专题06一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题06一元一次不等式组 【题型01 一元一次不等式组的定义】................................3 【题型02 求不等式组的解集】......................................4 【题型03 解特殊不等式组】........................................7 【题型04 求一元一次不等式组的整数解】............................9 【题型05 由一元一次不等式组的解集求参数】.......................12 【题型06 由不等组解集的情况求参数】.............................14 【题型07 不等式组和方程组结合的问题】...........................16 【题型08 列一元一次不等式组】...................................18 【题型09 不等式组的行程问题】...................................20 【题型10 不等式组的经济问题】...................................26 【题型11 不等式组的分配问题】...................................30 【题型12 不等式组的方案选择问题】...............................33 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】...........................37 【题型14 解答题4题】...........................................40 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分。没有公共部分 → 不等式组无解。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤 1.分别解出每一个一元一次不等式。 2.在同一数轴上表示出每个解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集。 知识点03:四种解集规律（a < b） 知识点04:一元一次不等式组的实际应用 1.应用核心：解决含多个不等关系的实际问题（如分配问题、方案设计问题、最值问题），区别于一元一次方程的 “单一相等关系”。 2.解题步骤（与列方程解应用题类似，关键是找 “不等关系”）： (1)审：审清题意，找出题目中的所有不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于、不能为负等）； (2)设：设出合适的未知数（通常设所求量为x，注意单位）； (3)列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； (4)解：解出不等式组的解集； (5)验：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数为正整数，长度、面积为正数等）； (6)答：根据检验后的解集，写出符合题意的答案（若为方案设计，需列出所有可行方案）。 3.常见高频题型 + 直接套用公式 1. 分配问题（分物品、分房间、分宿舍） 题干关键词：每人分… 还剩…；每人分… 不够… 核心模型 通用列式模板 2. 方案选择问题（购买、运输、工程） 关键词：至少、至多、不超过、不少于、几种方案 核心公式 先表示两种量：x 和 总数−x 列两个条件: 解出 x 范围 → 数整数个数 = 方案数 3. 速度 / 路程问题 关键词：在… 时间内到达、比… 快、比… 慢 公式:路程=速度时间 4. 利润问题（进货、销售） 关键词：不亏本、利润不低于…、成本不超过… 核心公式:利润=售价-进价 【题型1.一元一次不等组的定义】 【典例】我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 【跟踪专练1】限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式组的应用，根据实际意义列出不等式组即可． 【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为， 故选：D． 【跟踪专练2】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 【跟踪专练3】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，掌握不等式组解集的概念是解题关键． 分别求解每个不等式，然后取它们的公共部分（即交集），即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点位于第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在第一象限需横纵坐标均大于0，列不等式组求解． 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：∵点P在第一象限， ∴，， 由， 得； 由， 得， 即； ∴m的取值范围为 故选：A． 【跟踪专练2】已知一次函数与交于点，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线交点求不等式组的解集，先求得的解集为，根据一次函数与交于点，可得点，进而可得的解集，进而求不等式组的解集，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵一次函数与交于点， ∴ ∴点， 代入，得 ∴ 解，即得，， 则的解集为 故答案为：． 【跟踪专练3】对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解可得：， 解可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 【题型3.解特殊不等式组】 【典例】下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可． 【详解】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不正确，不符合题意； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意； ③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，故不符合题意； ④ 是方程x﹣2y＝3的一组解，不是唯一解，故不符合题意； ⑤不等式组 的解集为x＝1，故不符合题意． 所以正确的个数是：1个 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组．熟悉二元一次方程的解，以及一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1， 解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥， ∵不等式组只有3个整数解， ∴-3＜≤-2， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【跟踪专练2】一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 【跟踪专练3】要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 【题型4.求一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其最小整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先解一元一次不等式组，再求其最小整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解为：， ∴最小整数解是， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式组的所有整数解之和是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】A 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式得到不等式组的解集，即可得解． 【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 所有整数解之和是， 故选：A． 【跟踪专练2】已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组只有两个整数解，设不等式的两个整数解为和，得出，解不等式组可得，即可得出或，代入即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 设不等式的两个整数解为和， ∴，即， ∵不等式有解， ∴， 解得， ∴或，即不等式的两个整数解为、或、， ∴或， 解得或 故答案为：或 【跟踪专练3】对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，求一元一次不等式组的整数解．根据新定义运算将转化为，结合解的条件列关于m的不等式组，求出不等式组的解集，筛选符合条件的整数并求和即可． 【详解】解：根据“※”定义，不等式为 ， 解得 ， 有且只有两个正整数解， 正整数解为1，2， ， 解得， m为整数， ， 所有满足条件的m的和为， 故选：A． 【题型5.由一元一次不等式组的解集求参数.】 【典例】关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组即可． 【详解】解：解关于x的不等式组， 得， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 当时，， 则， 时，， 则a无解． ， 故答案为： 【跟踪专练3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先求出，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答． 【详解】解：由得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， ∴， ∴关于x的不等式，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【题型6.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，不等式组中两个不等式的解集满足“大大小小找不到” 不等式组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式组及不等式组的整数解的应用，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．先解不等式组，根据不等式组只有3个整数解即可确定m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式的解集为， 不等式组只有3个整数解，且为， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．先求出不等式的解集，根据新定义列出关于a的不等式（组），即可求解． 【详解】解：解不等式组得， ∵该解集被覆盖， ∴或， 解得或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 【题型7.不等式组和方程组结合的问题】 【典例】在方程组中，若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【答案】D 【分析】把k当作已知表示出x、y的值，再根据x、y为正数求出k的取值范围即可． 【详解】解： ，①﹣②×2得，（k+4）y＝4，解得y＝ ， 代入②得，x＝， ∵此方程组的解为正数，即 ， ∴k+4＞0，解得k＞﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的方法，在解此方程组时要把k当作已知表示出另外两个未知数，再根据题目中所给的条件列出不等式组，求出k的取值范围即可． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【题型8.列一元一次不等式组】 【典例】盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【跟踪专练1】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 又， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【跟踪专练3】今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20 【答案】D 【分析】最高气温是20℃，即气温小于或等于20°，最低气温8℃即温度大于或等于8°，据此即可判断． 【详解】解：若4月1日高新区最高气温是20℃，最低气温8℃， 则4月1日高新区的气温t（℃）的变化范围是8≤t≤20． 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键． 【题型9.不等式组的行程问题】 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练2】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 【跟踪专练3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型10.不等式组的经济问题】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【跟踪专练1】淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）；（2）有3种建设方案；建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据不等关系，列出不等式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据投入资金不超过50000元，两种租赁点都至少有一个列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1） ， 答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量． （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得： ， 解得：， ∴x的整数解有1，2，3， ∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点； 方案一所需要费用：（元）； 方案二所需要费用：（元）； 方案三所需要费用：（元）； ∵， ∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱． 【跟踪专练3】某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球． (1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？ (3)若足球的进价涨了m（）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550元，求m的值． 【答案】(1)付款总额y和x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为 (2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元 (3) 【分析】本题考查了解不等式组的应用，一次函数的最大利润，销售问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再设购进x（x为整数）个篮球，则个足球，根据篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，整理得，又因为篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，进行列出不等式组，再解得，即可作答． （2）设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，结合篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球，以及进行列式，再结合一次函数的性质进行分析，即可作答． （3）与 （2）同理得，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设购进x（x为整数）个篮球，则个足球， 根据题意得：， 篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元， ， 解得， 付款总额y和x之间的函数关系式为， 自变量x的取值范围为； （2）解：设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元， 根据题意得：， ，， 当时，w有最大值，最大值为， 该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元； （3）解：根据题意得： ， 当，即时，随着的增大而增大， ∵， 当时，w最大， 即， 解得； 当，即时，随着的增大而减小， 当时，w最大， 即， 解得（不成立，故舍去）， ． 【题型11.不等式组的分配问题】 【典例】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【答案】（1）；（2）6名 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程的解法和不等式组的应用是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）设共有名同学，根据若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本建立不等式组，解不等式组，结合为正整数求解即可得． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）设共有名同学， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：共有6名同学． 【跟踪专练3】为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【题型12.不等式组的方案选择问题】 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【跟踪专练2】已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值． 【跟踪专练3】中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【题型13.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是．将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【答案】 【分析】求两个温度区间的交集，需要同时满足甲、乙两种蔬菜的保鲜温度要求，即找到既在又在内的温度范围． 【详解】解：甲种蔬菜的适宜温度范围：； 乙种蔬菜的适宜温度范围：； 要同时保鲜两种蔬菜，温度 t 必须同时满足两个不等式，即取两个区间的交集： ． 因此，适宜的温度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解集（区间交集），解题关键是理解“同时满足”就是求两个区间的公共部分，通过取两个区间的上下限的最大值和最小值来确定交集范围． 【跟踪专练1】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键． 设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， 答：至少购进A种剪纸34幅． 【跟踪专练3】用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 【答案】(1)20 (2)当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解题的关键． （1）设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒，根据制作两种纸盒使用的正方形纸板不超过80张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个，根据长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，即可用含的代数式表示出值，结合的取值范围即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒， ∴ ∴解得， ∴x的最小值为20 答：至少可以制作20个竖式无盖纸盒； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个， 依题意得： 又， ， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 当时，； 当时，； 当时，． 答：当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 解答题 1．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 2．已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 3．已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 4．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键． 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ．.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次不等式组 【题型01 一元一次不等式组的定义】................................3 【题型02 求不等式组的解集】......................................4 【题型03 解特殊不等式组】........................................4 【题型04 求一元一次不等式组的整数解】............................5 【题型05 由一元一次不等式组的解集求参数】........................5 【题型06 由不等组解集的情况求参数】..............................6 【题型07 不等式组和方程组结合的问题】............................6 【题型08 列一元一次不等式组】....................................7 【题型09 不等式组的行程问题】....................................7 【题型10 不等式组的经济问题】....................................8 【题型11 不等式组的分配问题】....................................9 【题型12 不等式组的方案选择问题】...............................10 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】...........................11 【题型14 解答题4题】...........................................12 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分。没有公共部分 → 不等式组无解。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤 1.分别解出每一个一元一次不等式。 2.在同一数轴上表示出每个解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集。 知识点03:四种解集规律（a < b） 知识点04:一元一次不等式组的实际应用 1.应用核心：解决含多个不等关系的实际问题（如分配问题、方案设计问题、最值问题），区别于一元一次方程的 “单一相等关系”。 2.解题步骤（与列方程解应用题类似，关键是找 “不等关系”）： (1)审：审清题意，找出题目中的所有不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于、不能为负等）； (2)设：设出合适的未知数（通常设所求量为x，注意单位）； (3)列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； (4)解：解出不等式组的解集； (5)验：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数为正整数，长度、面积为正数等）； (6)答：根据检验后的解集，写出符合题意的答案（若为方案设计，需列出所有可行方案）。 3.常见高频题型 + 直接套用公式 1. 分配问题（分物品、分房间、分宿舍） 题干关键词：每人分… 还剩…；每人分… 不够… 核心模型 通用列式模板 2. 方案选择问题（购买、运输、工程） 关键词：至少、至多、不超过、不少于、几种方案 核心公式 先表示两种量：x 和 总数−x 列两个条件: 解出 x 范围 → 数整数个数 = 方案数 3. 速度 / 路程问题 关键词：在… 时间内到达、比… 快、比… 慢 公式:路程=速度时间 4. 利润问题（进货、销售） 关键词：不亏本、利润不低于…、成本不超过… 核心公式:利润=售价-进价 【题型1.一元一次不等组的定义】 【典例】我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【跟踪专练1】限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【跟踪专练3】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】的解集为 ． 【跟踪专练1】已知点位于第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数与交于点，则不等式组的解集为 ． 【跟踪专练3】对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.解特殊不等式组】 【典例】下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【跟踪专练2】一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【跟踪专练3】要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【题型4.求一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式组的最小整数解是 ． 【跟踪专练1】不等式组的所有整数解之和是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【跟踪专练2】已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 【跟踪专练3】对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（   ） A． B． C．1 D．3 【题型5.由一元一次不等式组的解集求参数.】 【典例】关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练1】若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【跟踪专练3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型6.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【跟踪专练1】关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练3】若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型7.不等式组和方程组结合的问题】 【典例】在方程组中，若，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型8.列一元一次不等式组】 【典例】盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【跟踪专练1】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，且，，则的取值范围是 ． 【跟踪专练3】今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20 【题型9.不等式组的行程问题】 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【跟踪专练2】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【跟踪专练3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型10.不等式组的经济问题】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 【跟踪专练2】【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 【跟踪专练3】某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球． (1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？ (3)若足球的进价涨了m（）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550元，求m的值． 【题型11.不等式组的分配问题】 【典例】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【跟踪专练3】为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【题型12.不等式组的方案选择问题】 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【跟踪专练2】已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【跟踪专练3】中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【题型13.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是．将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【跟踪专练1】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【跟踪专练3】用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 解答题 1．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 2．已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 3．已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 4．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $