学易金卷：高二数学下学期第一次月考（北师大版，范围：选择性必修第二册数列）

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 C B D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD ABC AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.860 13.(5,6 14. 811 923*1-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(9≠0) 因为S6+2S3,所以9≠1， 所以5g=2=,6=9=9, 1-g 1-g 则房--等-号-等，整题特1十93=9.新9=3，所以a,=支 1- 1-g 1-g3 1-0 所以an=支×21=2r2(6分) (2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a6,a7,ag成等比数列， 所以a=a6ag,即(a6+d)2=a6(a6+3d), 所以d=a6d, 因为d≠0，所以a6=d, 1/5 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 型 所以器=而 品-尝=号13分) 16.(15分) 【解析】(1)由a1=1,可得2a1-S1=2a1-a1=a1=1, 又{2an-Sn}为常数列，所以2an-Sn=1,即Sn=2an-1, 当n≥22时，Sm-1=2ar-1-1, 所以，当n≥2时，an=2am-1,又a1=1, 所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 故an=2r-1.(7分) (2)因为n=2m1,所以dn=是=器，毫=，9分) Tm=京+京+…+京=2×+3×分+…+（阳+×克， 专Tn=2×克+3×支+…+（血+1×寺， 所以吃Tm=2+岁+京+…+六-（口+）×克 =2+空-学=3-六-学 1- =3-空 所以Tm=6-#.(15分) 17.(15分) 【解析】(1)因为a+1=2an+2n-1(neN), 所以aH1+2(n+1)+1=2(an+2n+1), 所以{an+2n+1)是以a1+2×1+1=4为首项，公比为2的等比数列.(4分) (2)由(1)可得an+2n+1=4×2r1=2+1, 所以an=2+1-2n-1.(5分) 所以Sn=a1+a2+…+an=(22-3)+(23-5)+…+[2+1-(2n+1)] =(22+23+…+2+1)-(3+5+7+…+2n+1) =20-2_43+2+1 1-2 2 =2+2-n2-2n-4,(9分) 若·2”+Sn+4>0对于vn∈N恒成立， 2/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即λ·2+2+2-n2-2n-4+4>0,可得λ20>n2+2n-2*2, 即入>空-4对于任意正整数n恒成立，(1分) 所以>[学2-4] 令bn=t2-4,则b+1-bn=禁。 所以b1<b2>b3>b4>…, 可得(ba）mm=b2=学-4=-2，所以>-2， 所以的取值范围为（一2，+∞）.(15分) 18.(17分) 【解析】(1)由题意，P1=1,第3天跳绳有两种情况： 第1天跳，第3天跳，其概率为1×叠=： 第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为1×寺×幸= P3=寻+话=器.(3分) (2)由题意得，小华第(n-2)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为浮Pm2? 小华第(n-1)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为Pm1: Pn=P1+Pm2(n23),即4Pn=Pm-1+3Pm-2(n≥3)， 4Pn=4Pm-1-3Pm-1+3Pm-2 A4Pa-Pm)=-3(Pn1-P2),2=-(a23). {Pn-Pm-1}是以P2-P1为首项，-为公比的等比数列.(7分) 3):P2=,P2-P1=-,aPn-Pm1=(-)1, P2-P1=(-),P3-P2=(-)2,,Pn-Pn1=(-), P=P+(-)+(-)2+…+(-)m1, Pn=1+- 1)■ :Pn=号+号×(-)(1≤n≤30).(12分) 记他前n天中，第天跳绳的天数为X由题意得，X服从两点分布，且P(X;=1)=P, 因为X=X1+X2+…+Xn, 所以E(X)=E[X1+(X2+…+Xn)]=E(X1)+E(X2+…+Xn) 3/5 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =E(X1)+E[X2+(X3+…+Xn)]=E(X1)+E(X2)+E(X3+…+Xn)=… =E(X1)+E(X2)+…+E(Xn), E(X)=P1+P2十…+Pn, :E(x)=1+[净+号×(-)]+[净+号×(-)]+…+[9+号×(-)]， E(X)=1+2-0[1-（-)4]=9+最×（-)+号(1≤n≤30)17分) 19.(17分) 【解析】(1)在等差数列{an}中，设公差为d, 【2a1+7d=16 ∫a1=1 依题意，可得a十4d=3(a1十d),解得d=2 故an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=+2y=n2(3分) (2)(i）由己知，bm=1ogg(18x2…xm3)=1og3x2…xm, 则b+1=log1·(1·x1)x1(12)·x2…xm-1(xm1xm)xm(3xm):3 =1og12.xx…x昂3 =log [128m3 13 =31og3(3x1x2xm)-1 =3bm-1.(6分) 于是b+1-支=3(bn-吉)，可得{bn-}是以号为首项，3为公比的等比数列 故bn-支=号×31=支×3”，故bn=(3+1).(8分) (因=0时=雅*=响 -响+…+病++帘++…+ 而49十g4g十…+g49+g4g+…十+g中，共有(2m-1)项 注意到中十=十可=路-： 南+可=十=诗=京： 1 9州-1 1 南+g=十=器=声， 1 9州-2 4/5 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 于是g中g十g+g十…十g49十g+g+…十g+9 =(m-1)声+京=(m-)·()”(12分) 限-（m-》(-×有+×+×++学x(户， 记Tn=支×青+号×()+×（传）°+…+学×()”， 则号rn=支×()°+号×()3+×()+…+2空2×（喝）1， 两式相减，可得号Tn=-诗+传+京+号+…+寺)-2学×()1， r=一+学-学× 即号Tn=壳-×()*，故得Tn=高-鸭辟×()”， 即c=品-(+)()”17分) 5/5 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz 4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 7．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 8．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ） A．若，则是数列中绝对值最小的项 B．若则 C．若为数列的前项的和，则 D．若则 11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 13．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 16．（15分） 记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 17．（15分） 已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1)证明：数列是等比数列； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求. 19．（17分） 已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 1.【答案】A 【解析】因为，， 所以，，，. 故选：A. 2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2.【答案】C 【解析】由题意可知等差数列满足：， 所以得：， 所以． 故选：C． 3．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz 3.【答案】B 【解析】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为， 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音， 两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：B. 4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.【答案】D 【解析】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 所以是等比数列，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 5.【答案】D 【解析】由已知得，且，， 取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D. 6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 6.【答案】C 【解析】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数， 这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又 . 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 7．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 7.【答案】C 【解析】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 8．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 8.【答案】A 【解析】由题数列的前项和且，对一切正整数都成立，则 当 时， ① 当 时，得 ② ②-①得， ③ 结合，可解得 . 可得 . 则 ，它是一个等比数列，故 . 当为奇数时，随的增大而增大，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 综上，当时，总有 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 9.【答案】ABD 【解析】A选项，由题意得，故， 其中，故为等比数列，A正确； B选项，，故， 又，故是等差数列，B正确； C选项，，， ，其中，故不是等比数列，C错误； D选项，，故， 故，所以为等比数列，D正确. 故选：ABD. 10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ） A．若，则是数列中绝对值最小的项 B．若则 C．若为数列的前项的和，则 D．若则 10.【答案】ABC 【解析】对于A，因为为等差数列，且， 所以，即，所以且， 因为，所以数列为递增数列， 当时，；当时，，所以， 即是数列中绝对值最小的项，故选项A正确； 对于B，因为为等差数列，所以为等差数列， 设，由得：，故， 所以，， 所以，， 所以，故选项B正确； 对于C，因为为等差数列，且， 所以，则，则， 令，得，解得， 为数列的前项的和，所以 ，故选项C正确； 对于D，因为为等差数列，且， 所以，则，，即 所以，故选项D错误. 故选：ABC. 11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或 11.【答案】AD 【解析】当时，，得，因①， 当时，②， 由①②，，即，取时，满足题意， 故数列的通项公式为，又因，故. 当时，；当时，， 因时，符合题意 ，故， 则，故A正确； 对于B，由A已得，，则， 因时， 时，，而， 故的最大值为或，有最小值，故B错误； 对于C，由，可得， 易得,且，故的最大项为，故C错误； 对于D，由，可得，由C项分析已得为的最大项， 故得，解得或，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 12.【答案】860 【解析】设，由题意知，为公差为3的等差数列， 则，故， 故， 故. 故答案为：860 13．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数 的取值范围是 . 13.【答案】 【解析】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ． 14.【答案】 【解析】根据题意有, 令，所以， 则的前 项和为，则有： 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 15．（13分） 【解析】（1）设等比数列的公比为. 因为，所以， 所以，， 则，整理得，解得，所以. 所以. （2）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. 16．（15分） 记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 16．（15分） 【解析】（1）由，可得， 又为常数列，所以，即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故. （2）因为，所以，， ， ， 所以 所以 . 17．（15分） 已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1)证明：数列是等比数列； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分） 【解析】（1）因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以． 所以 若对于恒成立， 即，可得， 即对于任意正整数恒成立， 所以， 令，则， 所以， 可得，所以， 所以的取值范围为． 18．（17分） 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求. 18．（17分） 【解析】（1）由题意，，第3天跳绳有两种情况： 第1天跳，第3天跳，其概率为； 第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为. . （2）由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， 小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， ，即，. ，， 是以为首项，为公比的等比数列. （3），，， ，，，， ， ， . 记他前天中，第天跳绳的天数为.由题意得，服从两点分布，且， 因为， 所以 ， ， ， . 19．（17分） 已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 19．（17分） 【解析】（1）在等差数列中，设公差为， 依题意，可得，解得. 故，. （2）（i）由已知，， 则 . 于是，可得是以为首项，3为公比的等比数列. 故，故. （ii）因. 则. 而中，共有项. 注意到； ∴； ； … 于是 . ∴原式， 记， 则， 两式相减，可得， 则， 即，故得， 即 . / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz 4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 7．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 8．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ） A．若，则是数列中绝对值最小的项 B．若则 C．若为数列的前项的和，则 D．若则 11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 13．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 16．（15分） 记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 17．（15分） 已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1)证明：数列是等比数列； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求. 19．（17分） 已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $