2.5 简单复合函数的求导法则（2)切线问题 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.5 简单复合函数的求导法则（2） （研究导函数的切线问题） 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【知识要点】 1.核心工具箱 【典型例题】 2.核心等式和关键要素 题型1：已知切点型（最简单） 题型2：未知切点型（设切点） 题型3：过点型 —— “过点P的切线”（重点难点） 题型4：公切线问题（高频难点） 四类题型对照表 互动设计课程 学 习 目 标 利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则研究切线问题的专题课，涵盖切线问题的四大核心类型。。。 返回主页 熟练运用导数的四则运算法则和复合函数求导法则求切线斜率 掌握”有切点型、无切点型、过点型、公切线型”四类切线问题的解题策略 能准确区分”在点处的切线”与”过点的切线”的本质区别 通过对比分析，建立切线问题的分类讨论框架 体会方程思想、数形结合思想在切线问题中的应用 培养分类讨论和转化化归的数学思维能力 探 求 新 知 返回主页 1.核心工具箱 2.核心等式和关键要素 知识回顾与情境导入 法则类型 公式 应用场景 和差法则 多项式函数切线 积法则 乘积形式函数 商法则 分式函数切线 链式法则 复合函数切线 核心等式和关键要素 核心等式：切线方程 关键要素：切点 + 斜率 典 例 铺 路 题型1：已知切点型（最简单） 题型2：未知切点型（设切点） 题型3：过点型 —— “过点P的切线”（重点难点） 题型4：公切线问题（高频难点） 四类题型对照表 题型1：已知切点型（最简单） 特征：已知切点坐标 ，且 在曲线上 示例：求曲线 在点 处的切线方程。 分析： 验证： ✓，点在曲线上 属于”有切点型” Step 1：求导数（运用和差法则与幂函数求导） Step 2：求切线斜率 Step 3：写切线方程 。 几何意义：切线为水平线（x轴），说明该点为函数的驻点。 切线 解：，切点 ， 切线： 学生练 切线 求曲线 在点 处的切线方程。 复合函数 设 ，则 在 处： 切线方程： 题型2：未知切点型（设切点） 只给函数，求在某点（但不知道切点）的切线。 步骤模板 设切点 求导得斜率 写切线方程： 利用过某点代入方程，解 示例：求曲线 的切线中，斜率最小的切线方程。 Step 1：求导并分析 当 时， Step 2：确定切点 斜率最小时 ，，切点为 Step 3：写切线方程 公切雏形 求曲线 在点 处的切线与曲线 相切，求 的值。 Part 1：求第一条切线 对 用商法则： 在 处： 切线方程： Part 2：与抛物线相切 联立 得 ，即 相切条件： 解得： 【类型三】过点型 —— “过点P的切线”（重点难点） 求过曲线外一点 的切线。 步骤模板 设切点 切线： 代入 ： 解方程求 ，可能一条或两条切线 示例 求过点 且与曲线 相切的直线方程。 Step 1：判断点P位置 ，点P不在曲线上 → 属于”过点型” Step 2：设切点并写切线 设切点为 切线方程： Step 3：代入点P(2, -6) 展开整理： 解得： 或 Step 4：写出两条切线 当 时，切点 ， 当 时，切点 ， 即 图示说明：过曲线外一点可作两条切线，分别切于不同位置。 求过原点且与曲线 相切的直线方程。 学生练 设切点为 ，斜率 切线方程： 过原点 ： 因为 ，两边除以 ： 所以 ，切点 ， 切线方程： 注意：虽然只解出一个 ，但这是唯一解，说明过原点只有一条切线。 题型4：公切线问题（高频难点） 定义：同时与两条曲线相切的直线称为两曲线的公切线 分类： 外公切线：两曲线在切线同侧 内公切线：两曲线在切线异侧 解题策略： 1. 设双切点：设切线切曲线1于 ，切曲线2于 2. 列双条件： - 斜率相等：（同一直线斜率相同） - 点共线：两点都在切线上，斜率公式一致 3. 解方程组：求解 ，确定公切线 示例： 求曲线 与 () 的公切线方程。 设公切线 与 相切：， … ③ 与 相切：， 相切： … ④ 由③④：， 设 （保证 需 ） 则 代入④：，，（取实数解） 所以 ， 学生练若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，求 。 Step 1：设切点 设切 于 设切 于 Step 2：求导列方程 曲线1：，切线斜率 曲线2：，切线斜率 斜率相等：，即 … ⑤ 切线方程1： 即 切线方程2： 即 （用⑤代换） Step 3：比较截距 结合⑤：，， Step 4：求b 四类题型对照表 类型 已知条件 未知量 核心方程 难度 有切点型 切点 在曲线上 切线方程 直接求 ⭐ 无切点型 斜率 （或其他条件） 切点 + 切线 ⭐⭐ 过点型 点 （不一定在曲线上） 切点 + 切线 点P在切线上 ⭐⭐⭐ 公切线型 两条曲线 两个切点 + 切线 斜率相等 + 点共线 ⭐⭐⭐⭐ 随 堂 演 练 返回主页 【1】 求曲线 在点 处的切线方程。 答案 ， 切线：，即 【2】 求曲线 在点 处的切线方程。 答案 （链式法则）， 切线：（水平切线） 【3】 求过点 与曲线 相切的直线方程。 答案 设切点 ，，斜率 切线： 过 ： ， 切线方程：（或数值形式） 【4】 已知曲线 ，求过点 的切线方程。 答案与提示 陷阱：，点P在曲线上！但”过点P”仍可能有其他切线。 情况一：P为切点，，切线： 情况二：P不为切点，设切点 切线过P： 解得 ，切线： 答案： 和 【5】 若曲线 与 有公切线，求 的取值范围。 答案与提示 设公切线切 于 ，切 于 条件： - （斜率相等） - 同一直线方程 最终得 ，求值域… 答案：（当 时取等，公切线为 ） 随 堂 检 测 返回主页 【1】 求 在 处切线。 解： ，，切点 切线： 【2】 求 过原点的切线。 解： 设切点 ， 切线： 过 ： 切线： 【3】 求 与 的公切线斜率（思路）。 设切点 、 斜率相等： 再用截距相等列方程即可求解。 【4】 过点 与曲线 相切的直线有（　）条 A. 0　　　B. 1　　　C. 2　　　D. 3 答案 B 点 不在抛物线上，设切点 ，切线 过 ：， 时切线 （x轴）； 时切线 修正：应选 C. 2条 课 堂 小 结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 问题类型 设元策略 方程建立 求解关键 有切点 无需设元 直接计算 准确求导 无切点 设切点 解方程 过点型 设切点 点在切线上 解 可能多解 公切线 设双切点 斜率相等+点共线 解方程组 46 2. 易错警示 混淆”在点”与”过点”：前者切点确定，后者切点待定 漏解：过点型问题常有多条切线，需解完整方程 定义域忽视：如 47 3. 思想方法 方程思想：将切线条件转化为关于切点横坐标的方程 数形结合：画图辅助判断切线个数和位置 分类讨论：根据点与曲线的位置关系分类处理 48 $