专题07 二元一次方程组解法的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题07 二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2. 加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1. 先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2. 检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】（1）解：， 由①得 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得 ， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 【变式1-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解： ， 把①代入②得：， 解得， 将代入①得： 解得， 则方程组的解为； （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 【变式1-4】（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1. 错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确系数。 2. 还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1. 区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2. 利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 【变式2-1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解：得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)②，计算减法时没有把负号转变为正号 (3)见解析 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （3）解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【变式2-3】（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1. 观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2. 整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值。 解题技巧 1. 配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2. 不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 例3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）若方程组的解中，则等于 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，然后利用已知条件求解即可． 【详解】解：， 将①和②相加，得： ， ， 两边同时除以5，得： ， ∵， ∴ ． 故答案为：2027． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相加，可直接得到 的值． 【详解】解：给定方程组： 将方程(1)和方程(2)相加，得： ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相减，直接得到的值． 【详解】解： 得， 故答案为：1． 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1. 识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如x+y、x-y等）。 2. 整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 解题技巧 1. 构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2. 代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 把看成一个整体代入①中求出，再将求出的代入②求出即可. 【详解】解：将方程组变形为 将②代入①，得，解得． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 【变式4-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式4-3】（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1. 引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2. 简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1. 注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2. 回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 【变式5-2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东青岛·月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）解：依题意，令则原方程组为， 即 得， 解得：， 得，， 解得： ∴ 得，， 解得： 得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1. 理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2. 转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2. 耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 2．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】通过消元法解方程组求出点的坐标，再根据象限的符号特征判断即可；本题主要考查了二元一次方程组的解法及平面直角坐标系的相关知识，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 【详解】解：∵方程组 ∴得， 解得， 代入 得， ∵且， ∴点在第一象限． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件． 【详解】解：， ， ， ， 消去了未知数y， ∴y的系数为0，即， ∴选B． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键． 根据行列式定义计算、、及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【详解】解：， 则A正确； ， 则正确； ， 则错误； ，， 因此方程组的解为， 则D正确； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）已知用含的式子表示，则＝ ． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知满足方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，通过将第一个方程减去第二个方程，直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 将第一个方程减去第二个方程： 简化得： 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）若，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 由绝对值和算术平方根的非负性即可得到x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再求立方根即可． 【详解】解：因为且，且它们的和为零， 所以且，即和． 解方程组：，得， 所以， ∵， ∴的立方根为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·月考）对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则的值为 ． （2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意； （1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）设，根据，推出，即：，整理得到，即可得解． 【详解】解：（1）当时，则：，此时，满足题意； 当时，则：，解得：， ， 不符合题意； ； 故答案为：； （2）设， 由题意知：， ， 当时，则：， ， ， ， 只有时，； ， 同理当：或时：， 当时， ， 即：，整理，得：， ，得：， ； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组即可． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 整理，得， 得， 解得， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组．掌握加减消元、代入消元并正确的运算是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）将第一个式子化简得到，再利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得 解得 将代入得 所以方程组的解为； （2）解： 去分母得即， 将代入得即 解得 将代入 解得 所以方程组的解为． 13．（25-26八年级上·重庆·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键； （1）利用加减消元法进行解方程即可； （2）设，，将原方程组变成的二元一次方程组，再利用加减消元法进行解方程即可． 【详解】（1）解： 得： ③ 得： ∴ 将代入①得： ∴ ∴ 故方程组的解为 （2）解： 设，，则方程组化为： 得： ∴ ∴ 将代入④得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故方程组的解为 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如表所示是嘉嘉求解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，得③，……第一步 ，得，……第二步 解得：，……第三步 把代入①，得 ，……第四步 所以方程组的解为．……第五步 (1)嘉嘉的方法是________消元法． (2)以上解法从第________步开始出现错误． (3)请你从出现错误的那步开始，写出正确的解题过程． 【答案】(1)加减 (2)二 (3)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）根据加减消元法的特征即可解答； （2）根据得判断即可； （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法． 故答案为：加减． （2）解：由，得，故从第二步开始出现错误． （3）故答案为：二． 解：，得，解得：， 把代入①，得：， 所以方程组的解为． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【详解】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】(1)①；② (2)m的值为或 【分析】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“美点”的定义是解题的关键． （1）①根据“美点”的定义即可求解； ②设点的坐标为，根据“美点”的定义列出方程组解出，，即可求解； （2）先表示出点的“美点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即． ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为； （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或． 17．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和图表信息获取能力，关键是能理解用算筹图表示二元一次方程组的方法和用数表简化解二元一次方程组． （1）利用已知算筹图表示二元一次方程组的方法直接写出即可． （2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可． 【详解】（1）解：图表示的关于，的二元一次方程组为：； （2）解：， 所以原方程组的解为． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 19．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 20．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 典例详解 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1.代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2.加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1.先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2.检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1.(25-26八年级上山东枣庄期末)解下列方程组 0)/3r-=5 5x+2y=23 [5x+4y=6 ②2x+3y=l 【变式1-1】(25-26八年级上·河南驻马店·期末)解方程组： 3x+2y=8 (1) y=x-1 4x+y=10 22x-3y=12 【变式1-2】(25-26八年级上河北保定期末)解二元一次方程组 [2x-2y=5 003x+2y=15 1/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [2x-y=5 24x+3y=-10 【变式1-3】(25-26八年级上山东济南期末)解方程组： y=5-x ()2x+y=8 0.5x+0.7y=35 (2) x+0.4y=40 【变式1-4】(25-26八年级上广东梅州期末)解方程组 x-y=5 02x-y=8 x+1=2(y-1 (2)3x-1 2 +y=-1 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1.错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确 系数。 2.还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1.区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2.利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2.(25-26八年级上·河北保定·期末)下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 的任务 2x-3y=4① 解方程组： 4x-7y=10② 解：①x2,得4x-6y=8③，.第一步 ②-③，得y=2,第二步 将y=2代入①，得2x-6=4,解得x=5,第三步 x=5 所以原方程组的解为 (y=2 第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 消元法. (2)第 步开始出现错误。 (3)请求出该方程组正确的解. 【变式2-1】(25-26八年级上·广东佛山期末)错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养。 小明解方程组 2x-y=3① 5x-2y=4② 的过程如表所示： 解：由①×2，得：4x-2y=3③.第一步 ②-③，得：x=1.第二步 把x=1代入①，得：y=-1..第三步 原方程组的解为 x=1 y=-1 …第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否 正确？若不正确，请写出正确的解答过程. 4x+3y=5① 【变式2-2】(24-25八年级上·山西晋中.期末)下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察计 2x-y=-5② 算过程，回答下面问题， 解：②×2得：4x-2y=-10③ 第一步 ①-③得：y=15 第二步 将y=15代入②得：x=5. 第三步 x=5 所以该方程的解是 y=15 第四步 (①)这种求解二元一次方程组的方法叫做 ；其中第一步这样做的依据是 (2)第 步开始出现了错误，错误的原因是： (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤， 【变式2-3】(25-26八年级上山西运城月考)下面是小林同学解二元一次方程组 x-y=3 的过程，请 2x+3y=16 认真阅读并完成相应任务. 解： x-y=3,① 2x+3y=16,②0得，=3+以③ 第一步 把③代入②，得23+y)+3y=16. 第二步 整理，得6+y+3y=16. 第三步 解得y号 第四步 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17 x= 起y=号代入@.待号 所以该方程组的解为 2 第五步 2 2 任务一： ①以上求解过程中，小林用了 消元法.（填“代入”或“加减”） ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解. 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1.观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2.整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值 解题技巧 1.配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2.不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 x-2y=3m 例3.（25-26八年级上四川巴中·期末)已知关于x,y的二元一次方程组 且3x-y=15,则 2x+y=9 m为」 3x-y=4k-5 【变式3-1】(25-26八年级上四川达州期末)若方程组 的解中x+y=2026,则k等 2x+6v=k 于 【变式3-2】(25-26八年级上山东青岛期末)己知x,y满足方程组 2x+y=-1 3x-8y=9,则5x-7y的值为 2026.x+2025y=5 【变式3-3】(25-26七年级上湖南怀化期末)已知x,y满足方程组 2025x+2026y=4'则x-y的值 为 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1.识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如xy、xy等）。 2.整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧 1.构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2. 代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4.(25-26八年级上全国课后作业)在利用代入消元法”解完二元一次方程组 5(x+y)-x=3① 后，小 x+y=1② 敏还想到了一种新的解法： 解：把x+y=1看作整体代入①，得5×1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的 x=2 解为 y=-1 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”.请你利用“整体代入消元 6x-8y-2x=8 法解方程组{5 3x-1=4y+9 【变式4-1】(25-26八年级上山西晋中期末)阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真 阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组 5(x+y)-x=3① 后，小宣还想到了一种新的解法： x+y=1② 解：把x+y=1看作整体代入①，得5×1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的解 为 x=2 y=-11 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”. 6x-8y-2x=8 请你利用“整体代入消元法”解方程组 5 3x-1=4y+9 【变式4-2】(25-26八年级上·安微宿州·月考)观察发现： x+y=4① 解方程组： 7(x+y)+y=14② 将①整体代入②得7×4+y=14. 解得y=-14 把y=-14代入①，x=18. x=18 故原方程组的解为 y=-14 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答. 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)实践运用： 2x-3y-2=0① 请用“整体代入法”解方程组 2x-3y+5 > +2y=9② (2)拓展提升： 2025x+2024y=2023① 请你仿照上面的解法解方程组， (提示，将x+y看作一个整体) 2023x+2022y=2021② 【变式4-3】(25-26七年级上：广西贵港期末)【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种 x+y-1=0① 解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”.例：解方程组 6(x+y)-y=3② 解：将方程①移项，得x+y=1③. 把方程③代入②，得6×1-y=3. 解得y=3. 把y=3代入③，得x+3=1. 解得x=-2. x=-2 :原方程组的解为 y=3 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想. 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： 「x-y-3=0 ① (1) 2(x-y)+5x=1② 3x+4y-5=0 ① (2)3x+4y-2 -2x=-3② 3 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1.引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2.简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1.注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2.回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5.(24-25七年级下·吉林长春月考)阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3m+5)-2(n+3)=-1 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法.具体过程如下：解：把m+5, 3(m+5)+2(n+3=7 n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y, 则原方程组可化为 [3x-2y=-1 x=1 解得 3x+2y=7 y=2 m+5=1 [m=4 即 解得 n+3=2 n=-1 (1)已知方程组 3x+2y=5 x=I 的解为 则方程组 3(a-2)+2(b+1)=5 5x+y=6 y= 5(a-2)+(b+1)=6 的解为 3(m+n)-2(m-n)=-2 (②)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 3(m+n+2(m-n=26 [5a+4b+c=13 (3)若 3a+2b+c=8则2a+b+c的值为_ 【变式5-1】(24-25七年级下·河南南阳·月考)阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组 2a-)+6+2)=6时，采用了一种整体换元的解法.把a-1,6+2看成一个整体，设a-1=xb+2=y,原 [(a-1)+2(b+2)=6 方程组可变为 a-1=2 a=3 6+2=2解得6=0 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： x=10 (2)己知关于xy的方程 a,x+by-的解为=6 求关于m,n的方程组 [5a,m+3)+36m-2)=6的 ax+bay=C2 5a2(m+3)+3b2(n-2)=c2 解。 【变式5-2】(24-25七年级下山西晋城期中)阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务 2) 26m+2)+3”-3 =1 善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法。 7m+2)+6n-2） （3/2 2 解：把m+2,m-看成一个整体，设m+2=，n 2 3 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f2x+3y=1 x=0 m+2=0 m=-2 原方程组可化为 7x+6y=2’ 解得 1,. 21,∴原方程组的解为 n=1· 3 33 任务： 3x-2y=1 x=3 3(a+b)-2(a-b)=1 (1)方程组 的解是 则方程组 9x-2y=19 9(a+b)-2(a-b)=19 的解是 3(x+y)-4(x-y)=4 (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组x+y+x-y=1 十 2 6 【变式5-3】(24-25八年级上·山东青岛·月考)阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组 3(m+5)-2(n+3)=-1 3(m+5)+2(n+3)=7 时，采用了一种“整体换元”的解法.把m+5,n+3看成一个整体，设 3+2=7,解得/r=1. 3x-2y=-1 m+5=1 (y2即 m=-4 m+5=x,n+3=y,则原方程组可化为 +3=2’解得 n=-1 x+y.x-Y=4 3 5 ()学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组 x+y_x-y=-2 3 5 x=3 (2)拓展提升，已知关于x,y的方程组 (ax-by=c 的解为 ax-by=C2 =4,请直接写出关于m、n的方程组 a,(m+2)-bn=G的解是 a2m+2)-b2n=c2 x+y_x-y (3)请你用上述方法解方程组 2 3 2(x+y)-3x+3y=25 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1.理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2.转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1.举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2.耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6.(25-26七年级上安徽阜阳期末)若关于x,y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式(a,b是常数 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a≠0)，则其中一对常数a,b称为该二元一次方程的相伴系数对”，记为a,b).例如二元一次方程 3x-2=1变形为y子子则二元一次方程3-2y=1的相件系数对为号-》 31 (1)二元一次方程x+3y=0的“相伴系数对”为 ； (2)已知 x=3是关于，少的二元一次方程的一个解，且该方程的相伴系数对为2k,k+3引，求k的值： y=-11 (3)关于x,y的二元一次方程mx-5m=4y+5n-x,已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值. 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江杭州月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by, x田y=ax-by,其中a,b是常数.已知1#1=1,3⊕2=8. (1)求a,b的值 xHy =4-m (2)若关于x,y的方程组 x⊕y=5m 的解也满足方程x+y=3,求m的值： 【变式6-2】(25-26七年级上·湖南娄底期末)新趋势·新定义对于未知数为x,y的二元一次方程组，如 果方程组的解x,y满足x-y=1.我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系” (I)请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组： ②方程组下+2=7。 的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： x-y=1 (3)若方程组 [2x-y=6 4x+y=6m 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值 【变式6-3】(24-25七年级下·广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ar-by,其中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1①)a=，b=； (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值； x⑧y=5m (4)若关于x,y的方程组 a,x*hy=G的解为 x=12 a2x⑧b2y=c2 少=5，则关于x,y的方程组 4a(x+y列*56(x-)=G的 4a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 9/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9w 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上安徽合肥期末)将方程x+二=5变形，用含x的代数式表示y,下列表示正确的是() 2 A.y=-2x+10B.y=-2x+5 C.y=-2x-5 D.y=2x+10 y=-2x+5 2.(2025八年级上山东青岛专题练习)以方程组 2t*3 1 的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中 y= 位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(24-25七年级下·全国·单元测试)小红同学在解关于x和y的二元一次方程组 2x-少=-62时，利用@ 6x+my=3① 一②就将未知数y消去了，则m和应该满足的条件是() A.m=n B.m+n=0 C.m+n=1 D.mn=1 a+3y=9 4.(25-26七年级上湖南岳阳·期末)甲、乙两位同学在解方程组 6x-4y=4时，甲把字母看错了得到方 x=4 程组的解为 y=1’ 乙把字母b看错了得到方程组的解为 x=3 y=2’ 则a+b=() A.3 B.4 C.5 D.6 a b 5.(25-26八年级上山东菏泽月考)阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式， c d a b 23 并且规定： c d =a×d-bxc, 32x小-3-2引.三元-次方程红22的解可以利用 a,x+b,y=c, D 2x2阶行到式装示为：号y ；其中D= a c 问题：对于用上 D az c2 2x+y=1 面的方法解二元一次方程组 3x-2y=12时，下面说法错误的是() 21 A.D 3-2-7 B.D.=-14 C.D,=27 x=2 D.方程组的解为 y=-3 10/15