15.3 第1课时 分式方程及其解法-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（华东师大版·新教材）

15.3  可化为一元一次方程的分式方程

第1课时  分式方程及其解法

教学目标

1.使学生了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程.

2.让学生探索可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解数学思维中的化归思想.

教学重难点

重点：分式方程的概念.

难点：让学生明确分式方程验根的必要性.

教学过程

一、导入

【问题】轮船在顺水中航行千米所需的时间和逆水航行千米所需的时间相同.已知水流的速度是千米/时，求轮船在静水中的速度.

分析：（1）顺水速度=静水速度-水流速度，逆水速度＝静水速度-水流速度；（2）等量关系：顺水航行千米所需的时间＝逆水航行千米所需的时间.

解：设轮船在静水中的速度为千米/时.

根据题意，得

二、课堂新授

1.探索分式方程的概念

【讨论】方程有什么特点？同以前学的方程有什么区别？请你举个类似的方程.

【活动安排】教师引导学生从未知数的角度将它同整式方程类比，从而得出分式方程的概念.

【总结】分式方程的概念：

方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

【注意】分式方程与整式方程的区别在于未知数是否含在分母，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之则是整式方程.

例1 下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)

A.＝　　　　　  　　B.＝

C.+1＝　　　　　　 　D.＝

解析：A， B中方程的分母中不含未知数，故不是分式方程；C中方程的分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程的分母中含未知数x，故是分式方程.

【答案】D

【总结】（学生总结，老师点评）

如何判断一个方程是分式方程：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，注意必须是表示未知数的字母.

2.探索分式方程的解法

【小组讨论】解分式方程.

【活动安排】让学生充分发表意见，相互补充，达成共识：将分式方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘整式取方程中出现的各分式的最简公分母.

【思考】

（1）分母中的最简公分母是什么？

（2）如何把分式方程的分母去掉？

解：.

方程两边同乘以（x+3）（x-3），约去分母，得

80（x-3）=60（x+3）.

解这个整式方程，得x=21.

【讨论】是否应该检验？如何检验？

【总结】

（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程.

（2）解分式方程的关键：分式方程两边同时乘最简公分母，约去分母后得到整式方程.

3.探索分式方程的增根

例2  解方程：

分析：首先分解因式，然后确定最简公分母，再在方程两边同时乘以，约去分母，化分式方程为整式方程，求出该整式方程的解，并验根.

【思考】解分式方程时，为什么要验根？

【活动安排】学生观察解分式方程的过程，探究产生增根的原因，并与同学交流.

【教师总结】在解分式方程时，方程的两边同时乘最简公分母，若最简公分母为零时，此乘法就不合理，因而就产生了不适合原分式方程的根，即增根.若最简公分母不为零，此时就不会产生增根.

（1）分式方程的增根不适合于原分式方程，而适合于分式方程转化而成的整式方程；

（2）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.

4.讲解例题，巩固新知

例3  解方程：

【活动安排】（1）引导学生动手解题；（2）教师板书示范；（3）强调要检验整式方程的根是否为原分式方程的根.

解：方程两边同乘以，约去分母，得

解这个整式方程，得.

检验：把代入，得

所以，是原方程的解.

【师生总结】如何解分式方程？

关键：将分式方程转化为整式方程.