（1）知，即， ∴． 2．（2026·上海长宁·一模）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． (1)如果设，试用表示． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形法则求出，再根据，即可解决问题． （2）首先证明，推出，由勾股定理得出，求出，再证明，利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】（1）解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． (1)设，试用的线性组合表示向量； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了向量的线性运算，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先表示出，再由四边形法则求解即可； （2）先解求出，然后证明四边形为平行四边形，再由求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 4．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，已知，点E是的中点，连接交于点G． (1)如果的面积等于5，求的面积； (2)设，，求向量关于向量、的分解式． 【答案】(1)45 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可； （2）作，证明，推出，，证明四边形为平行四边形，得到，再根据三角形法则，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5， ∴的面积为； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点E、F分别在边上，与交于点G，的延长线与的延长线交于点． (1)求； (2)设，那么 ， ．（用向量表示） 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，向量的线性运算，熟知相似三角形的性质与判定定理和向量的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，由平行四边形的性质可得，证明推出，据此根据线段的和差关系求解即可； （2）可证明，根据，可得，则；证明，得到，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，点在边上，且，点在的延长线上，．已知，． (1)用向量分别表示向量___________，___________． (2)作出向量分别在方向上的分向量． （写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查平面向量的知识和平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据向量减法的三角形法则就可求出向量，由，，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，继而求得，又因为，即可求得； （2）做出的图形中，在、上的分向量分别为，． 【详解】（1）解：∵，， ∵，， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）在、上的分向量如图所示： 作法：（1）将向上平移使得点A与点B重合，平移后的向量记为 （2）过点D作，交于点M，为在上的分向量； （3）过点D作，交于点N，为在上的分向量； 做出的图形中，在、上的分向量分别为，． 7．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，中，点D在边上，． (1)设，，那么______．（用含有向量和表示） (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了向量的运算和相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算法则和相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意可推出，则有，再根据计算即可解答； （2）根据题意易证，得到，结合，，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 试卷第26页，共26页 试卷第25页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03向量及其运算(3大考点，38题) ☆3大烤点概览 考点01向量的相关概念 考点02实数与向量相乘 考点03向量的线性运算 考点1 向量的相关概念 一、单选题 1.(25-26九年级上·上海普陀期末)设非零向量ā、6、c,如果ā=2b,b=-3,那么下列说法中错误 的是() A.a∥c B.a与c方向相反 C.=6 D.a-6c=0 2.(2026上海长宁.一模)已知一个单位向量ē，设云、b都是非零向量，那么下列等式中一定成立的是() A.e a=a B.be=B c.1= D.Ba=ab 3.(2026上海闵行一模)下列说法中，一定正确的是（) A.如果a、E是非零向量，且i=-2a，那么a∥6 B.如果e是单位向量，那么e=1 C.向量AB与BA是相等向量 D.如果k=0,a是非零向量，那么ka=0 4.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如果ā，b都是非零向量，且ā∥b,那么下列结论中一定正确的是() A.a=nb(n≠0)B.a=b C.a=-b D.a=b 5.(25-26九年级上·上海青浦·期末)已知实数k(k≠0)及非零向量ā，下列结论正确的是() A.|ka曰k|a B.ka=k C.k a=k al D.ka=k a 6.(2026·上海嘉定.一模)下列说法中不正确的是（) A.如果k是一个实数，a是向量，那么ka与a的方向相同： B.如果6与非零ā平行，那么存在唯一的实数m,使b=ma: C.如果e是单位向量，那么=1； D.如果mn是实数，那么m+n)a=md+na. 试卷第25页，共26页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 7.(25-26九年级上·上海崇明·期末)下列命题正确的是() A.如果=，那么a=五 B.如果a、b都是单位向量，那么a=b C.如果a=-b,那么a川b D.如果m=0或a=0,那么ma=0 8.(25-26九年级上上海宝山期末)下列关于向量的说法中，正确的是() A.如果a=0,那么k=0 B.如果a=-3b(b为非零向量)，那么a∥b C.如果e是单位向量，那么e=1 D.如果a与b互为相反向量，那么a+b=0 9.(2026上海金山一模)下列命题中真命题是() A.如果a=kb(k≠0)，那么石∥b B.如果两个相等的向量相减，那么结果为0 C.如果a和b都是单位向量，那么ā=b D.如果=，那么a=b 10.(2026上海松江·一模)已知四边形ABCD的对角线交于点0，如果AB=2DC,那么下列结论正确的是 () A.AO=2O元B.B0=2D0 C.AC=BD D.AD=BC 11.(2026上海徐汇·一模)已知ā=3c,b=-2c,且c是非零向量，那么下列说法中不正确的是() A.b∥c B.a∥b c同= D.a-6 2 二、解答题 1.(2026上海闵行一模)如图，已知平行四边形ABCD中，点E是边DC的中点，AE与对角线BD交于点 G,设AB=a,AD=b. D E G 夕 (I)填空：向量DB= ,向量AG= (注：本题结果用含向量ā、b的式子表示) (2)作出向量D云分别在ā、b方向上的分向量 (注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量) 2.(2026上海徐汇一模)如图，ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，己知BD=2CD,且 试卷第26页，共26页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形AEDF是平行四边形.设BA=a,BC=五. B (1)用向量ab分别表示下列向量： BD= AC= ；EF= (2)连接BE交DF于点G,在图中求作BG分别在a方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表 示结论的分向量) 考点2 实数与向量相乘 一、 单选题 1.(2026上海黄浦一模)己知直角坐标平面内点A1,0),B(0,),记向量0A=ā，OB=b,如果 0C=2a-3b,那么点C的坐标是() A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 2.(25-26九年级上·上海杨浦期末)己知点C在线段AB上，如果AB=3AC，AB=ā，那么BC等于() 4知 c D.d 3.(2026·上海静安.一模)己知云、6、元都是非零向量，下列条件中不能判定b‖c的是() A.ac,ab B.c=36 c.Ba D.a=3b,c=-2a 二、填空题 1.(2026上海虹口一模)计算：3ā-2万-a= 2.(2026上海闵行一模)计算：23ā-+36= 3.(25-26九年级上上海宝山期末)计算：2ā-2b+36=_ 4.(2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学)计算：2ā+2b)-3ā= 试卷第25页，共26页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(25-26九年级上·上海奉贤期末)计算：3（ā-26）= 6.(25-26九年级上·上海浦东新期末)计算：2a-b+3b=_ 7.(25-26九年级上·上海杨浦期末)已知向量ā与单位向量e方向相反，且=3，那么 a= 一·（用向量e的式子表示） 二、解答题 1.(25-26九年级上·上海普陀·期末)如图，己知线段AD与BC交于点O,点E、F分别在0C和0D上， AB∥EF∥CD,射线AE与CD交于点G,A0:OF:FD=2:1:2,AB=6, (I)求CG的长： (2)连接ED,设EA=ā，EF=b,那么EB= ED- (用向量ā、b表示) 考点3 向量的线性运算 一、填空题 1.(2026上海虹口一模)如图，在ABC中，点D在边BC上，连接AD,点P和Q分别是△ABD和 △ACD的重心.如果AB=a,AC=b,那么用G和E表示PO是」 D 2.(2026上海黄浦一模)如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，AE与BF交于点G.设 AB=ā，AD=b,那么AG= ·(用向量ā、b表示) D 3.(2a6上海长宁模)第：0-2a-} 试卷第26页，共26页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026上海金山一模)在ABC中，设CA=a,CB=b,点M是ABC的边AB的中点，如果用ab的线 性组合表示向量CM=xa+yb,那么x+y的值为一 5（②026·上海静交-碳)图.点D、E分别在边B、4C上，且粉-，DE/BC,设D=a EC=b,那么用向量a、表示向量BC为 6.(2026·上海嘉定一模)如图，点G是ABC的重心，连接AG并延长交边BC于点D.如果 AB=a,AC=b,那么AG=」 (用含向量ā、b的式子表示) G D 7.(2026上海松江一模)如果向量云、和x满足3a-x=2(a+b),那么x= 二、解答题 1.（2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学)如图，在梯形4BCD中，AD∥BC,且4D-, BC 3' 点E是边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F. E B (I)当BD=6时，求DF的长； (2)设BA=a,BC=i,请用a、b表示BF. 试卷第25页，共26页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.(2026上海长宁.一模)如图，已知点G是ABC的重心，连接BG并延长交边AC于点D,连接AG, 过点G作GE‖BC交边AC于点E. E G B C (I)如果设AB=a,AC=b,试用a、b表示BG. (2)当AG⊥BD,BG=9,∠GAD=30°时，求△DGE的面积. 3.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=9,连接BD,过点A 作AE∥CD交BC、BD于点E、F. (1)设BC=d,DC=b,试用ā、b的线性组合表示向量AB; @②)已知∠BDC=90°，cosC=名，求am∠ABD的值 4.(25-26九年级上·上海青浦·期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,已知AD:BC=2:3,点E是AD 的中点，连接EC交BD于点G. (1)如果△EDG的面积等于5，求△BCG的面积； (2)设BA=ā，BC=b,求向量BG关于向量a、6的分解式， 5.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD上，AE=EF=FD,BE与 AC交于点G,BE的延长线与CF的延长线交于点Q. 试卷第26页，共26页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F G (1)求BG:EG:QE; (2)设BA=a,BC=b，,那么CG=-,CO=-,(用向量a、b表示) 6.(25-26九年级上·上海浦东新期末)如图，在ABC中，点D在边AC上，且AD=2DC,点E在BD的 延长线上，CE∥AB,已知BA=a,BC=b, B (1)用向量ā、万分别表示向量AC= AE= (②)作出向量AD分别在云、b方向上的分向量. (写出结论，不要求写作法). 7.(25-26九年级上·上海杨浦·期末)如图，ABC中，点D在边AB上，AD=2BD, B D (I)设AC=a,AD=b,那么BC= ·(用含有向量ā和6表示) (2)如果LBCD=∠A,BC=6,求AB的长 试卷第25页，共26页