学易金卷：高二数学下学期第一次月考01（天津专用，测试范围：人教A版导数+计数原理）

■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5A]B][C]D] 8 [A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A[B][C[D] 双阙 ■ 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C B B C B D D B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．24 13． 14． 15．①24 ②112 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）当时，， 令，则， 令，则， ． （2）的展开式的通项为，系数， 由依次成等差数列，得，即， 代入组合数公式化简，得， 整理得，解得或 又， ， ． 17．（15分） （1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 18．（15分） （1）， 因为在处切线的斜率为， 所以，则. （2）， 令，解得或， 当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 19．（15分） （1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 20．（16分） （1）法一：因为，， 所以，． ①当时，，函数在上单调递增， 且当时，．所以此时不可能恒成立． ②当时，由，得． 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 从而函数． 要使恒成立，则，解得． 综合上述：a的取值范围为． 法二：由题意对于恒成立，所以 令，，则． 由得,且当时，单调递增， 当时，单调递减． 所以的最大值为． 所以．即a的取值范围为． （2）因为，， 所以．又因为有两个极值点， 所以，且． 欲证，即证． 因为，所以上式等价于证明  ① 由，，得，则  ② 由①、②可知原问题等价于求证， 即证． 令，上式等价于求证． 令， 则， 所以在上单调递增．所以，即． 故原不等式成立，即． （3）， 则，函数在上单调递增， 所以，即有，令，则， 由（2）问证明过程可知，其中． 所以，． 综上所述，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册第6章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 4．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 6．已知函数在区间的大致图象如右图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 8．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 9．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数满足，则 ． 11．在的展开式中，的系数为 . 12．如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有 种．（用数字作答） 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 14．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 15．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，且依次成等差数列，求的值． 17．（15分） 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 18．（15分） 已知函数，在处切线的斜率为. （1）求的值； （2）求的极小值； （3）讨论方程的实数解的个数. 19．（15分） 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 20．（16分） 设函数，其中． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． （3）求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册第6章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 4．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 6．已知函数在区间的大致图象如右图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 8．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 9．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数满足，则 ． 11．在的展开式中，的系数为 . 12．如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有 种．（用数字作答） 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 14．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 15．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，且依次成等差数列，求的值． 17．（15分） 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 18．（15分） 已知函数，在处切线的斜率为. （1）求的值； （2）求的极小值； （3）讨论方程的实数解的个数. 19．（15分） 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 20．（16分） 设函数，其中． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． （3）求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册第6章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 2．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与极限的定义求解即可． 【详解】. 故选：C. 3．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 4．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 5．的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 6．已知函数在区间的大致图象如右图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对A、C，由判断；对B、D由单调性判断. 【详解】对于A：，与图象不符，A错误； 对于B：，是偶函数， ，当时，， 当时，，所以在单调递增，在单调递减， 又由偶函数性质可得在单调递减，在单调递增； 且，符合图象特征，B正确； 对于C：，与图象不符，C错误； 对于D：，因为 ， ， 由零点存在性定理，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在存在极小值，与图象不符，D错误； 故选：B. 7．若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 8．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 9．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 【答案】B 【分析】设，作出，的图象，利用数形结合可得的解的个数，再结合函数图象即可求解. 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数满足，则 ． 【答案】 【分析】对求导，再代入进行求解. 【详解】因为， 所以， 则，即. 故答案为： 11．在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，计算即可求解. 【详解】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数， 所以的系数为． 故答案为：. 12．如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有 种．（用数字作答） 【答案】24 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，以及组合与组合数的概念和计算方法，列出所有可能的情况，计算结果即可. 【详解】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种， 从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 则从出发不经过到达处，共有不同情况种. 故答案为：24. 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求得在时的值域为，所以原问题转换为对任意的实数，恒成立，分离参数即可求解. 【详解】设在时的值域为，，在时的值域为， 由题意总是满足， 显然在上单调递增，， 所以，又， 所以对任意的实数，恒成立， 而显然当时，有， 故只需考虑当时，恒成立， 显然当时，满足， 所以当时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以时，， 时，，等号成立当且仅当，而， 所以时，， 故所求为. 故答案为：. 15．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，且依次成等差数列，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用赋值法求二项式系数和； （2）利用二项式系数写出对应的表达式，再利用等差数列的性质列方程求解． 【详解】（1）当时，， 令，则， 令，则， ． （2）的展开式的通项为，系数， 由依次成等差数列，得，即， 代入组合数公式化简，得， 整理得，解得或 又， ， ． 17．（15分） 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）运用排列的乘法原理，先确定千位数的限制条件，再计算剩余数字的全排列数； （2）采用插空法处理不相邻问题，先排列不受限制的元素，再分类讨论偶数插入时的首位限制； （3）通过逐位分类与排列计数，结合字典序排列规则定位具体位置对应的数. 【详解】（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 18．（15分） 已知函数，在处切线的斜率为. （1）求的值； （2）求的极小值； （3）讨论方程的实数解的个数. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【分析】（1）根据题意得，求出值即可； （2）利用函数极值的求法可得答案； （3）利用导数研究函数的单调性，作出图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）， 因为在处切线的斜率为， 所以，则. （2）， 令，解得或， 当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 19．（15分） 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【详解】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 20．（16分） 设函数，其中． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． （3）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）方法一：分和两种情况根据导函数得出函数单调性进而得出最值即可求解参数；方法二：先参数分离，再构造函数应用导函数得出函数最大值即可求解参数； （2）根据有两个极值点，将不等式转化为再结合已知构造函数，应用导数得出函数单调性即可证明； （3） 构造函数，根据导函数得出函数单调性结合赋值法及（2）计算证明不等式. 【详解】（1）法一：因为，， 所以，． ①当时，，函数在上单调递增， 且当时，．所以此时不可能恒成立． ②当时，由，得． 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 从而函数． 要使恒成立，则，解得． 综合上述：a的取值范围为． 法二：由题意对于恒成立，所以 令，，则． 由得,且当时，单调递增， 当时，单调递减． 所以的最大值为． 所以．即a的取值范围为． （2）因为，， 所以．又因为有两个极值点， 所以，且． 欲证，即证． 因为，所以上式等价于证明  ① 由，，得，则  ② 由①、②可知原问题等价于求证， 即证． 令，上式等价于求证． 令， 则， 所以在上单调递增．所以，即． 故原不等式成立，即． （3）， 则，函数在上单调递增， 所以，即有，令，则， 由（2）问证明过程可知，其中． 所以，． 综上所述，． / 学科网（北京）股份有限公司 $