精品解析：安徽宣城市2025学年度第一学期九年级期末质量调研 数学学科

2025学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，正确掌握正切公式是解题的关键．先由勾股定理求得，再由正切的定义求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 3. 如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的相关概念、向量的性质等知识点，掌握向量的概念是解题的关键． 根据向量的概念及性质判断即可． 【详解】解：∵两个非零向量、方向相反，且， ∴，即．则D选项正确． 故选D． 4. 已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 5. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析思想是解题的关键． 根据题意可得，，则有，，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， A、， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，正确，不符合题意； D、根据上述论证，故该选项错误，符合题意； 故选：D ． 6. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明得到，证明得到，解得,即可求出长． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 故选：C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 按照向量的线性运算计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 9. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 11. 如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 12. 已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为________时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若，可推导出， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 15. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则． 【详解】解：点是的中点， ， 是的角平分线， ， 又，即， ， ； ，， ， ， 和的面积比是， 故答案为：． 16. 等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 18. 过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，作于， 求解，，，，，作的中线，为的重心，线段是的“重似线段”，分两种情况：当时，当时，过作交于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作于，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 作的中线，为的重心， ∴， ∵线段是的“重似线段”， ∴当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，过作交于， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，，在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 综上：或； 故答案为：或； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：（本大题共7題，满分 78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 20. “2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 21. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． （1）找出图中相等的线段并说明理由； （2）如果，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】（1）的长是10米 （2）不同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； 【小问2详解】 解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 23. 已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴ ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 24. 在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C的坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴交点记作点，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； 【小问2详解】 解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． （1）求证：； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； （2）延长交延长线于H，求出的长度，即可得出的值； （3）过A作于M，设，根据相似三角形和勾股定理，得出结果． 【小问1详解】 解：证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交延长线于H，过A作于M， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过A作于M， ∵， ∴， ∴， 由（2）可设，则 ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（ ） A B. C. D. 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（ ） A. ， B. C. D. ， 5. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. __________． 8. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为__________． 9. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 10. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是__________． 11. 如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 12. 已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为________时，． 13. 如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为____． 14. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 15. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 16. 等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 _____． 17. 如图，在中，，，，是上动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是_______． 18. 过三角形重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______． 三、解答题：（本大题共7題，满分 78分） 19. 计算：． 20. “2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 21. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． （1）找出图中相等的线段并说明理由； （2）如果，求的长． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23. 已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 24. 在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 25. 如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． （1）求证：； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $