26.1.1 反比例函数 反例函数k的几何意义 课件2025-2026学年 人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦反比例函数中“k”的几何意义，通过具体函数实例引导学生作垂线围矩形，从k>0到k<0逐步探究，归纳出矩形面积|k|、三角形面积|k|/2，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以探究活动为主线，通过猜想验证培养抽象能力和推理意识，结合数形结合思想，如矩形面积与k的关系推导。学生能直观理解k的几何意义，提升解题能力，教师可利用系统探究素材提高教学效率。

第二十六章　反比例函数 26.1.1 反比例函数 反比例函数中“k”的几何意义 问题 1： 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 探究一： P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k y S1 S2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 1 2 3 4 5 -2 -1 -5 P CVCV Q x 反比例函数解析式中K与矩形的面积 P(x,y) A o y x B P(x,y) 若P(x,y)是双曲线 上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,则S矩形OAPB 与k有什么关系？ 猜想： 反比例函数解析式中K与矩形的面积的关系？ 结论：S矩形OAPB =k 3 问题2：若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2= -k y x o P Q S1 若点P是 (k<0) 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP = -k S2 探究一：反比例函数解析式中K与矩形的面积 P(x,y) A o y x B P(x,y) A o y x B 作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,则: 是双曲线 设 , ) 0 ( ) , ( k x k y y x P ¹ = S矩形OAPB = 上任意一点 OA·AP=|x|·|y|=|k| 矩形AOBP的面积与 k 的 过点P分别 关系是： A B S矩形 AOBP =k S矩形 AOBP= -k k<0 k>0 归纳： 一点两垂线 矩形面积不变 反比例函数解析式中的K与矩形的面积 o 5 1.如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 巩固练习 2.如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） y x O A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB A B C C P(x,y) A o y x 探究二： 一点一垂线 三角形面积不变 设P(x,y)是双曲线 上任意一点，过点P作x轴（或y轴）的垂线，垂足为A，B,则△OAP, △OBP的面积与 k 的关系是 P(x,y) A o y x B A B 过P作x轴(或y轴)的垂线,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的. 反比例函数解析式中K与三角形的面积 如图，过反比例函数 图象上的 一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面 积为 6，则 k = . y x O P A 变式训练： 过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . 巩固练习 -12 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 3.如图，A,B是双曲线 上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若 . A o y x B S1 S2 y H x o C D E F 4 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 4.如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 5. 如图，直线x=t(t>0)与反比例函数 , 的 图象分别交于 B，C两点，则△OBC的面积为( ) A.3 B. C. D.不能确定 C 1 6. 7. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD = ___. y D B A C x 3 2 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. A.S = 1 B.1<S<2 C.S = 2 D.S>2 A C y x B C o 1.如图，A、B是函数 的图象上两点，且线段AB过原点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，∆ABC的面积为S，则 能力提升： x o C y A P B y= y= A 2.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则∆ABC的面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 课堂小结 性质：反比例函数图象上的任意一点向坐标轴作 垂线，围成的矩形或三角形的面积不变。 S矩形AOBP= S△PAO=S△PBO= 思想：分类讨论和数形结合 P(m,n) A o y x B |k| 2.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 3.如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则 四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4   O y C A B y2 y1 A A A y A y A C O C O C O C x O C     如图，两个反比例函数y＝eq \f(4,x)和y＝eq \f(2,x) 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为________． $