专题02 函数的概念、图象与性质（3大考点，91题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数的概念、图象与性质(3大考点，91题) ☆3大考点概览 考点01函数基础知识 考点02一次函数和反比例函数 考点03二次函数 考点1 函数基础知识 一、单选题 1. (2026上海徐汇一模)已知点-2小、B2,m小、C4m+在同一个函数的图像上，这个函数图像 可能是() 二、填空题 1.(2026上海静安一模)函数y=x二的定义域为一 2.(2026-上海金山一模)已知f)=2-1,那么fV6= 3. （2026上海普陀一模)函数y=-3 的定义域是」 考点2 次函数和反比例函数 一、单选题 1.(2026:上海静安·一模)如果一次函数乃=mr-6m≠0)、⅓=r-2n≠0 的图象都经过C,-3引，那 么函数”=少的大致图象是（) 试卷第1页，共59页 6品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 2.(2026上海金山一模)在等边△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，将△ABC沿EF折叠，使得点 A与△ABC的重心G重合，EF与AG交于点O,延长AG交BC于点D,那么EF:OD的值为() 2 √5 3 A.2 B.2 C.3 D.1 二、填空题 1。(2026:上海普陀一模)已知反比例函数y=+1 ，其图象在所在的每一个象限内y都随，的增大而增 大，则k的取值范围是一 三、解答题 1,(25-26九年级上上海普陀期未)如图，在平面直角坐标系0，中，直线'=k≠0)与反比例函数 x在第一象限内的图像交于点A2,d,点B(b,8在直线O4上. (I)求点A、B的坐标： 试卷第2页，共59页 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2点C在反比例函数y=兰1x>2列的图像上，如架∠A8C=45,将直线O1平移，使其经过点c,求平移 后所得直线的表达式： 2.(2026·上海闵行·一模)人工智能已经逐渐融入我们的生活.某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个 送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时， 地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）·餐厅的地面由玻璃、木地板和 大理石三种材质拼接而成.地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示. 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受 压强 4×10 6×104 8x104 1×103 p(Pa) 接触面积 …… 1.2×10-3 8×104 6×104 4.8×104 ”0 S(m2) 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强 4.8×10 2.4×10 2.5×108 p (Pa) 0求地面所受压程关于接链面积m可 的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 考点3 二次函数 一、 单选题 1.(2026上海崇明一模)将抛物线y=3r平移，使顶点移到 M-2,1的位置，所得新抛物线的表达式 是() A.y=3(x+2)2-1 B.y=3(x-22-1 C.y=3(x+22+1 D.y=3x-22+1 试卷第3页，共59页 耐学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 2.（25-26九年级上·上海浦东新期末)如图，已知抛物线y=ar+r+c(a≠0 的对称轴是直线x=1,且 过点~0 ,，顶点在第一象限，其部分图像如图所示.给出以下结论：①b<0:②4+2b+c>0:③ 3a+c>0.其中正确的选项是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(25-26九年级上·上海浦东新·期末)下列函数中，一定是二次函数的是（) A.y=ax+1 B.y=ax2+1 C.y=a2+1x2 D.y=(ax+12 4.(25-26九年级上上海奉贤期未末)已知抛物线'=r(a≠ 》经过两个不同的点1m8》和B2,8》,那么 m的值是() A.2 B.-2 C.8 D.-8 5.(2026·上海嘉定一模)下列少关于x的函数中二次函数是() A.y=ax2+bx+c(a≠0 B.少=2 x C.y=(x-2)2-x2 D.y=3x-9 6.(2026:上海闵行·一模)下列函数中，二次函数是() 1 A.y=4 B.y= C.y=x(2x-1 D.y=(x+4)-x2 7。(2026上海闵行一模)已知抛物线'=m+x+c(其中么、么c是常数，且a<0)的对称轴是直线 x=1,且与x轴有两个交点，下列结论一定正确的是() A.c<0 B.b<0 C.2a+b=0 D.a+b+c=0 试卷第4页，共59页 列学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 8.(25-26九年级上：上海宝山~期末)已知二次函数y=r+hr+c(a≠0) 的图像如图所示，那么下列各式 中，成立的是() A.a<0 B.b<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c<0. 9.（2026上海闵行一模)如图，已知抛物线G:,=-6r0≤x≤6与x轴交于0、4两点.将抛物线 C 向右平移得到抛物线9，交*轴于点么、4，再将抛物线9向右平移得到抛物线S,交*轴于点、4 若直线'=m-9<m<0与这3条抛物线交于点8、B,、B,、B,、B,、B,则这6个点的横坐标之和是 () A ON BB \B3 B4八B -y=m A.6 B.18 C.30 D.54 10.(2026上海金山一模)在平面直角坐标系x0中，对于抛物线y=ax+'+2(其中0是常数，且 a≠0)，下列叙述中正确的是() A.当a>0时，抛物线开口向下 B.抛物线与'轴交点坐标为0,2) C.顶点坐标是-12) D.当a<0时，顶点是抛物线的最低点 试卷第5页，共59页 列学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 1,(2026上海长宁一模)宁宁同学在将某条抛物线表达式化为”=x+m°+”形式时，他给出的结果 是y=(2x+4)2+4 那么这条抛物线的顶点坐标为() A（4,4到 B.（4-4) c.（-2,4) D.-2,-4列 12.(2026上海松江一模)已知二次函数=r-2x的图象上有两点4-5，）、B(-1,）,那么、 ”的大小关系是(） A.方<5 B.当>5 C.乃=5 D.无法确定 13.(2026上海长宁一模)已知m是常数，它满足以下要求： (1)抛物线=(m+1)x2 的最高点就是它的顶点. (2)抛物线y=(x+m+m+1的对称轴在y轴的右侧. (3)从左往右看，抛物线》=m+3列+ 在'轴左侧部分是下降的. 那么常数m可以取的值是()· A.-3 B.-2 C.-1 D.0 14。(2026-上海金山一模)在抛物线=r 上的一个点是() A.(1,2 B.1- c.(2,2 D.(0,0 15.(25-26九年级上上海青浦期末)二次函数”=-4x+ 的图象一定不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.(2026·上海虹口一模)已知y=(m-3列x (m为常数)是二次函数，那么m的值是() A.3 B.-1 C.-3 D.3或-1 17.(2026-上海虹口一模)如图是二次函数'=ar+br+c(a≠0) 的图像，那么下列说法中，正确的是 () 试卷第6页，共59页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a>0: B.b>0: C.b<0: D.c<0. 18。(2026-上海黄浦一模)如图，抛物线'=ar+r+C 经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不 可能成立的是() A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.6-4ae>0 19.(25-26九年级上·上海普陀·期末)下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线x=1的是( A.y=(x+12 B.y=x2+2x C.y=-x2+2x D.y=x2-2x+1 20.(2026上海黄浦一模)已知点4为抛物线'=2T上一点，如果点A的横坐标为a>0),记40与 轴的夹角为c,那么tana为() 1 A.2 B.Z C.2a D.2a 2L.(2026上海嘉定·一模)已知抛物线'=r+hr+ca≠0)， 如图所示，那么下列各式中不成立的是 () 试卷第7页，共59页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.a+b+c<0 22.(2026上海徐汇一模)已知抛物线'=r+x+ca≠0 的图象如图所示，那么下列各式中成立的是 A.a>0 B.c<0 C.b<0 D.a+b+c=0 23.(2026-上海松江·一模)已知二次函数)=ar+r+ 的图象如图所示，那么下列结论正确的是() A.abc<0 B.2a+b=0 C.a-b+cx0 D.a+b+c>0 24。(25-26九年级上上海杨浦期未)如果将抛物线”=-(x+6+8向右平移10个单位，那么此抛物线 与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形() A.持续向上B.持续向下 C.先向上再向下D.先向下再向上 二、填空题 试卷第8页，共59页 命列学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 1.《2526九年级上上海普陀期未)已知二次函数'=r+bx+C的图像经过点 1,3)B-1,1,那么这 个二次函数的解析式为一· 2.(25-26九年级上·上海杨浦·期末)已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8 xOy 米.如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少米. 4m -8m 3.(2026上海虹口一模)已知点4-5，)、B-3,)都在二次函数y=ax-1(a<0)的图像上，那么 片（填“>”、“<”或“=”） 4.(2026上海虹口一模)如果抛物线'=(Q-1(“为常数)开口向下，那么“的取值范围是 5.(2026上海长宁，一模)在下列给定的'关于*的函数中：①’=元-1，@’=a+r+C,③ y=V5-x+1,国y=x+1,一定是二次函数的是一 1 (填写序号) 6.（25-26九年级上·上海普陀期末)已知抛物线'=2r+r+6+3 对称轴是y轴，那么它的顶点坐标 为 7.(25-26九年级上上海崇明期末)如果抛物线”=(a+1r+4 开口向下，那么Q的取值范围是一 8.(2026上海闵行·一模)已知长方形的长是x,宽是长的一半，面积是y,那么y关于x的解析式是 .(不要求写定义域). 9.(2026上海黄浦一模)对于抛物线'=r+r+C及其所在坐标平面内的点P,当过点P垂直于抛物 线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线 试卷第9页，共59页 列学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 ,a++的内点.取有物线=+2x+2和5y牙+子x}》如果点M既是抛物线L的 内点，又是抛物线的内点，那么点M的纵坐标“的取值范围是一 10.(2026上海崇明一模)已知点4、B-3)为二次函数=-(x-1+k图像上的两点，那么 (填“>”、“=”或“<”) A(-1y)、B(2,y2 11.(25-26九年级上·上海宝山期末)如果 是抛物线少=x-+1 图像上的两点，那 么片 ,(填“>”、“<”或“=”) 12。(2026上海长宁一模)若抛物线C的顶点在抛物线C上，而抛物线9的顶点又在抛物线9上（两个 顶点不重合)，那么称抛物线9和%互为“和谐抛物线”.已知抛物线C:y=2(x-+2与y轴交于点 A,点B与点A关于抛物线C的对称轴对称，那么以点B为顶点的抛物线C的“和谐抛物线”的表达式为 13.(2026上海长宁：一模)若将抛物线？=2x+m°+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点 恰好落在y轴上，那么m的值为 14。(2026上海金山一模)将抛物线=2 向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为一· 15.(2026-上海虹口一模)小丽为了画二次函数'=+hx+c(a≠0) 的图像，列出了表（信息不全）， 那么m的值是 5 -2 10 16.(2026上海黄浦一模)我们知道抛物线：y=r+2x+4与：y=x+4x+2。 通过平移是可以重合的， 那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是一· 试卷第10页，共59页 专题02 函数的概念、图象与性质（3大考点，91题） 3大考点概览 考点01函数基础知识 考点02一次函数和反比例函数 考点03二次函数 函数基础知识 考点1 一、单选题 1．（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 二、填空题 1．（2026·上海静安·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围． 【详解】解：函数要有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围． 2．（2026·上海金山·一模）已知，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．将代入函数中，直接计算即可． 【详解】解：由函数定义，． 故答案为：． 3．（2026·上海普陀·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的定义域，根据分母不为0求解即可． 【详解】∵函数， ∴， ∴函数的定义域是， 故答案为：． 一次函数和反比例函数 考点2 一、单选题 1．（2026·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 2．（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查折叠，重心的性质，平面直角坐标系的建立，解题关键在于熟练掌握其相关知识点；通过建立坐标系，设等边的边长为，建立平面直角坐标系，计算重心G、中点O、点E和F的坐标，进而求出和的长度，即可求解. 【详解】解：如图；设等边的边长为，建立平面直角坐标系： 则，， ∵中点，重心(，根据重心性质，重心将分为)   ∴中点（与的中点，   ∵折叠后为的垂直平分线， ∴为水平线（垂直于轴且过） 设直线解析式：过，两点， ∴，解得 ∴直线解析式，联立得 ， 设直线解析式：过，两点， ∴，解得， ∴直线解析式，联立得  ， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 二、填空题 1．（2026·上海普陀·一模）已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标； （2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； （2）解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 2．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 二次函数 考点3 一、单选题 1．（2026·上海崇明·一模）将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，抛物线平移时开口大小和方向不变，故二次项系数 a 不变，根据新顶点坐标直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， 根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线，可知，，易得，故结论①正确；由该抛物线经过点，且对称轴是直线，可知当时，可有，故结论②正确；当时，可有，故结论③错误． 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 5．（2026·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 6．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由对称轴为，根据二次函数对称轴公式可得，从而推导出，其他选项不一定成立． 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 8．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及根据二次函数的图象判断式子符号，根据对称轴和函数图像判断、、的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由的符号结合对称轴判断的符号，由图可知，当时，，即可判断的符号，当时，，即可判断的符号． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 9．（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数自变量函数值的计算，根据抛物线，得对称轴为直线，设和的横坐标分别为，，所以，则，即与的横坐标和为，同理与的横坐标和为，与的横坐标和为，由此即可求解，掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 10．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 11．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 12．（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象上有两点、，那么、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算两点对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 又∵， ∴， 即． 故选：B． 13．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 14．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期末）二次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二次函数图象是抛物线，开口向上，通过分析当时，可知图象不经过第三象限． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，，故所有的点均满足，故图象在第二象限，而不在第三象限， 该函数图象一定不经过第三象限． 故选：C． 16．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 17．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 18．（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的图像与性质，根据图像确定的符号即可． 【详解】由图可知，抛物线开口向上，，故A正确，不符合题意； 对称轴为，则，故B不正确，符合题意； 与轴交于正半轴，则，故C正确，不符合题意； 与轴交于不同的两点，则，故D正确，不符合题意． 故选：B． 19．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 20．（2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 21．（2026·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 22．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的性质，由图象得，当时，进行判断即可求解． 【详解】解：如图可知：， ， A、B、C都错误， 当时，， D正确； 故选：D． 23．（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到，，，，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 24．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果将抛物线向右平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（    ） A．持续向上 B．持续向下 C．先向上再向下 D．先向下再向上 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质． 依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，求出平移后的解析式，然后设此图象向右平移m单位，故新图象为，由此可得的纵坐标满足的关系式，从而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴令，则，即此时图象与y轴的交点P为． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图象向右平移m单位， ∴新图象为， ∴图象与y轴交点为， 又∵， ∴当时，的纵坐标取最大值8， 又∵， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：C． 二、填空题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和c的方程组，然后求解方程组即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少 米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 3．（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 4．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 5．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是 ．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 6．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 7．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；大于0时，开口向上． 【详解】解：抛物线的二次项系数为． ∵抛物线开口向下， ∴，解得； 故答案为：． 8．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是 ．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 9．（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 10．（2026·上海崇明·一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如果是抛物线图像上的两点，那么 ．（填“>”、“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线开口向上，对称轴为，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 【详解】解：点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵抛物线开口向上，且， ∴． 故答案为：>． 12．（2026·上海长宁·一模）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先计算出点的坐标，由对称性计算出点的坐标，根据题意，使用待定系数法求出符合要求的二次函数的表达式． 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 13．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 14．（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握函数图象平移的规律． 根据函数图象平移的规律：左加右减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位可得， 故答案为：． 15．（2026·上海虹口·一模）小丽为了画二次函数的图像，列出了表（信息不全），那么的值是 ． … 0 … … 10 5 1 5 10 … 【答案】 1 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由点和确定对称轴，再利用点和关于对称轴对称求解m即可． 【详解】解：由点和纵坐标相同，可得它们关于对称轴对称，对称轴为． 所以，点和也关于对称轴对称， 因此， 解得． 故答案为：1． 16．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 17．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握基本概念是解题关键． 二次函数图像有最低点的条件是二次项系数大于零 【详解】解：∵当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，有最低点． ∴， 解得． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数是解题的关键．根据两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数，因此二次项系数互为相反数，即可得解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于轴对称， 对于任意，有， ． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过 千米/小时． 【答案】50 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 21．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的自变量和函数值的部分取值如下表所示： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 5 ．．． 那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性应用是解题的关键． 由二次函数对称性及给定点坐标，确定对称轴为，根据二次函数的性质比较 和处的函数值大小即可． 【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，， ∴二次函数对称轴为， 设二次函数解析式为， 把，；，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，顶点处函数值最小， ∵时，，时，对称轴为， ∴． 故答案为：． 22．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是 分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 23．（2026·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线有最高点，则抛物线开口向下，故二次项系数小于零，即，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 25．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为 米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 26．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线有最高点，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点， 因此开口向下，二次项系数， 解得． 故答案为：． 27．（2026·上海虹口·一模）对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 28．（2026·上海松江·一模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律，左右平移改变x，上下平移改变y． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得． 故答案为：． 29．（2026·上海金山·一模）对于抛物线，沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的，写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的性质，首先判断出抛物线开口向上，然后根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的的值是． 故答案为：（答案不唯一）． 30．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键 直接根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 31．（2026·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 32．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出两个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 33．（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 34．（2020·上海浦东新·一模）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 那么当时，该二次函数的值为 ． 【答案】 【分析】根据待定系数法将表格中任意三个点代入中，列出含a,b,c的方程组，求解a，b，c即可确定函数表达式. 【详解】解：将点(0,-3),(1,0),(2,1)代入中得， ， 解得， ， ∴抛物线表达式为. ∴当x=5时，y= -8. 故答案为：-8. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，遵循待定系数法求解析式的步骤即可，即“一设”、“二代”、“三求解”、“四确定”. 35．（2026·上海徐汇·一模）将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是， 故答案为：． 36．（2026·上海嘉定·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据解析式可知函数图象开口向上，则在对称轴右侧随的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大，二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是上升的． 故答案为：上升 37．（2026·上海青浦·一模）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】令x=0，可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：当x=0时，y=0， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与轴的交点坐标特征：与轴的交点的横坐标为0，与x轴的交点的纵坐标为0． 38．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握抛物线的开口方向决定的符号，是解题的关键． 根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上． 【详解】∵ 抛物线 的开口向上， ∴ 二次项系数 ． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向下，有最大值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越大， ∵， ∴， 故答案为：＞． 40．（2026·上海松江·一模）已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了抛物线的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征． 抛物线经过第二象限，说明存在点满足，，代入抛物线得，故开口向上． 【详解】解：∵抛物线经过第二象限， ∴存在点在第二象限，即，， 代入抛物线，得， ∵， ∴， ∴抛物线的开口方向向上． 故答案为：向上． 41．（2026·上海青浦·一模）等边三角形的周长为，面积为，则面积关于周长的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D． ∵等边三角形的周长为C，∴AB=BC=AC=，∴DC=BD=，∴AD==C，∴S=×C×=C2． 故答案为S=C2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键． 42．（2026·上海浦东·一模）如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【详解】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b， 把A（0，3）代入，得 3=-1+b， 解得b=4， 则该函数解析式为y=x2+2x+3． 故答案为：y=x2+2x+3 43．（2026·上海杨浦·一模）如果二次函数的图象经过原点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据函数图像过原点，所以将原点（0，0）代入解析式，然后进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图象经过原点， ∴， 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 三、解答题 1．（2026·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 2．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 【答案】(1)开口方向向上；对称轴为直线；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (2)平移的距离为 【分析】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，再结合平移的坐标变化计算距离． （1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，再结合开口方向分析函数的增减变化情况； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，即为平移的距离． 【详解】（1）解：将抛物线展开得，转化为顶点式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上；对称轴为直线； ∵开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）知原抛物线的顶点坐标为，目标顶点坐标为， 两点的横坐标差为，纵坐标差为， 根据勾股定理，平移的距离为． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】(1)①；②米 (2)不能投进 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键． （1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案； （2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断． 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴． ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）． （2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进． 4．（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； （2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 5．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的； (1)如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； (2)请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 【答案】(1) 抛物线的表达式为 ，顶点坐标为 （答案不唯一） (2) 抛物线经过点 （答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； （1）利用待定系数法按照甲乙的描述确定好三者的关系，然后根据丙同学描述可取，进而可求解； （2）求出与轴的交点，然后利用对称性可得到抛物线经过点． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为 甲描述：对称轴为直线 ，即 ，整理得 乙描述：向下平移2个单位后表达式为 ，经过原点 代入得 ，即 ，解得 丙描述：对称轴右侧部分下降，即抛物线开口向下，所以 取 ，则 ， 抛物线表达式为 ， ∵对称轴为 ， ∴代入得 ， ∴顶点为 ． （2）解：当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴点 关于 的对称点为 ， ∴抛物线经过点． 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线经过原点求出抛物线的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线，且抛物线能由抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论；②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）解：①将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 8．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【答案】(1)， (2)向下平移4个单位；向右移1个单位，下移个单位；向左移2个单位 (3)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的平移问题． （1）利用二次函数对称性，和的y值相等，得对称轴，和关于对称轴对称，故m等于时的y值，再用交点式设解析式，代入已知点求系数a，展开得一般式； （2）上下平移改变常数项，左右平移改变顶点坐标，据此得出二次函数的平移过程； （3）选择上下平移方式，说明平移对解析式的影响，再将原抛物线顶点式展开得一般式，由上下平移改变常数项即可得出结果． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为， ∴顶点坐标为， ∴与时的y值相等， ∴， 设， 将代入， ∴， ∴． （2）解：向下平移4个单位，； 向右移1个单位，再向下移个单位，； 向左移2个单位，． （3）解：向下平移4个单位： ， ∵抛物线过原点时常数项为0， ∴向下平移4个单位即可过． 9．（2026·上海松江·一模）在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 【答案】(1) (2)图见解析，在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握五点作图法是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【详解】（1）解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当时，； 当时，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升． 10．（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和 ∴把和代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 11．（25-26九年级上·上海宝山·期末）将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，． (1)求平移后的抛物线的表达式； (2)说明由抛物线如何平移得到新抛物线． 【答案】(1) (2)向右平移4个单位，向上平移6个单位 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象的平移，利用抛物线平移后二次项系数不变设出表达式及准确掌握平移方法是解题的关键． （1）根据抛物线平移后二次项系数不变的性质，设平移后的表达式为，代入点，，通过待定系数法求出未知系数，即可得到平移后的抛物线解析式； （2）将平移后的抛物线解析式化为顶点式，对比原抛物线与新抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的变化确定平移的方向与距离即可． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线的表达式为，把点，代入解析式得 ， 解得， ∴平移后的抛物线的表达式； （2）解：∵抛物线顶点为 平移后的抛物线的表达式，顶点为， ∴平移方式为：向右平移4个单位，向上平移6个单位． 12．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）二次函数中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表所示． x … 0 1 2 3 … y … 0 1 0 … (1)求该二次函数的解析式及其图像的对称轴； (2)设该二次函数图像与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）由表格数据可知，该抛物线顶点为，图像的对称轴为直线，然后设，将代入，即可求得解析式； （2）由表格数据可知，，，，然后由勾股定理及其逆定理可判断为直角三角形，然后根据面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知，该抛物线顶点为， ∴设，且其图像的对称轴为直线， 将代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式． （2）解：由表格数据可知，，，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 13．（2026·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 14．（2026·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接． (1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，等面积法求线段的长度等知识，解题的关键是： （1）根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可求出新抛物线的表达式，然后令求出y的值，即可得出点C的坐标； （2）先求出D、A、B的坐标，连接，过点B作于E，然后根据割补法求出的面积，根据勾股定理求出、的长度，根据等面积法求出的长度，根据勾股定理求出的长度，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线为， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 连接，过点B作于E， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的正切值为． 15．（2026·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … (1)求此抛物线的表达式； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，运用两点式，设，运用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点的坐标为，如图所示，过点作垂直轴于点，根据是的重心，得到，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解；②设直线与轴的交点为，则关于直线的对称点为，由此得到新抛物线的表达式为，根据它经过原点，得到解得，所以令，代入，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴设抛物线的表达式为， 把代入，， 解得， ∴此抛物线的表达式为． （2）解：①∵， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作垂直轴于点， ∴， ∵是的重心， ∴， ∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为； ②设直线与轴的交点为， ∴关于直线的对称点为， ∴新抛物线的表达式为， ∵它经过原点， ∴， 解得， 令，代入， 得，， ∴新抛物线在直线上所截得的线段长为． 试卷第58页，共59页 试卷第59页，共59页 学科网（北京）股份有限公司 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