第07讲 完全平方公式与平方差公式（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年（新教材沪科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 完全平方公式与平方差公式（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab； (3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab； (4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【知识点02】平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【知识点03】添括号 1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都要改变符号 . 用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) . 2. 添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用 “括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形 . 【题型一】运用完全平方公式进行运算 例1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知实数满足．若，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由已知条件变形得到b的表达式，代入比较与的大小关系，利用完全平方公式进行代数变形，结合的条件得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式运算和代数式的知识，设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ 设，则 ∴，即 ∴ 故答案为：． 例3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如，求代数式的最小值．，可知，当时，有最小值，最小值是-4．请同学们利用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，最小值为4 (3)2 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·月考）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的平方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根，通过变量替换简化方程，求出中间变量后求解平方根． 【详解】解：设，则，．代入原方程得： 展开并整理： 解得，即，故． 当时，； 当时，实数范围内无平方根． 因此，的平方根为， 故选A． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1） ； （2） ； 【答案】 3 7 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）把的两边平方，整理后可得； （2）把的两边平方，整理后可得； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)（为整数），见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第4个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 【题型二】通过对完全平方公式变形求值 例4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知，则的值是（   ） A．25 B．23 C．21 D．20 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 例5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知，则 ． 【答案】21 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的特征进行计算．利用完全平方公式变形求解，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：21． 例6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2560 (2)31 (3)1030 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的运用． （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，，则，， ； （2）解：， ，即， 设，则， ， ； （3） 解：设，，则，， ， ， ． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形，等式两边同除以得，移项得，平方得，配方得，结合得，开方可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如果，，那么 ． 【答案】37 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，先关根据求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， ． 故答案为： 37 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）问题探究：已知，可利用完全平方公式，得______ （2）自主推导：_________ 根据上面的公式计算：已知，求________ （3）问题解决：已知，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的推广，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 【题型三】完全平方公式在几何图形中的应用 例7．（24-25七年级下·安徽六安·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式，关键是表达出阴影部分面积并变形．分别设正方形A，B的边长，再分别表示图甲、乙中的阴影部分面积，变形即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为，的边长为， 由图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，可得①，②， 将②化简，得③， 由①得， 将③代入可得． 即正方形，的面积之和为． 故选：A． 例8．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将一张长方形广告牌切割成九块，切痕用图中“井”字形虚线表示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的全等小长方形，且， （1）用含的代数式表示切痕总长为 ． （2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则的值为 ． 【答案】 或 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由图可知，切痕总长L为长方形大铁皮周长，即可求解； （2）根据题意得出，，再将展开代入即可求解． 【详解】解：（1）由图可知，切痕总长L为长方形大铁皮周长， 即 故答案为：； （2）∵每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，一个正方形被分割为五个部分：①，②，③，I，Ⅱ，其中正方形①，③的边长均为米，正方形②的边长为米，设阴影部分的面积（即I和Ⅱ面积之和）为． (1)________（用含，的代数式表示）； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查整式的混合运算，正确理解题意是解答本题的关键． （1）用大正方形的面积减去3个小正方形的面积即可求出阴影部分的面积； （2）由（1）得，即，将两边平方得，代入得可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 又， ， ， 即（负值已舍去），那么的值为7． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，三角形的面积是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在面积问题中在应用，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，由题意得，，利用完全平方公式得到，进而求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是的中点， ， ，， ． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）16，12；（3）5；（4）24 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据，，求出的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可； （3）设，，求得，，根据求解即可； （4），，，，可以利用代入求值即可． 【详解】解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：；； （2）， ，， ， ∴． 故答案为：16；12； （3）设，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5； （4）由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为24． 【题型四】运用平方差公式进行运算 例10．（24-25七年级下·安徽六安·月考）下列算式中，适合运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：，根据平方差公式的特点逐一分析即可． 【详解】解：A．，不符合平方差公式要求，故A错误 B．，符合平方差公式要求，故B正确； C．不符合平方差公式要求，故C错误； D．不符合平方差公式要求，故D错误； 故选：B． 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用、有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握平方差公式的应用． 利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解． 【详解】解：原式…， …， ， ． 故答案为：． 例12．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1)2 (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方后计算加减法即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式的结构逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； B．，能用平方差公式计算，故该选项符合题意； C．不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； D．，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意． 故选B． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则的末位数字是 ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是四个一循环是解答本题的关键． 将乘以，然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出的个位数，再代入式子计算即可． 【详解】解： ； ，，，，，，，； 尾数是四个一循环， ， 的末位数字是6， 即的末位数字是6，则的末位数字是1． 故答案为：1． 变式3．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）仿照已知等式确定出两个算式即可； （2）列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断． 【详解】（1）解：． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：设两个连续奇数为（其中为正整数），则它们的平方差为 ， 所以它们的平方差是8的整数倍． 【题型五】平方差公式与几何图形 例13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，，，， ∴ ， 故选：． 例14．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【答案】(1)② (2)（i）3；（ii）16204 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得：； 由图2可得：； ∴； 故答案为：②； （2）（i）∵，， ∴； （ii） ． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列图形中，可以借助图形面积验证乘法公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用平方差公式和数形结合思想．通过两种不同方法求图形的面积进行求解、辨别即可． 【详解】解：A．大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积之和为，不能验证，不符合题意； B．阴影部分的面积可以看作，也可以看作，因此，符合题意，故该选项正确； C．图形的面积可以看作，也可以看作，因此，不符合题意； D．阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去中间十字架的面积，即，不符合题意． 故选：B． 变式2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图1，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)上述操作能验证的等式是________； (2)应用所得的公式计算：； (3)试利用这个公式化简：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）变形后利用平方差公式求解即可； （3）变形后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为； ∴； （2） ； （3） ． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 例15．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要， 根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ， 解得5或， 故选C． 例16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是 （写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：（答案不唯一）． 例17．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得出，进而可求出a的值． 【详解】解：若是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故选：D． 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）若是关于x的完全平方式，则 ． 【答案】或7 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查求完全平方式中的参数，解题的关键是掌握完全平方公式． 根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， 解得：或7， 故答案为：或7． 变式3．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)49 【知识点】求一个数的算术平方根、通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． （1）根据完全平方公式的结构特征求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）设，得到，，得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴ ∴ ∴． （3）设， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【题型七】整式的混合运算 例18．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 例19．计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 = = 故答案为 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．完全平方公式： ． 例20．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式，平方差公式及多项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 变式1．计算的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】首先根据完全平方公式去掉小括号，再合并同类项，最后进行单项式除以单项式运算，即可求得结果． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用整式混合运算的方法是解决本题的关键． 变式2．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】先将条件变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ = = = = =4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 变式3．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)（n为正整数），证明见解析 【知识点】整式的混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查学生观察数列规律归纳代数表达式的能力以及对平方差公式的理解与运用，正确分析等式左边两个平方项的底数与序号的关系是解题的关键．通过观察等式中个数的变化规律，找到与序号相关的代数表达式，即可求出答案． 【详解】解：（1）； （2）第n个等式可表示为：（n为正整数）． 证明：左边右边， 故此等式成立． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．如图，把一个边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，又可以剪成两个全等的梯形，并拼成右边所示的长方形，根据两个图形阴影面积的关系，这个操作过程可以验证哪个公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示两个图形中的阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】左图的阴影部分的面积为： 右图的阴影部分的面积为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中的面积是解本题的关键． 3．若是完全平方式，则m的值等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式计算即可求出m的值． 【详解】解：∵x2+mx+4是完全平方式， ∴m=±4， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．已知，则的值为（　　） A．8 B．11 C．13 D．17 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 5．若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，先求出，再把代入所求式子中利用完全平方公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 6．如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，根据图形及已知条件可将④⑤长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为及大长方形的面积为，得出与的数量关系，然后解得即可． 【详解】解：设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，则标号为④⑤的长方形长为，宽为， ∵每个小长方形的面积均为， ∴， ∴， ∴． ∵大长方形的长等于标号为⑤的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为⑤的小长方形的宽与标号为③的正方形的边长的和， ∴大长方形的长为：宽为：， ∵大长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即标号为②的正方形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形面积计算中的应用，数形结合并理清题中的数量关系是解题的关键． 7．下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】解：A、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、中与互为相反数，与互为相反数，故不能进行平方差公式计算，但是可以变形为，这样就可以运用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； D、中与不是相反数，与不相等，故不能用乘法公式计算，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数． 8．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 二、填空题 9．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为：． 11．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 根据已知可得完全平方式是，依据对应相等可得，解得或． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴ ∴． ∴或． 故答案为：或． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】根据得，代入化简计算即可，本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确变形代入计算是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故答案为：． 13．图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，设每个白色长方形的长为a，宽为b，根据图①得出①，由图②可得，联立①②求出即可．关键是根据图形之间的面积关系进行解答． 【详解】解：设每个白色长方形的长为a，宽为b， 由图①可得， 即①， 由图②可得， 即②， 由①②得， ∴， 即每个白色长方形的面积为8． 故答案为：8． 三、解答题 14．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】先计算多项式与单项式的乘法和平方差公式，将整式化简后再将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，其中包括单项式与多项式的乘法和平方差公式，能够熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键． 16．先化简，再求值：，其中x2 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则、完全平方公式，把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ＝[] ， 当x2时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 17．大正方形的周长比小正方形的周长长72厘米，它们的面积相差720平方厘米．求这两个正方形的边长． 【答案】大正方形的边长为29厘米，小正方形的边长为11厘米 【分析】设大正方形的边长为x厘米，则小正方形的边长为厘米，根据它们的面积相差720平方厘米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大正方形的边长为x厘米，则小正方形的边长为厘米，根据题意得： ， 解得：， （厘米）， 答：大正方形的边长为29厘米，小正方形的边长为11厘米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 18．用乘法公式计算： (1)40×39； (2)． 【答案】(1)1599 (2)2012 【分析】（1）根据平方差公式即可化简运算． （2）把2013×2011利用平方差公式计算，再进一步计算化简即可． 【详解】（1）40×39 ＝（40+）×（40﹣） ＝1600﹣ ＝1599； （2） ＝ ＝ ＝2012 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式的形式． 19．计算与化简： (1)； (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，整式的除法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则．先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． （）通过观察式子结构构造平方差公式的形式，利用平方差公式简化了计算过程； （）先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式． 20．如图①，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若张． (1)如图②，用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，用两种方法计算这个正方形的面积，可以得到一个等式．请你写出这个等式________． (2)选取1张A型卡片，10张C型卡片和25张B型卡片，可以拼成一个正方形．这个正方形的边长用含a、b的式子表示为_______． (3)如图③，两个正方形的边长分别为m，n，m+n=10，mn=19．求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：先求出这个正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和即可得；然后根据方法一与方法二的面积相等可得出所求的等式； （2）写出1张A型卡片，10张C型卡片和25张B型卡片的总面积，取算术平方根，利用完全平方公式，开方，可得其边长； （3）先利用阴影部分的面积等于大正方形面积的一半减去小直角三角形的面积，求出阴影部分的面积，再利用完全平方公式进行变形，然后将已知式子的值代入求解即可． 【详解】（1）解：拼成的正方形面积，， 1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片的总面积，， 得到一个等式，； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意得： = ． ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，图形面积的两种表示方法是解题的关键． 21．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 【答案】(1)是； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵ ， 为“完美数”， ∴ ∴； （4）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，的最小值为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 完全平方公式与平方差公式（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab； (3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab； (4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【知识点02】平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【知识点03】添括号 1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都要改变符号 . 用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) . 2. 添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用 “括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形 . 【题型一】运用完全平方公式进行运算 例1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知实数满足．若，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 例3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如，求代数式的最小值．，可知，当时，有最小值，最小值是-4．请同学们利用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，求的值． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·月考）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1） ； （2） ； 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 【题型二】通过对完全平方公式变形求值 例4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知，则的值是（   ） A．25 B．23 C．21 D．20 例5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知，则 ． 例6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如果，，那么 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）问题探究：已知，可利用完全平方公式，得______ （2）自主推导：_________ 根据上面的公式计算：已知，求________ （3）问题解决：已知，求的值． 【题型三】完全平方公式在几何图形中的应用 例7．（24-25七年级下·安徽六安·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 例8．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将一张长方形广告牌切割成九块，切痕用图中“井”字形虚线表示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的全等小长方形，且， （1）用含的代数式表示切痕总长为 ． （2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则的值为 ． 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，一个正方形被分割为五个部分：①，②，③，I，Ⅱ，其中正方形①，③的边长均为米，正方形②的边长为米，设阴影部分的面积（即I和Ⅱ面积之和）为． (1)________（用含，的代数式表示）； (2)若，，求的值． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，三角形的面积是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【题型四】运用平方差公式进行运算 例10．（24-25七年级下·安徽六安·月考）下列算式中，适合运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算： ． 例12．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)． (2) 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则的末位数字是 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 【题型五】平方差公式与几何图形 例13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 例14．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列图形中，可以借助图形面积验证乘法公式的是（    ） A． B． C． D． 变式2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图1，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)上述操作能验证的等式是________； (2)应用所得的公式计算：； (3)试利用这个公式化简：． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 例15．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 例16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是 （写出一个值即可）． 例17．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A．或 B． C． D．或 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）若是关于x的完全平方式，则 ． 变式3．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【题型七】整式的混合运算 例18．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例19．计算： 例20．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 变式1．计算的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如果，那么代数式的值为 ． 变式3．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．如图，把一个边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，又可以剪成两个全等的梯形，并拼成右边所示的长方形，根据两个图形阴影面积的关系，这个操作过程可以验证哪个公式（    ） A． B． C． D． 3．若是完全平方式，则m的值等于（    ） A．4 B． C． D． 4．已知，则的值为（　　） A．8 B．11 C．13 D．17 5．若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 6．如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 8．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 二、填空题 9．若，则 ． 10．已知，则 ． 11．若是一个完全平方式，则 ． 12．若，则 ． 13．图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 三、解答题 14．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 15．先化简，再求值：，其中． 16．先化简，再求值：，其中x2 17．大正方形的周长比小正方形的周长长72厘米，它们的面积相差720平方厘米．求这两个正方形的边长． 18．用乘法公式计算： (1)40×39； (2)． 19．计算与化简： (1)； (2)先化简再求值：，其中，． 20．如图①，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若张． (1)如图②，用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，用两种方法计算这个正方形的面积，可以得到一个等式．请你写出这个等式________． (2)选取1张A型卡片，10张C型卡片和25张B型卡片，可以拼成一个正方形．这个正方形的边长用含a、b的式子表示为_______． (3)如图③，两个正方形的边长分别为m，n，m+n=10，mn=19．求阴影部分的面积． 21．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $