21.1四边形及多边形同步培优讲义（6知识点+17题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（新教材人教版）

21.1四边形及多边形同步培优讲义 （6知识点+17题型+过关检测） 目录 【知识点1：四边形的相关概念】 2 【知识点2：多边形的相关概念】 2 【知识点3：多边形的对角线】 2 【知识点4：多边形的内角和与外角和】 3 【知识点5：多边形的周长与面积】 3 【知识点6：平面镶嵌】 3 【题型1 四边形的不稳定性】 4 【题型2 多边形的概念与分类】 5 【题型3 正多边形】 5 【题型4 多边形截角后的边数问题】 6 【题型5 多边形的周长】 6 【题型6 网格中多边形面积】 7 【题型7 多边形对角线的条数】 8 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 8 【题型9 多边形内角和问题】 9 【题型10 正多边形内角和问题】 10 【题型11 多（少）算一个角问题】 10 【题型12 多边形截角后的内角和问题】 11 【题型13 复杂图形的内角和】 11 【题型14 正多边形的外角问题】 12 【题型15 多边形外角和的实际应用】 13 【题型16 多边形内角和与外角和综合】 14 【题型17 平面镶嵌】 14 02 学习•目标 · 理解四边形、多边形的概念，掌握多边形的分类标准及正多边形的定义和性质； · 掌握多边形内角和公式、外角和定理，能熟练运用公式解决内角和、外角相关问题； · 理解四边形的不稳定性，掌握多边形对角线的条数计算、截角后边数及内角和的变化规律； · 会计算多边形的周长、网格中多边形的面积，能解决平面镶嵌相关问题； · 能综合运用多边形内角和、外角和知识，解决复杂图形内角和、截角、综合计算等问题。 03 知识•梳理 【知识点1：四边形的相关概念】 1. 定义：由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的封闭图形，叫做四边形。 2. 组成：四边形有4条边、4个顶点、4个内角，相邻两边组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角。 3. 四边形的不稳定性：四边形没有固定的形状，当它的边长确定时，内角可以发生变化（与三角形的稳定性相反），生活中应用：伸缩门、衣架、折叠椅等。 【知识点2：多边形的相关概念】 1. 定义：由不在同一条直线上的n（n≥3，n为整数）条线段首尾顺次相接形成的封闭图形，叫做n边形（多边形）。 2. 分类： · 按边数分：三角形（n=3）、四边形（n=4）、五边形（n=5）……n边形； · 按形状分：凸多边形（所有内角都小于180°，且各边都在任意一边所在直线的同侧）、凹多边形（至少有一个内角大于180°）；初中阶段主要研究凸多边形。 3. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（前提：是凸多边形）。例如：正三角形、正方形、正五边形等。 4. 多边形的截角：用一条直线截多边形的一个角，会改变多边形的边数和内角和，截法不同，边数变化不同（核心：截线是否经过两个顶点）。 【知识点3：多边形的对角线】 1. 定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2. 条数公式：n边形从一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，n边形共有 条对角线（n≥3，n为整数）。 3. 对角线分成的三角形个数：n边形从一个顶点出发的对角线，能将多边形分成（n-2）个三角形。 【知识点4：多边形的内角和与外角和】 1. 内角和公式：n边形内角和为（n-2）×180°（n≥3，n为整数），推导思路：将n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，求和得到。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°（与边数n无关）。 3. 正多边形的内外角： 正n边形的每个内角都相等，每个内角的度数为 正n边形的每个外角都相等，每个外角的度数为 正n边形的一个内角 + 一个外角 = 180°（互补）。 【知识点5：多边形的周长与面积】 1. 周长：多边形所有边的长度之和，直接将各边长度相加即可。 2. 网格中多边形面积：常用方法——割补法（将多边形分割成三角形、矩形等规则图形，求和；或用大矩形面积减去周围空白图形面积）、格点法（格点多边形面积公式：面积=格点数+边界格点数÷2 - 1）。 【知识点6：平面镶嵌】 1. 定义：用一种或几种正多边形拼接，使它们在同一顶点处的内角和为360°，且不重叠、不留空隙，叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。 2. 能单独镶嵌的正多边形： · 正三角形（每个内角60°，360°÷60°=6，能整除）； · 正方形（每个内角90°，360°÷90°=4，能整除）； · 正六边形（每个内角120°，360°÷120°=3，能整除）。 3. 不能单独镶嵌的正多边形：正五边形（每个内角108°，360°÷108°不能整除）、正七边形及以上（内角过大，无法凑成360°）。 4. 组合镶嵌：两种或多种正多边形组合，使同一顶点处的内角和为360°（如正三角形+正方形：60°×3 + 90°×2 = 360°）。 易错点警示 · 混淆正多边形的条件：必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，缺一不可（如菱形各边相等但角不相等，不是正多边形）； · 多边形截角问题：忽略截线经过顶点的情况，导致边数计算错误； · 对角线条数计算：误将“从一个顶点出发的对角线数”当作“总对角线数”； · 内角和计算：忘记n边形内角和公式的前提是“凸多边形”，凹多边形内角和仍适用，但单个内角可能大于180°； · 平面镶嵌：误以为所有正多边形都能单独镶嵌，忽略“同一顶点内角和为360°”的条件。 04 题型•汇总 【题型1 四边形的不稳定性】 【解题关键】理解四边形不稳定性的本质：边长确定，形状可变化，结合生活实例判断，或分析图形变化后的边长、角度关系。 【典例1】．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 跟随训练1-1．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 多边形的概念与分类】 【解题关键】掌握多边形的定义（n≥3，首尾顺次相接、封闭、不共线），区分凸多边形与凹多边形、不同边数的多边形。 【典例2】．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练2-1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练2-2．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 正多边形】 【解题关键】牢记正多边形的两个核心条件：各边相等、各角相等，结合定义判断，或计算正多边形的内、外角。 【典例3】．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 跟随训练3-1．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 跟随训练3-2．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【题型4 多边形截角后的边数问题】 【解题关键】分三种截法：① 截线不经过任何顶点，边数增加1；② 截线经过1个顶点，边数不变；③ 截线经过2个顶点，边数减少1。 【典例4】．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 跟随训练4-1．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 跟随训练4-2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ． 【题型5 多边形的周长】 【解题关键】多边形周长=所有边的长度之和，若为正多边形，周长=边长×边数；不规则多边形，直接相加各边长度即可。 【典例5】．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 跟随训练5-1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 跟随训练5-2．学科实践 某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用色围起来，数学小组成员洋洋和强强设计了如下两种方案： 洋洋：建设一个正方形花坛 强强：建设一个长方形花坛，长是宽的3倍． 请通过计算比较按哪种方案建设花坛所需要的篱笆（四边形周长）更短． 【题型6 网格中多边形面积】 【解题关键】优先用割补法，将多边形转化为规则图形（三角形、矩形），或用格点法计算，注意网格边长为1。 【典例6】．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【题型7 多边形对角线的条数】 【解题关键】牢记公式：n边形总对角线数=\(\frac{n(n-3)}{2}\)，从一个顶点出发的对角线数=n-3，代入边数计算即可。 【典例7】．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练7-1．若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 跟随训练7-2．过正多边形的一个顶点有4条对角线，若这个正多边形的周长为，则它的边长为 ． 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 【解题关键】牢记规律：n边形从一个顶点出发的对角线，能将多边形分成（n-2）个三角形；若从所有顶点出发，对角线将多边形分成的三角形个数需结合具体图形，但核心公式为（n-2）个（单个顶点出发）。 【典例8】．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 跟随训练8-1．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 跟随训练8-2．如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【题型9 多边形内角和问题】 【解题关键】牢记内角和公式：（n-2）×180°（n≥3），代入边数计算，或根据内角和求边数。 【典例9】．若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 跟随训练9-1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 跟随训练9-2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型10 正多边形内角和问题】 【解题关键】牢记内角和公式：（n-2）×180°（n≥3），代入边数计算，或根据内角和求边数。 【典例10】．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则 ． 跟随训练10-1．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 跟随训练10-2．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【题型11 多（少）算一个角问题】 【解题关键】多边形内角和是180°的整数倍，多算或少算一个角后，所得度数仍接近内角和，用“所得度数÷180°”，取整数部分，再结合内角和公式求边数和这个角的度数。 【典例11】．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 跟随训练11-1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 跟随训练11-2．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【题型12 多边形截角后的内角和问题】 【解题关键】先确定截角后多边形的边数（结合题型4的截法），再用内角和公式计算，注意截角后可能形成凹多边形，但内角和公式仍适用。 【典例12】．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 跟随训练12-1．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 跟随训练12-2．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【题型13 复杂图形的内角和】 【解题关键】将复杂图形（如多边形组合、不规则图形）分割成若干个三角形、四边形，利用内角和公式求和，注意减去重叠部分的角度（若有）。 【典例13】．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练13-1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 跟随训练13-2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【题型14 正多边形的外角问题】 【解题关键】牢记正多边形外角和为360°，每个外角=360°÷n，且一个内角+一个外角=180°，可结合内角求外角，或结合外角求边数。 【典例14】．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 跟随训练14-1．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 跟随训练14-2．随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要 s能完成一轮防疫工作． 【题型15 多边形外角和的实际应用】 【解题关键】利用外角和为360°，结合实际场景（如绕多边形行走、转角问题），计算角度或边数。 【典例15】．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 跟随训练15-1．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 跟随训练15-2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【题型16 多边形内角和与外角和综合】 【解题关键】结合内角和公式（n-2）×180°和外角和360°，列方程求解边数、内角度数、外角度数等，注意内角和与外角和的关联（内角+外角=180°）。 【典例16】．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ． 跟随训练16-1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 跟随训练16-2．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ． 【题型17 平面镶嵌】 【解题关键】平面镶嵌的核心：同一顶点处的内角和为360°，单独镶嵌需正多边形的每个内角能整除360°，组合镶嵌需几种正多边形的内角和凑成360°。 【典例17】．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 跟随训练17-1．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 跟随训练17-2．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 05 过关•检测 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 4．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 5．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 6．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 8．与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形……按照这种分割方法，连接边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把边形分成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 9．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条． 10．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的周长为 ． 11．如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成 个三角形． 12．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面 （填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 13．如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为 ． 14．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 15．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 16．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 17．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 18．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 19．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及多边形同步培优讲义 （6知识点+17题型+过关检测） 目录 【知识点1：四边形的相关概念】 2 【知识点2：多边形的相关概念】 2 【知识点3：多边形的对角线】 2 【知识点4：多边形的内角和与外角和】 3 【知识点5：多边形的周长与面积】 3 【知识点6：平面镶嵌】 3 【题型1 四边形的不稳定性】 4 【题型2 多边形的概念与分类】 5 【题型3 正多边形】 7 【题型4 多边形截角后的边数问题】 8 【题型5 多边形的周长】 9 【题型6 网格中多边形面积】 11 【题型7 多边形对角线的条数】 15 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 16 【题型9 多边形内角和问题】 18 【题型10 正多边形内角和问题】 19 【题型11 多（少）算一个角问题】 21 【题型12 多边形截角后的内角和问题】 24 【题型13 复杂图形的内角和】 26 【题型14 正多边形的外角问题】 29 【题型15 多边形外角和的实际应用】 31 【题型16 多边形内角和与外角和综合】 32 【题型17 平面镶嵌】 34 02 学习•目标 · 理解四边形、多边形的概念，掌握多边形的分类标准及正多边形的定义和性质； · 掌握多边形内角和公式、外角和定理，能熟练运用公式解决内角和、外角相关问题； · 理解四边形的不稳定性，掌握多边形对角线的条数计算、截角后边数及内角和的变化规律； · 会计算多边形的周长、网格中多边形的面积，能解决平面镶嵌相关问题； · 能综合运用多边形内角和、外角和知识，解决复杂图形内角和、截角、综合计算等问题。 03 知识•梳理 【知识点1：四边形的相关概念】 1. 定义：由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的封闭图形，叫做四边形。 2. 组成：四边形有4条边、4个顶点、4个内角，相邻两边组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角。 3. 四边形的不稳定性：四边形没有固定的形状，当它的边长确定时，内角可以发生变化（与三角形的稳定性相反），生活中应用：伸缩门、衣架、折叠椅等。 【知识点2：多边形的相关概念】 1. 定义：由不在同一条直线上的n（n≥3，n为整数）条线段首尾顺次相接形成的封闭图形，叫做n边形（多边形）。 2. 分类： · 按边数分：三角形（n=3）、四边形（n=4）、五边形（n=5）……n边形； · 按形状分：凸多边形（所有内角都小于180°，且各边都在任意一边所在直线的同侧）、凹多边形（至少有一个内角大于180°）；初中阶段主要研究凸多边形。 3. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（前提：是凸多边形）。例如：正三角形、正方形、正五边形等。 4. 多边形的截角：用一条直线截多边形的一个角，会改变多边形的边数和内角和，截法不同，边数变化不同（核心：截线是否经过两个顶点）。 【知识点3：多边形的对角线】 1. 定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2. 条数公式：n边形从一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，n边形共有 条对角线（n≥3，n为整数）。 3. 对角线分成的三角形个数：n边形从一个顶点出发的对角线，能将多边形分成（n-2）个三角形。 【知识点4：多边形的内角和与外角和】 1. 内角和公式：n边形内角和为（n-2）×180°（n≥3，n为整数），推导思路：将n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，求和得到。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°（与边数n无关）。 3. 正多边形的内外角： 正n边形的每个内角都相等，每个内角的度数为 正n边形的每个外角都相等，每个外角的度数为 正n边形的一个内角 + 一个外角 = 180°（互补）。 【知识点5：多边形的周长与面积】 1. 周长：多边形所有边的长度之和，直接将各边长度相加即可。 2. 网格中多边形面积：常用方法——割补法（将多边形分割成三角形、矩形等规则图形，求和；或用大矩形面积减去周围空白图形面积）、格点法（格点多边形面积公式：面积=格点数+边界格点数÷2 - 1）。 【知识点6：平面镶嵌】 1. 定义：用一种或几种正多边形拼接，使它们在同一顶点处的内角和为360°，且不重叠、不留空隙，叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。 2. 能单独镶嵌的正多边形： · 正三角形（每个内角60°，360°÷60°=6，能整除）； · 正方形（每个内角90°，360°÷90°=4，能整除）； · 正六边形（每个内角120°，360°÷120°=3，能整除）。 3. 不能单独镶嵌的正多边形：正五边形（每个内角108°，360°÷108°不能整除）、正七边形及以上（内角过大，无法凑成360°）。 4. 组合镶嵌：两种或多种正多边形组合，使同一顶点处的内角和为360°（如正三角形+正方形：60°×3 + 90°×2 = 360°）。 易错点警示 · 混淆正多边形的条件：必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，缺一不可（如菱形各边相等但角不相等，不是正多边形）； · 多边形截角问题：忽略截线经过顶点的情况，导致边数计算错误； · 对角线条数计算：误将“从一个顶点出发的对角线数”当作“总对角线数”； · 内角和计算：忘记n边形内角和公式的前提是“凸多边形”，凹多边形内角和仍适用，但单个内角可能大于180°； · 平面镶嵌：误以为所有正多边形都能单独镶嵌，忽略“同一顶点内角和为360°”的条件。 04 题型•汇总 【题型1 四边形的不稳定性】 【解题关键】理解四边形不稳定性的本质：边长确定，形状可变化，结合生活实例判断，或分析图形变化后的边长、角度关系。 【典例1】．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 跟随训练1-1．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性， 故选：C． 跟随训练1-2．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 【题型2 多边形的概念与分类】 【解题关键】掌握多边形的定义（n≥3，首尾顺次相接、封闭、不共线），区分凸多边形与凹多边形、不同边数的多边形。 【典例2】．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 跟随训练2-1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 跟随训练2-2．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 【题型3 正多边形】 【解题关键】牢记正多边形的两个核心条件：各边相等、各角相等，结合定义判断，或计算正多边形的内、外角。 【典例3】．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【答案】C 【分析】该题考查了正多边形的定义，正多边形需所有边相等且所有角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵正多边形定义：各边相等，各角相等； A．等腰三角形不一定各边都相等，各角也不一定都相等，不是正多边形，不符合题意； B．长方形角相等但边不一定相等，不是正多边形，不符合题意； C．正方形四边相等且四角均为，是正多边形，符合题意； D．五边都相等的五边形边相等但角不一定相等，不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 跟随训练3-1．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义． 正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义． 【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等， A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意； D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 跟随训练3-2．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【题型4 多边形截角后的边数问题】 【解题关键】分三种截法：① 截线不经过任何顶点，边数增加1；② 截线经过1个顶点，边数不变；③ 截线经过2个顶点，边数减少1。 【典例4】．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 跟随训练4-1．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 跟随训练4-2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 【题型5 多边形的周长】 【解题关键】多边形周长=所有边的长度之和，若为正多边形，周长=边长×边数；不规则多边形，直接相加各边长度即可。 【典例5】．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 跟随训练5-1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 跟随训练5-2．学科实践 某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用色围起来，数学小组成员洋洋和强强设计了如下两种方案： 洋洋：建设一个正方形花坛 强强：建设一个长方形花坛，长是宽的3倍． 请通过计算比较按哪种方案建设花坛所需要的篱笆（四边形周长）更短． 【答案】洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短 【分析】本题考查了算术平方根和一元二次方程，根据题意，先求出洋洋设计的正方形花坛的边长，再求出周长，设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为，列出面积等式求出，进而得到强强设计的长方形花坛的周长，两者比较即可． 【详解】解：由题意，洋洋设计的正方形花坛的边长为， 所以正方形花坛的周长为：． 设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为，所以． 所以（负值已舍去）．所以． 所以长方形花坛的周长为． 因为，所以按洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短． 【题型6 网格中多边形面积】 【解题关键】优先用割补法，将多边形转化为规则图形（三角形、矩形），或用格点法计算，注意网格边长为1。 【典例6】．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求． （2）解：． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)9 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中的点的坐标，利用网格求梯形面积等知识． （1）先得出关于点A，点B，点C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． （2）直接写出三点的坐标即可． （3）连接，，再利用网格求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：，， （3）解：连接，， 则梯形的面积为： 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，、、； (2)12 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点、、； （2）解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 【题型7 多边形对角线的条数】 【解题关键】牢记公式：n边形总对角线数=\(\frac{n(n-3)}{2}\)，从一个顶点出发的对角线数=n-3，代入边数计算即可。 【典例7】．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 跟随训练7-1．若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 跟随训练7-2．过正多边形的一个顶点有4条对角线，若这个正多边形的周长为，则它的边长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据正多边形从一个顶点出发的对角线数为，建立方程求出边数，再利用周长公式计算边长即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得， 解得． ∵正多边形的周长为， ∴边长为． 故答案为：9 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 【解题关键】牢记规律：n边形从一个顶点出发的对角线，能将多边形分成（n-2）个三角形；若从所有顶点出发，对角线将多边形分成的三角形个数需结合具体图形，但核心公式为（n-2）个（单个顶点出发）。 【典例8】．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 跟随训练8-1．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数， 根据多边形对角线性质，从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形． 【详解】解： ∵从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，且题目中分成5个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是七边形. 故选：B． 跟随训练8-2．如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键． 先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论． 【详解】解：四边形：（个）， 五边形：（个）， 六边形：（个）， ， ∴n边形：（个）， 故选：A． 【题型9 多边形内角和问题】 【解题关键】牢记内角和公式：（n-2）×180°（n≥3），代入边数计算，或根据内角和求边数。 【典例9】．若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，先根据公式求出五边形的内角和，再除以多边形的内角个数得到每个内角的度数． 【详解】解：∵n边形内角和公式为，五边形边数， ∴五边形内角和为， ∵五边形每个内角都是，且共有5个内角， ∴， 故选：A． 跟随训练9-1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【答案】六/6 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值. 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，内角和是外角和的2倍，得， 解得． 故答案为：六. 跟随训练9-2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 【题型10 正多边形内角和问题】 【解题关键】牢记内角和公式：（n-2）×180°（n≥3），代入边数计算，或根据内角和求边数。 【典例10】．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则 ． 【答案】56 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 跟随训练10-1．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴； 故选：B． 跟随训练10-2．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，则，再根据正五边形的性质可得，则，最后根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴在四边形中，． 故选：C． 【题型11 多（少）算一个角问题】 【解题关键】多边形内角和是180°的整数倍，多算或少算一个角后，所得度数仍接近内角和，用“所得度数÷180°”，取整数部分，再结合内角和公式求边数和这个角的度数。 【典例11】．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 跟随训练11-1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 跟随训练11-2．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【题型12 多边形截角后的内角和问题】 【解题关键】先确定截角后多边形的边数（结合题型4的截法），再用内角和公式计算，注意截角后可能形成凹多边形，但内角和公式仍适用。 【典例12】．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 跟随训练12-1．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 跟随训练12-2．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【题型13 复杂图形的内角和】 【解题关键】将复杂图形（如多边形组合、不规则图形）分割成若干个三角形、四边形，利用内角和公式求和，注意减去重叠部分的角度（若有）。 【典例13】．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 跟随训练13-1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 跟随训练13-2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【题型14 正多边形的外角问题】 【解题关键】牢记正多边形外角和为360°，每个外角=360°÷n，且一个内角+一个外角=180°，可结合内角求外角，或结合外角求边数。 【典例14】．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 跟随训练14-1．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外角和的应用，掌握正多边形外角和是解题的关键． 先根据题意，可知小明的行走路线是正多边形，再根据正多边形的外角，求出边数，最后计算即可求解． 【详解】解：小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点， 其行走路线是正多边形，且每个外角为， 多边形外角和为， 该正多边形的边数， 每条边长为10米， 路程为：（米）． 故选：B． 跟随训练14-2．随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要 s能完成一轮防疫工作． 【答案】48 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． ， ∴该机器人恰好回到A点总共需要能完成一轮防疫工作． 故答案为：48． 【题型15 多边形外角和的实际应用】 【解题关键】利用外角和为360°，结合实际场景（如绕多边形行走、转角问题），计算角度或边数。 【典例15】．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 跟随训练15-1．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可． 跟随训练15-2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 【题型16 多边形内角和与外角和综合】 【解题关键】结合内角和公式（n-2）×180°和外角和360°，列方程求解边数、内角度数、外角度数等，注意内角和与外角和的关联（内角+外角=180°）。 【典例16】．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 跟随训练16-1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 跟随训练16-2．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为：， 故答案为：． 【题型17 平面镶嵌】 【解题关键】平面镶嵌的核心：同一顶点处的内角和为360°，单独镶嵌需正多边形的每个内角能整除360°，组合镶嵌需几种正多边形的内角和凑成360°。 【典例17】．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角和．解题的关键是熟练掌握平面镶嵌的条件和正多边形的内角和公式． 镶嵌地面要求多边形的内角能整除，从而围绕一点拼接无空隙. 计算各正多边形内角并判断是否整除，即可解题． 【详解】解：∵长方形内角为，，能整除， ∴长方形可镶嵌； ∵正方形内角为，，能整除， ∴正方形可镶嵌； ∵正五边形内角为，，不能整除， ∴正五边形不可镶嵌； ∵正六边形内角为，，能整除， ∴正六边形可镶嵌. ∴可供选择的地砖是①②④． 故选：C． 跟随训练17-1．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 跟随训练17-2．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 05 过关•检测 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 2．如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角，如图，根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得， ∴， ∴正多边形的边数为； 故选：B． 3．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 5．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正边形的每个内角的度数为，是解题的关键．根据正边形的每个内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 故选：B． 6．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形， 则其内角和为， ∵，， ∴ ． 故选：C． 7．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 8．与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形……按照这种分割方法，连接边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把边形分成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形，掌握从n边形的一个顶点所画的对角线将n边形分成个三角形是正确解答的关键．根据三角剖分的定义解答即可． 【详解】解：n边形有n个顶点，从一个顶点可以画条对角线，这条对角线将n边形分成个三角形． 故选：B． 9．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 10．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质，正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半． 由题意得，，则，那么，即可求解小正六边形的周长． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴， ∴小正六边形的周长为， 故答案为：． 11．如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成 个三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的对角线分成的三角形的个数问题，理解对角线的含义是解本题的关键； 连接，，观察图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， 由图可知，这些对角线将正五边形分成了3个三角形， 故答案为：． 12．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面 （填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【答案】②③④ 【分析】本题考查平面镶嵌，验证同一个顶点处的几个角之和是否为是确定密铺的关键． 密铺需要确定一个顶点处的几个角之和是，由题中所给情况逐项验证即可得到答案． 【详解】解：①正三角形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正八边形，为正整数， 则， 不存在正整数使方程成立， 正三角形与正八边形组合不能密铺地面， 故①不符合题意； ②正方形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正方形与个正八边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正方形与正八边形组合能密铺地面， 故②符合题意； ③正三角形与正六边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正六边形，为正整数， 则， 当时，方程成立；当时，方程成立； 正三角形与正六边形组合能密铺地面， 故③符合题意； ④正五边形与正十边形： 设围绕一个顶点需要个正五边形与个正十边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正五边形与正十边形组合能密铺地面， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 13．如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】此题考查了轴对称－最短路径问题，三角形内角和定理，等边对等角，凡是涉及最短距离的问题，一般都要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 分别作点C关于的对称点E，F，连接，分别交于点M，N，此时的周长最小，由四边形内角和求出，进而求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：如图，分别作点C关于的对称点E，F，连接， ∴， ∴的周长， 当点共线时，的周长取得最小值，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 15．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题； （1）根据多边形的内角和为，即任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列出不等式，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 16．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 17．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 18．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 19．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 【答案】（1）（2） （3）， 【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键； （1）根据图形规律完成表格； （2）根据规律求得多边形边数； （3）根据所给公式计算得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵时， 其中规定：， ∴， ∴， ∵， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $