精品解析：甘肃武威市2024年九年级小样本学业水平模拟(二) 数学问卷

武威市2024学年九年级小样本学业水平模拟（二） 数学问卷 （时间120分钟） 一、选择题：（本大题共6题） 1. 下列根式中，与为同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. (b为常数) D. (b为常数) 3. 某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示： 进球次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 9 9 8 6 6 5 4 1 1 0 该投篮进球次数的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 课外书籍（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ） A. 众数和平均数相等 B. 中位数和平均数相等 C. 中位数和众数相等 D. 中位数、众数和平均数都相等 5. “利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限． 6. 要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ） A. 任选两个角，测量它们的角度； B. 测量四条边的长度； C. 测量两条对角线长度； D. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离． 二、填空题：（本大题共12题） 7. 计算：______． 8. 如果分式有意义，那么实数x取值范围是_____． 9. 1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为________ 10. 分式方程的解是________． 11. 如果反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的解析式为____． 12. 如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么____． 13. 已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________． 14. 某学校为了解七年级学生某天书面作业完成时间的情况，从该校七年级学生中随机抽取40人进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每个小组包括最小值，不包括最大值）．根据图中信息，该校七年级200名学生中，这一天书面作业完成时间少于90分钟的约有________人． 15. 已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么这个反比例函数可以是________．（只需写出一个） 16. 在直角坐标平面内，已知点，，将线段平移得到线段（点A的对应点是点，点B的对应点是点），如果点坐标是，那么点的坐标是________． 17. 七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米正方形纸板，联结对角线；分别取中点E、F，联结；过点A作垂线，分别交于G、H两点；分别取中点M、N，联结，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形的面积是________平方厘米． 18. 我们规定：在四边形中，O是边上的一点．如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是________． 三、解答题：（本大题共7题） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 如图，中，，，圆O经过A、B两点，圆心O在线段上，点C在圆O内，且． （1）求圆O的半径长； （2）求的长． 22. A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； （2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 23. 已知：如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，作，且，连接． （1）求证：； （2）延长交射线于点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； （3）点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 25. 如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，联结，分别交于点M、N． （1）已知， ①当时，求的面积； ②以点H为圆心，为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且仅有一个公共点，求的值； （2）延长交边于点P，当设，请用含x代数式表示的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威市2024学年九年级小样本学业水平模拟（二） 数学问卷 （时间120分钟） 一、选择题：（本大题共6题） 1. 下列根式中，与为同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把二次根式与化为最简二次根式，再进行判断． 【详解】解：∵=， ∴四个选项中只有 A与被开方数相同，是同类二次根式． 故选A． 2. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. (b为常数) D. (b为常数) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意； D、 (b为常数)判别式为：，方程一定有实数解，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键． 3. 某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示： 进球次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 9 9 8 6 6 5 4 1 1 0 该投篮进球次数的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将数据排序后第25，26名学生投篮次数的平均数即为中位数． 【详解】由中位数的定义得：该投篮进球数据的中位数是数据从小到大排序后，第25和26个数的平均数，即； 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键． 4. 某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 课外书籍（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ） A. 众数和平均数相等 B. 中位数和平均数相等 C. 中位数和众数相等 D. 中位数、众数和平均数都相等 【答案】C 【解析】 【分析】利用数据处理中各参考量的定义求解判断即可． 【详解】众数是指出现最多的数，为3； 中位数是指大小排序后位于中间的一位数或中间两位数的平均值，为3； 平均数为总数除以总量的值，为； 中位数和众数相等，只有选项C正确． 故选C． 【点睛】本题考查数据处理中中位数、众数、平均数的定义和算法，熟悉数据参考量的算法和正确的计算是解题的关系． 5. “利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限． 【答案】D 【解析】 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 6. 要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ） A. 任选两个角，测量它们的角度； B. 测量四条边的长度； C. 测量两条对角线的长度； D. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离． 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的判定定理逐个选项查看即可． 【详解】选项A中任意两个角只能判定一对角互补或相等，或两个直角，有可能为直角梯形，判断四边形为矩形需要3个角是直角，选项A错误； 选项B中，四条边的关系为对边相等，可能仅是平行四边形，选项B错误； 选项C中，对角线长度相等但是不是平行四边形时，仅为普通四边形，选项C错误； 选项D中，根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等，判断对角线互相平分则为平行四边形，又通过对角线相等判断为矩形． 故选D． 【点睛】矩形的判定定理有3条，三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形．熟练的应用判定定理是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 如果分式有意义，那么实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，分母不等于零． 9. 1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为________ 【答案】2.5×10−9米. 【解析】 【分析】首先根据1纳米=0.000000001米，得出2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米，再根据科学记数法的表示方法得出答案. 【详解】∵1纳米=0.000000001米， ∴2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米=2.5×10−9米； 故答案为:2.5×10−9米. 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤计算求解即可． 【详解】∵， ∴， 解得或． 经检验，是原方程的根，是原方程的增根； 故原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确求解，规范验根是解题的关键． 11. 如果反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入反比例函数中，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的解析式．熟练掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 12. 如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】按照平移的规律得平移后的解析式，再把原点代入求即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位后的解析式为， 将代入，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数图象平移：左加右减，上加下减． 13. 已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________． 【答案】## 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为，由题可知，，再代入点求出，进而得出一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式是， 该一次函数与直线平行， ， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 一次函数的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 14. 某学校为了解七年级学生某天书面作业完成时间的情况，从该校七年级学生中随机抽取40人进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每个小组包括最小值，不包括最大值）．根据图中信息，该校七年级200名学生中，这一天书面作业完成时间少于90分钟的约有________人． 【答案】170 【解析】 【分析】根据频数直方图可知40人中有34人完成时间少于90分钟，求出所占百分比，再估计200人中完成时间少于90分钟的人数即可． 【详解】解：由题意得： （人） 故答案为：170． 【点睛】本题主要考查样本与总体的关系，熟练掌握用样本估计总体是解决本题的关键． 15. 已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么这个反比例函数可以是________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大， ∴这个反比例函数可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 16. 在直角坐标平面内，已知点，，将线段平移得到线段（点A的对应点是点，点B的对应点是点），如果点坐标是，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B的横坐标减3，纵坐标加3即为点的坐标． 【详解】解：∵平移后对应点的坐标为， ∴A点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的， ∴平移后的坐标是：即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减． 17. 七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线；分别取中点E、F，联结；过点A作垂线，分别交于G、H两点；分别取中点M、N，联结，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形的面积是________平方厘米． 【答案】50 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BD，证明四边形是正方形，即可解得． 【详解】根据勾股定理可得， ， ∵中点E、F，联结， ∴， ， ∵N是的中点， ∴ ∵根据对称性，， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 故答案为：50． 【点睛】此题考查了正方形的证明和面积，解题的关键是熟悉正方形的性质． 18. 我们规定：在四边形中，O是边上的一点．如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是________． 【答案】8或 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时，证明四边形时平行四边形，据此即可求出四边形的周长；当时，根据全等三角形的性质，推出，，利用勾股定理，依次求出，，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，则， ， 四边形时平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 四边形的周长为， 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 三、解答题：（本大题共7题） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简二次根式，化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解：原式 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把括号内通分进行减法运算，再将除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 21. 如图，在中，，，圆O经过A、B两点，圆心O在线段上，点C在圆O内，且． （1）求圆O的半径长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交圆O于点D，连接，设圆O的半径长为r，则，利用正弦函数列式计算即可求解； （2）先求得，在，利用三角函数的定义求得和的长，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：设圆O的半径长为r，延长交圆O于点D，连接， 则， 又， ∴， 设， 则有， 因为， 所以， 解得， 经检验，是方程的解； ∴圆的半径长为5； 【小问2详解】 解：过点B作的垂线垂足为E， 由（1）得， 则，解得， ，解得， 所以， 所以 【点睛】本题考查了圆内接三角形，经过圆的直径构造的三角形为直角三角形，添加辅助线再利用三角函数求解． 22. A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； （2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 【答案】（1） （2）符合规定，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据时间=路程÷速度即可求出答案； （2）根据题意列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为：（小时）， 提速后的速度为100千米/小时， ∴提速后从A城到B城的所用时间为：（小时）， ∴提速后从A城到B城的行驶时间减少（小时）； 【小问2详解】 解：设列车提速前速度是每小时x千米， 则 解得： (舍去），， ∴提速后的速度为，符合规定. 【点睛】本题考查了分式方程应用题，运用路程=速度乘以时间解决问题． 23. 已知：如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，作，且，连接． （1）求证：； （2）延长交射线于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由，，可得，则，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质及补角的性质可得，再由，推出，根据相似三角形的性质可得，由，等量代换，即可得出结论； 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ． 【小问2详解】 证明：如图，延长交射线于点， ，， ， 四边形正方形， ， ， 由（1）知， ， ， 又 ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线表达式； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； （3）点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】（1） （2）点P的坐标是 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标； （3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． 小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵点P是的外接圆的圆心． ∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上． ∴点P横坐标是． 设点P坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴．点P的坐标是． 【小问3详解】 ∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点，N关于原点对称． 设点M的横坐标为m（）， 则点M坐标是，点N坐标是， 把点坐标代入， 得， 解得（负值已舍）， 当时，， ∴点M坐标是，点N坐标是， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 25. 如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，联结，分别交于点M、N． （1）已知， ①当时，求的面积； ②以点H为圆心，为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且仅有一个公共点，求的值； （2）延长交边于点P，当设，请用含x的代数式表示的值． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①联结交于点O，根据菱形的性质可得，再由锐角三角函数可得的长，再由，可得，即可求解；②先证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由，可得，再由，可得，，在中，根据勾股定理可得然后分两种情况：当两圆外切时，当两圆内切时，即可求解； （2）先证明．．取中点Q，联结，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①联结交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴； ②在菱形中，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，． 当两圆外切时， 8，解得； 当两圆内切时， ，解得； 综上所述，长是或； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴． 取中点Q，联结， 由（1）得：， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $