精品解析：安徽六安市金寨县2025-2026学年第一学期期末质量监测九年级数学试卷

金寨县2025－2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的正弦函数值．只需代入已知的特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 如果，那么下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质，同除以12或同除以4y，即可判断. 【详解】∵， ∴，A正确，B错误；亦可得，C错误，D错误. 【点睛】此题主要考查分式的性质. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 5. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据已知条件得到，再根据平行线分线段成比例解答． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∵在四边形中，，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 若点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 将各点横坐标代入解析式求出相应的纵坐标进行比较即可．． 【详解】解：由题意： ， ， ， ∴， 故． 故选：B． 8. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 9. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 10. 如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，依据等边三角形的性质得到，，然后依据 “”可证明，依据全等三角形的性质可得到，由相似的判定可证，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 当时，函数取得最大值，最大值为400， 即飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：400． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x+2bx+c上 （1）c=______(用含b的式子表示)； （2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥)，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为_______． 【答案】 ①. 2b ②. ##0.4375 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可； （2）根据（1）所求，将点A和t代入表达式得到b、t的关系，根据t的取值范围，求出b的范围，进而即可求解． 【详解】解：（1）将点A(-1，1)代入y=x2+2bx+c得 化简得，， 故答案是：2b； （2）由（1） 平移后得， 将点A(-1，1)代入 得， 化简得， 记得（舍去） 将代入 得 化简得， ∵，t≥ ∴ ∴平移后抛物线的顶点纵坐标为： 当时，平移后抛物线的顶点纵坐标有最大值为：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的相关知识结合不等式并灵活应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的混合计算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心．在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）若点是内一点，则点P关于位似中心O的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形对应坐标． （1）根据位似比为找出对应坐标，进而作图即可； （2）根据位似比为作答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，相似比为， ∴点P关于位似中心O的对应点的坐标为． 故答案为：． 18 已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长． （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1），， （2）线段 【解析】 【分析】（1）设，然后用表示出a、b、c，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的是义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长． 【小问1详解】 设， 则，，， ， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 线段是线段、的比例中项， ， 或舍去， 线段． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． 小问1详解】 证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 20. 巢湖是位于长江中下游的中国五大淡水湖之一，因地形原因，湖泊两端，（点与点之间隔着小山）的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．如图，将无人机上升并飞行至距湖面的点处（，，三点在同一竖直平面内），从点测得点的俯角为，测得点的俯角为．请你利用所学过的知识求湖泊两端，之间的距离（精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】湖泊两端，之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形； 过点作于点，由平行线的性质得，，，根据三角函数可得，，，因为，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 由题可知，， 在中， ， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 答：湖泊两端，之间的距离约为． 六、（本题满分12分） 21. 已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数与面积综合，分类讨论是解题的关键． （1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可； （2）设点的坐标为，则，可计算出，则，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴，解得， ∴抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：存在点使． 当时，，解得或， ∵点在点的左侧， ∴点，点； 当时，， ∴点． ∵抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线的交点为， ∴， ∵点是位于轴上方的抛物线上一点，， ∴， 设点的坐标为， ∴，整理得，解得或， ∴点的坐标为或． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，，于D，E点在边上，，交于F，过点E作于点G． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键． （1）先证明，再证明，再由全等三角形的性质可得结果； （2）由可得，设，由可得 ，再代入求得x的值，最后由勾股定理求得结果． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知 ∴ 设 ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 在中，，， ∴； 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 【小问1详解】 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得 ∵抛物线 经过点， 【小问2详解】 ①方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴， 又∵抛物线L过点， 由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ②方法一∶将代入 得， ∴． 由①可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , ∴m的最大值为 方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ， 又， ， 由①可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金寨县2025－2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A 16 B. 25 C. 36 D. 40 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x+2bx+c上 （1）c=______(用含b的式子表示)； （2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥)，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为_______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心．在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）若点是内一点，则点P关于位似中心O的对应点的坐标为 ． 18. 已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长． （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 巢湖是位于长江中下游的中国五大淡水湖之一，因地形原因，湖泊两端，（点与点之间隔着小山）的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．如图，将无人机上升并飞行至距湖面的点处（，，三点在同一竖直平面内），从点测得点的俯角为，测得点的俯角为．请你利用所学过的知识求湖泊两端，之间的距离（精确到）．（参考数据：，，，，，） 六、（本题满分12分） 21. 已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，，于D，E点在边上，，交于F，过点E作于点G． （1）求证：； （2）如图2，当时，求长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线L (b，c常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $