16.1 第1课时 变量与函数的概念-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（华东师大版·新教材）

该教案聚焦变量、常量及函数概念，涵盖函数三种表示方法。通过“大千世界运动变化”导入，结合气温图、体重表等生活实例，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生发现数量关系，衔接生活现象与数学概念。 特色在于情境化问题链设计，以气温、波长等实例让学生用数学眼光观察现实世界，通过分析变量对应关系培养数学思维，结合解析法、列表法等强化数学语言表达。例题与练习结合提升学生抽象能力和模型意识，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

第16章 函数及其图象 16.1 变量与函数 第1课时 变量与函数的概念 教学目标 1.了解常量、变量和函数的概念，体会变化与对应的思想. 2.了解函数的三种表示方法. 3.能根据条件写出简单的函数关系式，并能准确地识别自变量，因变量和常量. 教学重难点 重点：了解常量、变量和函数的概念. 难点：能根据条件写出简单的函数关系式. 教学过程 一、导入 大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢? 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 二、课堂新授 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 【问题1】如图是某地一天内的气温变化图. 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 解：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃，2℃，5℃. (2)这一天中，最高气温是5℃,最低气温是-4℃. (3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T (℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？ 【问题2】小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 周岁 1 2 3 4 5 6 7 体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 周岁 8 9 10 11 12 13 体重(kg) 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 解：随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1~2岁增加得较快. 【问题3】收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值： 波长l(m) 300 500 600 1 000 1 500 频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200 观察上表回答： (1)波长l和频率f数值之间有什么关系? (2)波长l越大，频率f就________. 解：(1)l与f的乘积是一个定值，即，或者说. (2)波长l越大，频率f就越小. 【问题4】圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝_________. 利用这个关系式，试求出半径为1 cm，1.5 cm，2 cm，2.6 cm，3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表： 半径r（cm） 1 1.5 2 2.6 3.2 … 圆面积S（cm2） … 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________. 解：S＝πr2. 半径r（cm） 1 1.5 2 2.6 3.2 … 圆面积S（cm2） 3.14 7.065 12.56 21.226 4 32.153 6 … 圆的半径越大，它的面积就越大. 知识讲解 1.常量和变量 【交流】在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量. 在第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是气温，气温随着时间的变化而变化. 在第2个问题中，有两个变量，一个是年龄，另一个是体重，体重随着年龄的变化而变化. 在第3个问题中，l和f是变量，而它们的积等于300 000，是常量. 在第4个问题中，S和r都是变量，π是常量. 【概括】常量：在某一个变化过程中始终保持不变的量叫做常量. 变量：在某一个变化过程中可以取不同数值的量叫做变量. 【交流】大家举例说一说哪些是常量和变量？ 2.函数 如果在一个变化过程中，有两个变量，假设为和，对于的每一个取值，都有唯一的值与之对应，那么是自变量，是因变量，此时，是的函数. 【注意】（1）函数只研究变化过程中的两个变量，不研究多个； （2）对于自变量的每一个取值，函数都有唯一的值与之对应. 分析：上述的第3个问题中，lf=300 000，给出一个l的值，变量f有唯一的值与之对应，l是自变量，f是因变量（f是l的函数）. 上述的第4个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S的唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量（S是r的函数）. 随堂训练 判断下列变量关系是不是函数？ (1)正方形的边长与面积. (2)关系式y＝中，y是x的函数吗？ 【答案】（1）是；（2）不是. 【总结】判断变量间的关系是不是函数关系，我们可以看得到的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义. 3.函数的表示方法 表示函数关系的方法通常有三种： (1)解析法，如问题3中的f=，问题4中的S=πr2，这些表达式称为函数的关系式； (2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表； (3)图象法，如问题1中的气温曲线． 4.书写函数关系式的步骤 （1）先认真审题，根据题意找出相等关系； （2）按相等关系，写出含有两个变量的等式； （3）将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子. 5.函数关系式的书写格式 函数的关系式是等式，通常等式的右边是含有自变量的代数式，左边的一个字母表示函数.例如：S=πr2，y=0.50x，y＝2.4x+0.2. 例题讲解 例1 用总长60 m的篱笆围成一个矩形场地，求矩形面积S（m2）与一边长l（m）之间的关系式，并指出式中的常量和变量，自变量和因变量. 解：S=（）l，总长60是常量，边长和面积是变量；自变量是l,因变量是S. 例2 下列关系式中，哪些式中的y是x的函数？ 解：（1）和（3）中的y是x的函数. 【小结】在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.在实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数. 三、巩固练习 1.常量和变量在研究“某一变化过程中”时是确定的，以s=vt为例（t为时间，v为速度，s为路程）： ①若速度v固定，则常量是_______，变量是_______； ②若时间t固定，则常量是_______，变量是_______. 2.已知变量x与y的四种关系：y=|x|，|y|=x， 2x2-y=0，2x-y2＝0，其中y是x的函数的有_____个. 3.若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，则行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的函数关系式是（ ） A.s=50+50t B.s=50t C.s=50-50t D.以上都不对 4.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ） A.长方形的宽一定，其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.圆的半径与面积 D.等腰三角形的底边长与面积 5.下列说法不正确的是( ) A．公式V=中， 是常量，r是变量，V是πr的函数 B．公式V=πr3中，V是r的函数 C．公式v=中，v可以是变量，也可以是常量 D．圆的面积S是半径r的函数 四、课堂小结 1.常量与变量 常量：在某一个变化过程中始终保持不变的量叫做常量. 变量：在某一个变化过程中可以取不同数值的量叫做变量. 2.函数的概念 如果在一个变化过程中，有两个变量，假设为和，对于的每一个取值，都有唯一的值与之对应，那么是自变量，是因变量，此时，是的函数. 五、布置作业 必做：教材P32练习 选做：请完成《名校作业》对应习题 学科网（北京）股份有限公司 $