27.1 圆的对称性（垂径定理）课件 2025-2026学年华东师大版九年级下册数学

该初中数学课件聚焦圆的对称性，核心涵盖圆心角、弦、弧关系及垂径定理。通过观察图形是否轴对称、中心对称导入，引导学生从图形对称过渡到圆的旋转对称探究，再推导垂径定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以自主探究为主线，结合几何直观与逻辑推理，如通过扇形旋转实验探究圆心角、弦、弧关系，垂径定理推导中用全等证明培养推理能力。例题与反馈练习落实数形结合，小结清晰归纳关系和定理，助力学生构建知识网络，教师使用可有效提升学生核心素养与课堂效率。

27.1 圆的认识 第二课时 圆的对称性 几何专题---圆 核心素养目标 1、核心价值：几何想象和逻辑推理 2、专题素养目标 ①知识目标：理解圆的对称性之圆心角、弦、弧之间的关系；②能力目标：转化思想、数形结合能力； ③情感目标：体验圆的对称性，感受圆的美。 几何专题---圆 一、情景引入 问题：1、观察上述图形，它们是轴对称图形吗？分别有几条对称轴？ （无数条） 几何专题---圆 问题：2、它们是中心对称图形吗? 是 是 不是 是 不是 是 几何专题---圆 1、圆是旋转对称图形 ①导学：观察图中的扇形OAB，将其绕圆心O旋转一定的角度，它是否能和圆中某部分重合? 二、自主探究 O A C B D ②导问：图中的扇形OAB旋转到扇形ODC，这两个扇形全等吗?这两个扇形有哪些角、哪些弦、哪些弧相等？ 【分析】：无论绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,对称中心即为其圆心，所以圆是旋转对称图形。 【分析】：扇形OAB,∠AOB=∠COD，弦AB=弦CD，AB=CD ③导思：同一个圆中，如果圆心角∠AOB=∠COD，那么这两个圆心角所对的弦和弧有什么关系？ 几何专题---圆 【分析】：由于圆心角相等，所以扇形OAB,弦AB=弦CD，AB=CD O A C B D ④导思2：同一个圆中，如果弦AB=弦CD，那么两弦所对的圆心角∠AOB和∠COD，两弦所对的弧AB和弧CD有什么关系？ 【分析】：由于同一个圆中，弦相等，根据全等三角形，可得弦所对的圆心角相等，AB=CD 几何专题---圆 同理 可得，同一个圆中，如果弧相等，其弧所对的圆心角和弦都相等。 O A C B D 【结论】： 在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等. 在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. 在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等. 几何专题---圆 例1、如图，AC =BD，∠1 =45°，求 ∠2 的大小. 三、精例精讲 解：∵AC =BD ∴AC-BC =BD-BC 即AB =DC ∴∠1=∠2=45°(在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等). 1 2 A B D C 几何专题---圆 反馈练习 1.如图,在中,∠B=70°，且AB=AC，求∠C 的大小 A C B 解：∵AB=AC ∴∠Ｃ＝∠Ｂ＝７０° 几何专题---圆 2.如图,AB是直径,AB=BC=CD，∠BOC=40°，求∠AOD的大小. A D C B E O 解：∵AB=BC=CD ∴∠AOB＝∠BOＣ＝∠COD＝４０° ∴∠AOD＝１２０° 几何专题---圆 2、垂径定理 ①导学：如图所示，BC是的弦，过圆心O作OD 二、自主探究 ②导问：上图中的哪些弧相等？ 【分析】：直径所在的直c线是圆的对称轴，因为OD，沿OD对折，BD与CD重合，所以BD=CD。 解：∵OD ∴△OBDOCD（HL） ∴BD=CD C B O D E 解：BE=CE 几何专题---圆 【垂径定理 】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. C B O D E ③导思：中，若点D平分BC，OD垂直BC吗？ 【分析】：因为点D平分BC，所以ODBDCD。 解：∵点D是BC的中点 ∴△OBDOCD（SSS） ∴∠BDO=∠CDO=90° 【结论 】平分弦（不是直径）的直径，垂直弦，并且平分弦所对的弧. 说明：由于△OBDOCD，所以∠BOD=∠COD， 所以BE=CE 【结论 】平分弦（不是直径）的直径，垂直弦，并且平分弦所对的弧. 几何专题---圆 ④导思2：中，BC是弦，若点E平分BC，OE与弦BC交于点D，OD垂直BC吗？ C B O D E 【分析】：因为点E平分BC，所以OBDCD。 解：∵点E是BC的中点 ∴∠BOD=∠COD ∵OB＝OC，OD＝OD， 　　∴△OBDOCD（SAS） 　　∴BD＝CD 　　∴∠BDO=∠CDO=90° 　　即ODBC ∴ 【结论】平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦 几何专题---圆 C B O D E 垂径定理及其逆定理 【垂径定理 】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 【垂径定理逆定理１ 】平分弦（不是直径）的直径，垂直弦，并且平分弦所对的弧. 【垂径定理逆定理２】平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦 几何专题---圆 1.在O中,弦AB的长为24cm,圆心O到弦AB的距离(弦心距)为5cm,求O 的半径. 反馈练习 A B O D 解：如图，过O作OD ∴点D是BA的中点 ∴BD＝AD＝１２ ∵OＤ＝５ ∴OB＝＝１３ 即O 的半径为１３ｃｍ 几何专题---圆 2.如图,AB是的弦,半径OCAB于点D,且AB=8cm，OC=5cm.求DC的长. A B O D C 解：连结ＯＢ ∵OC ∴点D是BA的中点 ∴BD＝AD＝４ ∵OB＝ＯＣ＝５ ∴OD＝＝３ ∴CD＝OC－OD＝２ｃｍ 几何专题---圆 课堂小结 圆的对称性 圆心角、弦、弧之间的关系：同圆中，三者只要有一者相等，则其它两者也相等 垂径定理及其逆定理：直径（半径） 垂直 弦，则平分弦（弧） 平分弦（弧），则垂直弦 几何专题---圆 $