专题06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题 ■目录 A题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中的折叠问题. 1 题型二、矩形中的折叠问题 .…4 题型三、菱形中的折叠问题… 10 题型四、正方形中的折叠问题 .14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中的折叠问题 1.(2025山东潍坊中考真题)如图，在口ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点 B恰好落在边DC上；将△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点D恰好落在AE上.若∠C=a,则 ∠CB'E= (用含a的式子表示) D B' B 2.(2025八年级下·全国·专题练习)如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为 折痕折叠纸片，使点C,D落在纸片所在平面上C',D'处，折痕与AD边交于点M;再以过点P的直线为折 痕折叠纸片，使点B恰好落在CP边上B处，折痕与AB边交于点N.若LMPC=74°，则LNPB'= 0 D 3.(24-25八年级下·全国假期作业)在平行四边形ABCD中，点E,F在BC边上，把△ABE沿直线AE折 叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B,C落在对角线AC上的点G处，若LAGD=I10°，则∠B的度数为一， 4.(2025山东泰安·二模)如图，将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD',若 1/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=90°，DE=5,CE=4,则线段AC的长度为一 D D 题型二、矩形中的折叠问题 5.(25-26八年级上·四川达州期末)如图，四边形0ABC是矩形，点A的坐标为8,0)，点C的坐标为 (O,4),把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 6.(25-26七年级上广东深圳期末)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使A到A,C到C,且点 B,C',A'恰好在同一条直线上.BD,BE均为折痕.若LABE=30°，则LDBC的度数为°. 7.(25-26九年级上，安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,动点E从点A出发，沿边 AD,DC向点C运动，A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连接MN. E D D D 备用图1 备用图2 (1)如图，当E在边AD上且DE=1时，∠AEM的度数是 (2)当直线MN恰好经过点C时，DE的长是 8.(24-25八年级下·安徽合肥·期中)已知在长方形ABCD中，AB=4,BC=3.按下列要求折叠，试求出 所要求的结果。 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1) (2) (3) (I)如图(I)所示，把长方形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F,求SBD: (2)如图(2)所示，折叠长方形ABCD,使AD落在对角线BD上，求折痕DE的长： (3)如图(3)所示，折叠长方形ABCD,使点D与点B重合，求折痕EF的长. 题型三、菱形中的折叠问题 9.(2025河南·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,E是AB上一点.将△BCE沿CE折叠 后得到△FCE,若EF⊥AB,则折痕EC的长为一· D E 10.(25-26八年级上江苏无锡月考)数学实验课上，小聪将菱形纸片ABCD沿EF折叠，其中点E、F分 别在边AB、CD上.当点B落在AD上的点B处且B,E⊥AD时，恰有AB=BE,则∠DAB=°， 此时DF CF D八F B A E B 11.(24-25八年级下·湖北十堰期末)如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AD上，将菱形沿CE折叠， 点A、B分别落在A,B处，A'B'⊥CD,垂足为F.若AB=2cm,∠ABC=60°，则∠A'EG=_, AE= cm 12.(24-25八年级下·福建龙岩·期末)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB,将菱形折叠，使点C恰好落在 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE上的点F处，折痕为GH,若DG=3,DF=4,GH=√45，则DC=,四边形GFHC的面积是 D 题型四、正方形中的折叠问题 13.(2025河南模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4,0)，P为 边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形OABC,折叠后，点B落在平面内的点B处，则点B的坐标 为 B 60 B 0 A 14.(25-26七年级上浙江宁波期末)如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，CE、CF为折痕，点B、D折 叠后的对应点分别为点B、D',若LB'CD'=50°，则LECF的度数为一· B B 15.(25-26九年级上河北唐山开学考试)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与DC边上的点H重合 (H不与端点C,D重合)，折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G,设正方形 ABCD的周长为m,△CHG的周长为，则”的值为一 4/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 刀 H G B 16.(24-25八年级下·吉林白山期末)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活 动 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF,将纸片 展平，连接EF. (1)根据以上操作，易得点E,M,F三点共线，则 ①∠EAF= ②线段EF,BE,DF之间的数量关系为 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N,将纸片展平， 连接WE,NF。 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点 E不与点B,C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P,如图3所示， (2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF,请判断该结论是否成立，并说明理由. 【拓展应用】 (3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，直接写出线段AP的长. D B E 图1 图2 图3 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1,(25-26九年级上山东·期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，将正方形折叠，使点A与 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点E重合，折痕为MN,若正方形的边长为4，则线段AN的长为() D M A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.(2025八年级下江苏·专题练习)如图，将▣ABCD纸片折叠（折痕为BE),使点A落在BC上，记作①： 展平后再将口ABCD折叠（折痕为CF),使点D落在BC上，记作②；展平后继续折叠口ABCD,使AD落在 直线BC上，记作③；重新展平，记作④.若AB=4,BC=7,则图④中线段GH的长度为() D A A D ① ③ ④ A. C.3 2 2 D.4 3.(25-26九年级上·贵州贵阳·月考)如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC边上得到DA',折痕为DM,连接A'M,CM,第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在 MD边上.若AD=√2，则AB的长为() D A. 2 B.√5 C.5 D.2 4.(2025浙江模拟预测)将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD, BC,AD,AB上)，使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若∠C=45°，DE=CE,EF⊥BC于 点F,则△BHM的周长为() D G A.√2a B. 5 D. 二、填空题 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25八年级上湖北襄阳·期末)如图，在长方形ABCD中，∠BDC=32°，将△ABD沿BD所在直线折 叠，使点A落在E处，则LCDE=_ 6.(2024广东东莞二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若 ∠D=80°，则∠BCF的度数是 E B 7.(25-26八年级上广东佛山期中)如图，正方形ABCD中，将边BC折叠至BC',连接C'D、CC',若 CD=1,∠CC'D=90°，则DC'的长为 D 8.(24-25八年级下湖北襄阳·期末)如图，将一张平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为BD,折叠后，点A 的对应点为点E,DE交BC于点F.若AB=2,AD=4,∠A=120°，则EF的长为 A E 三、解答题 9.(2025江苏南通三模)如图①，有一张菱形纸片ABCD,∠A=45°，折叠该纸片，使得点A,C均与点 D重合，折痕分别为EG,FH,设两条折痕的延长线交于点O, D A B B H 图① 图② (1)请在图②中将图形补充完整，并求LEOF的度数； 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)四边形DGOH是菱形吗？请说明理由 10.(24-25八年级下山东济宁期中)在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张 ABCD,AB=10cm,BC=30cm,各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题， 小组 探究内容 图形 第一 M 把ABC沿AC折叠，与△ACD重叠部分记为△ACM. 小组 步骤I:把矩形ABCD沿EF折叠，使得AB与DC重合， 第二 点E,F分别为AD,BC上的点. 小组 步骤2：P为边BC上动点（与点B,C不重合），△APB 沿AP折叠得到△APB'. 根据以上各小组探究内容，求解下列问题 (I)根据第一小组探究内容，求证：△ACM是等腰三角形 (②)根据第二小组探究内容，当P,B,E三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度 11.(24-25八年级下·浙江温州期中)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边 形纸片ABCD中，己知AB=10,AD=4√0，口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿 AE折叠，点B的对应点为B, B'D B 图1 图2 备用图 (I)如图1，若点B恰好落在AD上时，求证：四边形B'ECD为平行四边形 (2)如图2，若LBAE=45°时，连接BB',并延长交CD于点G.求线段B'G的长 (3)改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直角三角形时，求B'C的长度， 12.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期中)取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 0 D E B C 图① 图② 图③ (1)【课本再现】 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P,沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,根据以上 操作，当点M在EF上时，如图①，连接AM,判断△ABM的形状并证明. (②)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为8cm正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ,当点M在EF上时，求∠MBQ与 ∠POD的数量关系是_（用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），沿BP折叠纸片， 如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.当 OF=lcm时，请求出AP的长. 13.(24-25八年级下·广西防城港期中)【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为 主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动： G D B F G 图① 图② 图③ (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若∠AFB=60°， 则∠AFE= °，∠AEF= ②如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,过点D 作DG∥BF交BC于点G,求证：四边形DFBG是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,连接AE ,若LCBD=30°，CD=3√2，求AE的长， 14.(2024广东深圳模拟预测)综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. O D M E E E 图1 图2 图3 【操作判断】 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)操作一： 如图1，正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF,将纸片 展平，连接EF. 根据以上操作，易得点E,M,F三点共线，且①∠EAF=_°；②线段EF,BE,DF之间的数量关系为_ (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N,将纸片展平， 连接NE、NF. 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点 E不与点B,C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P,如图3所示。 ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF,请证明该结论是否成立，并说明理由 ②【拓展应用】若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长 15.(24-25八年级下·辽宁大连期末)在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片ABCD,要 求同学们在对角线BD上取一点E,连接AE,将△ABE沿AE折叠，得到△AEF. B C 图1 图2 图3 (I)同学甲发现∠DAE=3LBAE(图1)，通过探索发现点F落在线段AC上，从而可证明∠BAD=2∠DEF.请 你完整证明：∠BAD=2∠DEF; (②同学乙取BE=3DB,折叠后发现EF∥B1(图2》，通过探索可得出仁为常数，请求出 EF E示的值， (3)同学丙通过折叠发现EF⊥BD,测得AB=5,BE=7DE,连接DF,发现DF的长度可求，求出此时 DF的长度， 10/10 专题06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形中的折叠问题 1 题型二、矩形中的折叠问题 4 题型三、菱形中的折叠问题 10 题型四、正方形中的折叠问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中的折叠问题 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则 °． 【答案】16 【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键． 由折叠的性质可求得，，再结合、、在一条直线上，可求得答案． 【详解】解：∵点落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点， 故答案为：16． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线AE折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握翻折的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到线段之间的关系，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得出角之间的数量关系，求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵沿直线折叠，沿直线折叠，点，落在对角线上的点处， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东泰安·二模）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得，由折叠可得，由勾股定理求出，得出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：12． 题型二、矩形中的折叠问题 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】解：设与交于点，作于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得， 解得，即， ， 在中，，， 由得， ， 在中，由勾股定理得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是 ． （2）当直线恰好经过点时，的长是 ． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 题型三、菱形中的折叠问题 9．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作交AB的延长线于点G，由，且根据折叠的性质可知，可得．再在菱形ABCD中，，可得出，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵，且根据折叠的性质可知， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则 ，此时 ． 【答案】 【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可； 第二空，延长，相交于点P，设，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，可逐步求得，进而可求得和的长，即得答案． 【详解】解： ，，由折叠可知， ∴， ． 故答案为：． 延长，相交于点P， 设， ， ， 将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处， ， ， 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， 同时可得， ， ， 将菱形纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 【答案】 /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 12．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则 ，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可求出的长；连接交于点，证出，利用勾股定求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴； 连接交于点，如图所示： ∵折叠， ∴，，， ∴垂直平分， 在中，， ∴， ∴； 故答案为;；． 题型四、正方形中的折叠问题 13．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·吉林白山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则 ① ____________°； ②线段之间的数量关系为_______________． 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， 则， 在中，， ∴， 则， ∴， 由（2）得， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理；设，则－，，由折叠可得，在中用勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为， ∴， ∵是的中点， ∴ 设，则－， 由折叠可得， 在中， 解得． 故选：C． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．（2025·浙江·模拟预测）将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 6．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，正方形中，将边折叠至，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识得到是关键． 根据正方形与折叠可证，，由此得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，过点作， ∵折叠， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)补充图形见解析， (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，即，由折叠的性质可得，即，再根据四边形的内角和定理求解即可； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点O． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴，，，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或，图见解析 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， 同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 综上所述，BP的长度为或． 11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 12．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： (1)【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． (2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 13．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $