15.3 第1课时 分式方程及其解法-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（华东师大版·新教材）

该教案聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆水航行的实际问题导入，联系整式方程知识，引导学生类比发现分母含未知数的特点，搭建从整式到分式方程的学习支架。 以化归思想为主线，通过小组讨论探究解法，结合例2、例4分析增根成因，培养数学思维中的推理意识。例5、例6结合参数讨论解的情况，提升应用意识，助力学生抽象能力发展，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教学目标 1.使学生了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程. 2.让学生探索可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解数学思维中的化归思想. 教学重难点 重点：分式方程的概念. 难点：让学生明确分式方程验根的必要性. 教学过程 一、导入 【问题】轮船在顺水中航行千米所需的时间和逆水航行千米所需的时间相同.已知水流的速度是千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：（1）顺水速度=静水速度-水流速度，逆水速度＝静水速度-水流速度；（2）等量关系：顺水航行千米所需的时间＝逆水航行千米所需的时间. 解：设轮船在静水中的速度为千米/时. 根据题意，得 二、课堂新授 1.探索分式方程的概念 【讨论】方程有什么特点？同以前学的方程有什么区别？请你举个类似的方程. 【活动安排】教师引导学生从未知数的角度将它同整式方程类比，从而得出分式方程的概念. 【总结】分式方程的概念： 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 【注意】分式方程与整式方程的区别在于未知数是否含在分母，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之则是整式方程. 例1 下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A.＝　　　　　 　　B.＝ C.+1＝　　　　　　 　D.＝ 解析：A， B中方程的分母中不含未知数，故不是分式方程；C中方程的分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程的分母中含未知数x，故是分式方程. 【答案】D 【总结】（学生总结，老师点评） 如何判断一个方程是分式方程：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，注意必须是表示未知数的字母. 2.探索分式方程的解法 【小组讨论】解分式方程. 【活动安排】让学生充分发表意见，相互补充，达成共识：将分式方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘整式取方程中出现的各分式的最简公分母. 【思考】 （1）分母中的最简公分母是什么？ （2）如何把分式方程的分母去掉？ 解：. 方程两边同乘以（x+3）（x-3），约去分母，得 80（x-3）=60（x+3）. 解这个整式方程，得x=21. 【讨论】是否应该检验？如何检验？ 【总结】 （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程. （2）解分式方程的关键：分式方程两边同时乘最简公分母，约去分母后得到整式方程. 3.探索分式方程的增根 例2 解方程： 分析：首先分解因式，然后确定最简公分母，再在方程两边同时乘以，约去分母，化分式方程为整式方程，求出该整式方程的解，并验根. 【思考】解分式方程时，为什么要验根？ 【活动安排】学生观察解分式方程的过程，探究产生增根的原因，并与同学交流. 【教师总结】在解分式方程时，方程的两边同时乘最简公分母，若最简公分母为零时，此乘法就不合理，因而就产生了不适合原分式方程的根，即增根.若最简公分母不为零，此时就不会产生增根. （1）分式方程的增根不适合于原分式方程，而适合于分式方程转化而成的整式方程； （2）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根. 4.讲解例题，巩固新知 例3 解方程： 【活动安排】（1）引导学生动手解题；（2）教师板书示范；（3）强调要检验整式方程的根是否为原分式方程的根. 解：方程两边同乘以，约去分母，得 解这个整式方程，得. 检验：把代入，得 所以，是原方程的解. 【师生总结】如何解分式方程？ 关键：将分式方程转化为整式方程. 步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解. 简记为：“一化、二解、三检验”. 检验有两种方法：一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母.一般是代入最简公分母检验. 去分母的方法：⑴把各分母分解因式； ⑵找出各分母的最简公分母； ⑶方程两边各项乘最简公分母. 例4 在解方程＝-2时，小亮的解法如下： 解：方程的两边同乘x-2，得1-x＝-1-2（x-2）. 解这个方程，得x＝2. 【教师提问】x＝2是原方程的根吗？为什么？ 【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，踊跃回答. 答：在上面的方程中, x＝2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零. 【师生总结】 产生增根的原因：在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式. 注意：解分式方程一定要验根！ 例5 若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是 . 解析：去分母，得2x+a＝x-1，解得x＝-a-1. ∵ 关于x的方程＝1的解是正数， ∴x＞0且x≠1. ∴ -a-1＞0且-a-1≠1， 解得a＜-1且a≠-2. 【方法总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 例6 若关于x的分式方程无解，求m的值. 【思考】无解说明什么？两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0. 解：方程两边都乘(x+2)(x-2)，得2(x+2)+mx＝3(x-2)， 即(m-1)x＝-10. ①当m-1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝-2， 当x＝2时，代入(m-1)x＝-10，得(m-1)×2＝-10，解得m＝-4； 当x＝-2时，代入(m-1)x＝-10，得(m-1)×(-2)＝-10，解得m＝6. ∴m的值是1或-4或6. 【总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义不一样：分式方程有增根仅仅是指求得的整式方程的解使最简公分母为0；分式方程无解不但包括求得的整式方程的解使最简公分母为0，而且还包括分式方程化为整式方程后无解. 三、巩固练习 1.下列方程是分式方程的是(　　) A.＝　　 B. ＝-2 C.2x2 + x-3＝0　 D.2x-5＝ 2.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是(　　) A.2-1-x＝1 B. 2-1+x=1 C. 2-1-x＝2x D.2-1+x＝2 x 3.若方程＝有增根，则增根为(　　) A.0　 B.2　　 C.0或2　 D.1 4.解方程： (1) ； (2) ； (3) . 5.当m为何值时，分式方程 + ＝4会产生增根？ 四、课堂小结 1.解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. （2）解这个整式方程. （3）把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. （4）写出原方程的根. 2.方程的增根： 若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根. 产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式. 【注意】解分式方程一定要验根！ 五、布置作业 必做：教材P16练习T1，2 教材P16习题 T1，2 选做：请完成《名校作业》对应习题 学科网（北京）股份有限公司 $