16.4.2 反比例函数的图象和性质-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（华东师大版·新教材）

该教案聚焦反比例函数的图象（双曲线）及性质（象限分布、增减性）、待定系数法。导入通过复习反比例函数定义、注意事项及画函数图象步骤，衔接一次函数图象知识，以“反比例函数图象是什么形状”搭建学习支架，引导学生从已有知识过渡到新知探究。 特色在于以探究式学习为主线，通过描点法画y=6/x、y=12/x等图象，对比k正负归纳性质，培养几何直观。例3结合函数值大小判断自变量关系，发展推理意识。拓展k的几何意义，强化模型意识。分层练习与小结帮助学生巩固，为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率与学生数学思维能力。

16.4.2 反比例函数的图象和性质 教学目标 1.理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质． 2.会用待定系数法求函数的表达式． 教学重难点 重点：理解反比例函数的性质，会用待定系数法求函数的表达式. 难点：应用反比例函数的性质解决简单的问题. 教学过程 一、导入 1.什么是反比例函数？ 【回答】一般地，形如 （ k是常数，k≠0 ）的函数叫做反比例函数． 2.反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）k 是非零常数；（2）自变量x的次数为-1；（3）自变量x的取值范围是x≠0；（4）xy=k． 3.画函数图象的一般步骤是什么？ 列表、描点、连线． 我们知道，一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么形状呢？你能用描点的方法画出函数的图象吗？ 二、课堂新授 探究一　反比例函数图象的画法 例1 画出反比例函数的图象． 【交流】这个函数中自变量x的取值范围是什么？ 【归纳】函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数． 请同学们完成x与y的对应值表． x … 6 1 2 3 6 … … … 【总结】列表时需注意：①列表时自变量取值要均匀和对称；②x≠0；③选整数较好计算和描点． 请同学们在准备好的平面直角坐标系中利用描点法画出函数的图象． 解：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 … … -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 … 【思考】请同学们观察函数图象回答： （1）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？ （2）函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每个象限内，y随x的变化如何变化？ 解：（1）只会无限接近x轴和y轴，但永不和它们相交. （2）一、三象限. （3）在每个象限内，y随x的增大而减小. 【试一试】画函数的图象，并观察函数的图象是否还具有上述结论． 观察函数图象回答： （1）函数的图象分别位于哪几个象限？ （2）在每个象限内，y随x的变化如何变化？ 答：图象在第一和第三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小． 　　【思考】请同学们在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察图象回答下列问题： 　　（1）函数的图象分别位于哪几个象限？ （2）在每个象限内，y随x的变化如何变化？ 答：图象在第二和第四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． 【思考】反比例函数的图象在哪个象限由什么确定？ 答：由比例系数k的正负确定. 【探究】反比例函数和的图象有什么共同的特点？它们之间有什么关系？ 【归纳】图象都是双曲线，它们的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对称． 【探究】反比例函数的图象的两个分支之间有什么关系？　　 　　 答：两个分支关于原点成中心对称． 【学生总结，教师补充归纳】反比例函数的图象及其性质： （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小； （3）当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大； （4）反比例函数的图象关于x轴和y轴成轴对称，关于原点成中心对称． 例2 已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝，求这个反比例函数的表达式． （根据用待定系数法求一次函数表达式的方法请同学们完成例2．） 解：设这个反比例函数为（其中k为待定系数）． 由已知，当x＝2时，y＝，可得． 可以求得k＝． 所以这个反比例函数的表达式是． 【试一试】已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点B(－1，6)、C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【思考】(引发学生思考)(1)要求反比例函数的表达式，那么需要确定k的值； (2)点在函数图象上，则点满足所给函数表达式． 解：(1)∵ 比例函数y＝的图象经过点A(2，3)， ∴ 3＝，解得k＝6，∴ 这个函数的表达式为y＝. (2)把B、C两点的坐标代入y＝， 有6≠－6，2＝， ∴ 点B不在该函数图象上，点C在该函数图象上． 【互动总结】(学生总结，老师点评)已知过反比例函数图象的一点，即可用待定系数法求出其表达式． 例3 (x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，判断x1、x2、x3的大小关系． 【思考】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．特别要注意的是，只有在同一象限，反比例函数的增减性才适用． 解：∵ 反比例函数y＝－中，k＝－1＜0， ∴ 此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵ y1＜0＜y2＜y3， ∴ 点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)，(x3，y3)两点均在第二象限， ∴ x2＜x3＜x1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k的符号，明确函数的增减情况.(2)看两点是否在同一个象限内，若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小；若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小． 【拓展】比例系数k的几何意义 思考1：在反比例函数y=的图象上分别取点P，Q.向x轴、y轴作垂线，围成 面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2，2） Q（4，1） 思考2：若在反比例函数的图象上也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1，4） Q（-2，2） 教师引导，学生分析： 对于反比例函数，点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是： ＝|k|. 推理：△QAO，△QBO的面积和k的关系是： ＝. 如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于点A，若△POA的面积为6，则k＝ . 答案：-12 【总结】确定反比例函数表达式中k的方法： 一组值确定法：当x＝a，y＝b时，k＝ab； 一个点确定法：已知点(a，b)，k＝ab； 长方形面积确定法：|k|＝长方形的面积. 三、巩固练习 1. 反比例函数的图象位于第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 2.如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是 . 3.若反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是_________. 4.如图，反比例函数图象上一点A与坐标轴围成的长方形ABOC的面积是8，求该反比例函数的表达式． 5.如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限，常数n的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b），B（a'，b'），如果a<a'，那么b与b'的大小关系如何？为什么？ 四、课堂小结 1.反比例函数的图象及其性质 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 2.反比例函数中k的几何意义 对于反比例函数，点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是： ＝|k|， △QAO与△QBO的面积和k的关系是： ＝. 3.确定反比例函数表达式中k的方法 一组值确定法：当x＝a，y＝b时，k＝ab； 一个点确定法：已知点(a，b)，k＝ab； 长方形面积确定法（k的几何意义）：|k|＝长方形的面积． 五、布置作业 必做：教材P60练习 教材P61习题T2-7 选做：请完成《名校作业》对应习题 学科网（北京）股份有限公司 $